山东省中学联盟2021届高三数学12月大联考试题（Word版附答案） 10页

1 绝密★ 启用前 中学联盟2021届高三上学期12月大联考 数学试题 2020．12．19 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答无效。 4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.已知全集为 R ，集合  21 1 , 6 8 02 x A x B x x x               ，则 RA C B  A.  0x x  B.  2 4x x  C.  0 2 4x x x  或 D.  0 2 4x x x  或 2.已知 a 是实数， 1 a i i   是纯虚数，则 a  A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 3.“ 1 8a  ”是“对任意的正数 x ， 2 1ax x   ”的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.若 tan 3  ，则 sin 2cos 3sin cos       A. 1 10 B. 4 5  C. 2 5 D. 3 10  5.已知向量    2,4 , 1,a b n   ，若 a b    ，则 3a nb   A. 8 B.12 C. 4 5 D. 5 2 6. 函数 2( ) ln 2 xf x x   的图象大致为 7.朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代 著名的律学家、历学家、音乐家. 朱载堉对文艺的最大贡献是他创建了十二平均律，亦称“十二等 程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半音比例应该是 1 122 . 如 果 12 音阶中第一个音的频率是 F ，那么第二个音的频率就是 1 122 F ，第三个音的频率就是 2 122 F ， 第四个音的频率就是 3 122 F ，......,第十二个音的频率是 11 122 F ，第十三个音的频率是 12 122 F ，就 是 2F . 在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为 A. 2F B. 12 12 1 2 11 2 F  C. 1 12 1 2 1 F  D. 1 12 1 12 2 2 1 F  8. 如图，在四面体 ABCD 中， 3, 11, 2 3AB CD AC BD AD BC      , ABC 的重心为O ， 则 DO  A. 2 B. 4 3 C. 8 3 D. 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得 5 分；部分选对的得 3 分；有选错的得 0 分. 9. 已知命题 : 0,ln 0p x x   ，则 A. p 是真命题 B. : 0,ln 0p x x    3 C. p 是真命题 D. : 0,ln 0p x x    10. 已知 2( ) 2cos 3sin 2 ( 0)f x x x     ，且 ( )f x 最小正周期为 ，则下列说法正确的有 A. ( )f x 图像的对称中心为 ,0 ( )12 2 k k Z       B. 函数 ( ) 2y f x  在 0, 上有且只有两个零点 C. ( )f x 的单调递增区间为 , ( )3 6k k k Z         D. 将函数 2sin 2 1y x  的图像向左平移 12  个单位长度，可得到 ( )f x 的图像 11．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，则下列四个命题正确的是： A．直线 BC 与平面 1 1ABC D 所成的角等于 4  B．点 C 到面 1 1ABC D 的距离为 2 2 C．两条异面直线 1 1D C BC和 所成的角为 4  D．三棱柱 1 1 1 1AA D BB C 外接球半径为 3 2 12. 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     满足条件：（1）焦点为 1 2( 5,0), (5,0)F F ；（2）离心率 为 5 3 ，求得双曲线 C 的方程为 ( , ) 0f x y  ，若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线 C 的方程 仍为 ( , ) 0f x y  ，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（ ） A. 双曲线C 上的任意点 P 都满足 1 2 6PF PF  B. 双曲线 C 的虚轴长为 4 C. 双曲线 C 的一个顶点与抛物线 2 6y x 的焦点重合 D. 双曲线 C 的渐近线方程为 4 3 0x y  4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知函数 2 , 0( ) ( 3), 0 x xf x f x x      ，则 (6)f  14. 已知直线 l 与直线 2 0x y   平行，且与曲线 2ln 1y x x    相切，则直线 l 的方程是 15. 若 0, 0, 3 1m n m n mn     ，则 m n 的最小值为 16. 已知直线 3 7 0x y   与椭圆 2 2 2 1(0 3)9 x y b b     相交于 ,A B 两点，椭圆的两个焦点分别是 1 2,F F ，线段 AB 的中点为 (1,2)C ，则 1 2CF F 的面积为 四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10 分)在① BABbca sinsin3sin23 2  且 ,②   CABCA sinsinsinsinsin 22  , ③ ABC 的面积 4 )(3 222 bcaS  ,这三个条件中任选一个，补充到小面问题中，并作答. 问题：在 ABC 中，内角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，且 . (1) 求 Bsin ； (2) 若 ca 2 ，且 ABC 的面积为 32 ，求 ABC 的周长. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 5 18．(12 分) 在数列 na ， nb 中，已知数列 na 的前 n 项和为 nS 满足 )(12  NnbaS nnn （1）若 2 nbn ，求证：数列   1n an 是常数列，并求数列 na 的通项公式； （2）若 n na 2 ，求数列 nb 的前 n 项的和为 nT . 19．(12 分)如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA⊥底面 ABCD，AB 垂 直于 AD 和 BC，M 为棱 SB 上的点，SA=AB= 3 ，BC=2，AD=1． (1)若 M 为棱 SB 的中点，求证：AM //平面 SCD； (2)当 SM=MB，DN=3NC 时，求平面 AMN 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值． 20. (12 分) 设正项数列 na 的前 n 项和为 nS ， 12,1 11   nnn SSSa 且 （1）证明：数列 nS 是等差数列，并求数列 na 的通项公式； （2）已知 14 1  n n Sb ，数列  nb 的前 n 项的和为 nT ，若        n n n n S STT 44 对一切  Nn 恒成立，求  的取值范围. 6 21．(12 分)已知函数     2ln 1 1f x p x p x    . （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）当 1p  时，  f x kx 恒成立，求实数 k 的取值范围； 22. (12 分)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，椭圆C 上的点到焦点的距离 的最大值为 3. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设点 FA, 分别为椭圆 C 的左顶点、右焦点，过点 F 的直线交椭圆 C 于 D 点 QP, ，直线 AQAP, 分别与直线 3: xl 交于点 NM , ，求证：直线 FM 和直线 FN 的斜率之积为定值. 7 高三数学试题 答案 选择题：CAAA,CADC, AD,CD,ABD,AD 填空题：13.1 14. ln 2 2 0x y    15.2 16. 2 3 解答题： 8 19、(1)证明：取线段 SC 的中点 E，连接 ME，ED． 在△SBC 中，ME 为中位线，∴ME/ /BC 且 ME= 2 1 BC， ∵ AD//BC 且 AD= 2 1 BC，∴ME//AD 且 ME = AD， ∴四边形 AMED 为平行四边形． ∴AM / /DE．∵DE  平面 SCD，AM  平面 SCD， ∴AM/ /平面 SCD. (2)解：如图所示以点 A 为坐标原点，建立分别以 AD、AB、AS 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系，则 )3,0,0(),0,0,1(),0,3,2(),0,3,0(),0,0,0( SDCBA , 于是 ),2 3,2 3,0(2 1  BSABAM ).0,4 33,4 7()0,3,1(4 3)0,0,1(4 3  DCADAN 设平面 AMN 的一个法向量为 ),,,( zyxn  则      0 0 nAN nAM 将坐标代入并取 y=7，得 )7,7,33( n ．另外易知平面 SAB 的一个法向量为 )0,0,1(m 所以平面 AMN 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦为 25 153 nm nm 9 21、解：（1）  f x 的定义域为  0  ， ，       22 1' 2 1 p x ppf x p xx x      ……2 分 当 1p  时，  ' 0f x  ，故  f x 在  0  ， 单调递增； 当 0p  时，  ' 0f x  ，故  f x 在 0  ， 单调递减；………………4 分 当 0 1p  时，令  ' 0f x  ，解得  2 1 px p    . 则当  0 2 1 px p        ， 时，  ' 0f x  ；   2 1 px p          ， 时，  ' 0f x  . 故  f x 在  0 2 1 p p       ， 单调递增，在   2 1 p p         ， 单调递减.……6 分 （2）因为 0x  ，所以： 当 1p  时，  f x kx 恒成立 1 ln1 ln xx kx k x      ，……………………8 分 令   1 ln xh x x  ，则  maxk h x ，…………………………9 分 10 因为   2 ln' xh x x  ，由  ' 0h x  得 x  1，当  0 1x ， 时，  ' 0h x  ；当  1 x  ， 时，  ' 0h x  . 所以  h x 在  0 1， 上递增，在  1  ， 上递减，…………………………11 分 所以    max 1 1h x h  ， 故 1k  .…………………………12 分