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  • 2021-07-01 发布

人教版高三数学总复习第七章单元质量检测

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第七章单元质量检测 时间:90分钟 分值:100分 一、选择题(每小题4分,共40分)‎ ‎1.以下关于几何体的三视图的叙述中,正确的是(  )‎ A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析:画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总是三个全等的圆.‎ 答案:A ‎2.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为(  )‎ A. B. C.8π D. 解析:S圆=πr2=π⇒r=1,而截面圆圆心与球心的距离d=1,所以球的半径为R==.所以V=πR3=,故选B.‎ 答案:B ‎3.设α、β、γ是三个互不重合的平面,m、n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是(  )‎ A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ B.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n C.若α⊥β,m⊥α,则m∥β D.若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥β 解析:对于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A错;对于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B错;对于C,若α⊥β,m⊥α,则m可以在平面β内,C错;易知D正确.‎ 答案:D ‎4.一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.7 B. C. D. 解析:依题意可知该几何体的直观图如图所示,其体积为23-2×××1×1×1=.‎ 答案:D ‎5.已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(  )‎ A.   B.   C.   D. 解析:‎ 如图,以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.‎ 设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2),‎ ‎∴=(0,-1,1),=(0,-1,2),‎ ‎∴cos〈,〉==.‎ 答案:C ‎6.如图所示,正四棱锥P—ABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为(  )‎ A. B. C. D. 解析:连接AC,BD交于点O,连接OE,易得OE∥PA,所以所求角为∠BEO.‎ 由所给条件易得OB=,OE=PA=,BE=.‎ 所以cos∠OEB=,所以∠OEB=60°,选C.‎ 答案:C ‎7.如图为棱长是1的正方体的表面展开图,在原正方体中给出下列三个命题:‎ ‎①点M到AB的距离为;②三棱锥C—DNE的体积是;③AB与 EF所成的角是 其中正确命题的个数是(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:‎ 依题意可作出正方体的直观图如图,显然M到AB的距离为MC=,∴①正确;而VC—DNE=××1×1×1=,∴②正确;AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角,即为,∴③正确.‎ 答案:D ‎8.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A—BD—C的正弦值为(  )‎ A.    B. C.    D. 解析:‎ 取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系,设BC=1,则A,B,D.∴=,=,‎ eq o(BD,sup6(→))=.由于=为平面BCD的一个法向量,可进一步求出平面ABD的一个法向量n=(1,-,1),∴cos〈n,〉=,∴sin〈n,〉=.‎ 答案:C ‎9.正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都为2,E,F,G为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:‎ 如图,取AB的中点E,建立如图所示空间直角坐标系E—xyz.则E(0,0,0),F(-1,0,1),B1(1,0,2),A1(-1,0,2),C1(0,,2),G.‎ ‎∴=(-2,0,-1),=(-1,0,1),=.‎ 设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 由得 令x=1,则n=(1,-,1),设B1F与平面GEF所成角为θ,则sinθ=|cos〈n,〉|==.‎ 答案:A ‎10.如图,在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,则下列结论不成立的是(  )‎ A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面 解析:‎ 连接B1C,AC,则B1C交BC1于F,且F为B1C的中点,‎ 又E为AB1的中点,所以EF綊AC,‎ 而B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥AC,‎ 所以B1B⊥EF,A正确;‎ 又AC⊥BD,所以EF⊥BD,B正确;‎ 显然EF与CD异面,C正确;‎ 由EF綊AC,AC∥A1C1,得EF∥A1C1,故不成立的选项为D.‎ 答案:D 二、填空题(每小题4分,共16分)‎ ‎11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.‎ 解析:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,底面是底边长为4,高为2的等腰三角形,棱锥的高为2,故体积为V=××4×2×2=.‎ 答案: ‎12.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为________.‎ 解析:‎ 将该三棱锥放入正方体内,若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切,所以2R=,R=,则球的表面积为S=4πR2=4π×=2π.‎ 答案:2π ‎13.三棱锥S—ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,则以下结论中:‎ ‎①异面直线SB与AC所成的角为90°;‎ ‎②直线SB⊥平面ABC;‎ ‎③平面SBC⊥平面SAC;‎ ‎④点C到平面SAB的距离是a.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 解析:‎ 由题意知AC⊥平面SBC,故AC⊥SB,SB⊥平面ABC,平面SBC⊥平面SAC,①②③正确;取AB的中点E,连接CE,(如图)可证得CE⊥平面SAB,故CE的长度即为C到平面SAB的距离a,④正确.‎ 答案:①②③④‎ ‎14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G为BC的中点,K为AF的中点.沿EF 将矩形折成120°的二面角A—EF—B,此时KG的长为________.‎ 解析:‎ 如图,过K作KM⊥EF,垂足M为EF的中点,则向量与的夹角为120°,〈,〉=60°.又=+=+,∴2=2+2+2·=1+1+2×1×1×cos60°=3.∴||=.‎ 答案: 三、解答题(共4小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤.)‎ ‎15.(10分)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E—ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.‎ ‎(1)求证:AC⊥BD.‎ ‎(2)求三棱锥E—BCD的体积.‎ 解:(1)因为EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,‎ 所以EA⊥AC,即ED⊥AC.‎ 又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.‎ 因为BD⊂平面EBD,所以AC⊥BD.‎ ‎(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,‎ 所以BC为圆O的直径.‎ 设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得 所以BC=4,AB=AC=2.‎ 以下给出求三棱锥E—BCD体积的两种方法:‎ 方法1:由(1)知,AC⊥平面EBD,‎ 所以VE—BCD=VC—EBD=S△EBD×CA,‎ 因为EA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,‎ 所以EA⊥AB,即ED⊥AB.‎ 其中ED=EA+DA=2+2=4,‎ 因为AB⊥AC,AB=AC=2,‎ 所以S△EBD=ED×AB=×4×2=4,‎ 所以SE—BCD=×4×2=.‎ 方法2:因为EA⊥平面ABC,‎ 所以VE—BCD=VE—ABC+VD—ABC=S△ABC×EA+S△ABC×DA=S△ABC×ED.‎ 其中ED=EA+DA=2+2=4,‎ 因为AB⊥AC,AB=AC=2,‎ 所以S△ABC=×AC×AB=×2×2=4,‎ 所以VE—BCD=×4×4=.‎ ‎16.(10分)如图,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,‎ BC,AB的中点,将等边△BCD沿BD折叠成△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.‎ ‎(1)求证:平面GNM∥平面ADC′.‎ ‎(2)求证:C′A⊥平面ABD.‎ 证明:(1)因为M,N分别是BD,BC′的中点,‎ 所以MN∥DC′.因为MN⊄平面ADC′,‎ DC′⊂平面ADC′,所以MN∥平面ADC′.‎ 同理NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG=N,‎ 所以平面GNM∥平面ADC′.‎ ‎(2)因为∠BAD=90°,所以AD⊥AB.‎ 又因为AD⊥C′B,且AB∩C′B=B,‎ 所以AD⊥平面C′AB.‎ 因为C′A⊂平面C′AB,所以AD⊥C′A.‎ 因为△BCD是等边三角形,AB=AD,‎ 不妨设AB=1,则BC=CD=BD=,可得C′A=1.‎ 由勾股定理的逆定理,可得AB⊥C′A.‎ 因为AB∩AD=A,所以C′A⊥平面ABD.‎ ‎17.(12分)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.‎ ‎(1)求证:AB⊥DE;‎ ‎(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;‎ ‎(3)线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD?若存在,求出;若不存在,请说明理由.‎ 解:‎ ‎(1)证明:取AB的中点O,连接EO,DO.‎ 因为EB=EA,所以EO⊥AB.‎ 因为四边形ABCD为直角梯形.‎ AB=2CD=2BC,AB⊥BC,‎ 所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD.‎ 因为EO∩DO=0.‎ 所以AB⊥平面EOD,所以AB⊥ED.‎ ‎(2)因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,‎ 所以EO⊥平面ABCD,所以EO⊥OD.‎ 由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.‎ 因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE,设OB=1,‎ 所以O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),‎ E(0,0,1).‎ 所以=(1,1,-1),‎ 平面ABE的一个法向量为=(0,1,0).‎ 设直线EC与平面ABE所成的角为θ,‎ 所以sinθ=|cos〈,〉==,‎ 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.‎ ‎(3)存在点F,且=时,有EC∥平面FBD.‎ 证明如下:由==,‎ F,所以=,=(-1,1,0).‎ 设平面FBD的法向量为v=(a,b,c),‎ 则有所以 取a=1,得v=(1,1,2).‎ 因为·v=(1,1,-1)·(1,1,2)=0,‎ 且EC⊄平面FBD,所以EC∥平面FBD,‎ 即点F满足=时,有EC∥平面FBD.‎ ‎18.(12分)如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.‎ ‎(1)求证:平面DAF⊥平面BCF;‎ ‎(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小;‎ ‎(3)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°?‎ 解:(1)证明:∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴CB⊥平面ABEF,‎ ‎∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥CB,‎ 又AB为圆O的直径,∴AF⊥BF,又BF∩CB=B,‎ ‎∴AF⊥平面CBF.‎ ‎∵AF⊂平面ADF,∴平面DAF⊥平面CBF.‎ ‎(2)由(1)知AF⊥平面CBF,‎ ‎∴FB为AB在平面CBF内的射影,‎ 因此,∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角.‎ ‎∵AB∥EF,∴四边形ABEF为等腰梯形,‎ 过点F作FH⊥AB,交AB于H.‎ 已知AB=2,EF=1,则AH==.‎ 在Rt△AFB中,根据射影定理得AF2=AH·AB,∴AF=1,‎ sin∠ABF==,∴∠ABF=30°.‎ ‎∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.‎ ‎(3)设EF中点为G,以O为坐标原点,,,方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).设AD=t(t>0),则点D的坐标为(1,0,t),C(-1,0,t),又A(1,0,0),B(-1,0,0),F,‎ ‎∴=(2,0,0),‎ =,‎ 设平面DCF的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=0,n1·=0.‎ 即,令z=,解得x=0,y=2t,‎ ‎∴n1=(0,2t,).‎ 由(1)可知AF⊥平面CFB,取平面CBF的一个法向量为n2==,依题意,n1与n2的夹角为60°.‎ ‎∴cos60°=,即=,‎ 解得t=.‎ 因此,当AD的长为时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°.‎