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- 2021-07-01 发布
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第七章单元质量检测
时间:90分钟 分值:100分
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.以下关于几何体的三视图的叙述中,正确的是( )
A.球的三视图总是三个全等的圆
B.正方体的三视图总是三个全等的正方形
C.水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形
D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析:画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总是三个全等的圆.
答案:A
2.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( )
A. B.
C.8π D.
解析:S圆=πr2=π⇒r=1,而截面圆圆心与球心的距离d=1,所以球的半径为R==.所以V=πR3=,故选B.
答案:B
3.设α、β、γ是三个互不重合的平面,m、n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ
B.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α⊥β,m⊥α,则m∥β
D.若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥β
解析:对于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A错;对于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B错;对于C,若α⊥β,m⊥α,则m可以在平面β内,C错;易知D正确.
答案:D
4.一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.7 B.
C. D.
解析:依题意可知该几何体的直观图如图所示,其体积为23-2×××1×1×1=.
答案:D
5.已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析:
如图,以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.
设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2),
∴=(0,-1,1),=(0,-1,2),
∴cos〈,〉==.
答案:C
6.如图所示,正四棱锥P—ABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为( )
A. B.
C. D.
解析:连接AC,BD交于点O,连接OE,易得OE∥PA,所以所求角为∠BEO.
由所给条件易得OB=,OE=PA=,BE=.
所以cos∠OEB=,所以∠OEB=60°,选C.
答案:C
7.如图为棱长是1的正方体的表面展开图,在原正方体中给出下列三个命题:
①点M到AB的距离为;②三棱锥C—DNE的体积是;③AB与
EF所成的角是
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:
依题意可作出正方体的直观图如图,显然M到AB的距离为MC=,∴①正确;而VC—DNE=××1×1×1=,∴②正确;AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角,即为,∴③正确.
答案:D
8.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A—BD—C的正弦值为( )
A. B. C. D.
解析:
取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系,设BC=1,则A,B,D.∴=,=,
eq o(BD,sup6(→))=.由于=为平面BCD的一个法向量,可进一步求出平面ABD的一个法向量n=(1,-,1),∴cos〈n,〉=,∴sin〈n,〉=.
答案:C
9.正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都为2,E,F,G为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:
如图,取AB的中点E,建立如图所示空间直角坐标系E—xyz.则E(0,0,0),F(-1,0,1),B1(1,0,2),A1(-1,0,2),C1(0,,2),G.
∴=(-2,0,-1),=(-1,0,1),=.
设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z),
由得
令x=1,则n=(1,-,1),设B1F与平面GEF所成角为θ,则sinθ=|cos〈n,〉|==.
答案:A
10.如图,在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,则下列结论不成立的是( )
A.EF与BB1垂直
B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面
D.EF与A1C1异面
解析:
连接B1C,AC,则B1C交BC1于F,且F为B1C的中点,
又E为AB1的中点,所以EF綊AC,
而B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥AC,
所以B1B⊥EF,A正确;
又AC⊥BD,所以EF⊥BD,B正确;
显然EF与CD异面,C正确;
由EF綊AC,AC∥A1C1,得EF∥A1C1,故不成立的选项为D.
答案:D
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
解析:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,底面是底边长为4,高为2的等腰三角形,棱锥的高为2,故体积为V=××4×2×2=.
答案:
12.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为________.
解析:
将该三棱锥放入正方体内,若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切,所以2R=,R=,则球的表面积为S=4πR2=4π×=2π.
答案:2π
13.三棱锥S—ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,则以下结论中:
①异面直线SB与AC所成的角为90°;
②直线SB⊥平面ABC;
③平面SBC⊥平面SAC;
④点C到平面SAB的距离是a.
其中正确结论的序号是________.
解析:
由题意知AC⊥平面SBC,故AC⊥SB,SB⊥平面ABC,平面SBC⊥平面SAC,①②③正确;取AB的中点E,连接CE,(如图)可证得CE⊥平面SAB,故CE的长度即为C到平面SAB的距离a,④正确.
答案:①②③④
14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G为BC的中点,K为AF的中点.沿EF
将矩形折成120°的二面角A—EF—B,此时KG的长为________.
解析:
如图,过K作KM⊥EF,垂足M为EF的中点,则向量与的夹角为120°,〈,〉=60°.又=+=+,∴2=2+2+2·=1+1+2×1×1×cos60°=3.∴||=.
答案:
三、解答题(共4小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤.)
15.(10分)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E—ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.
(1)求证:AC⊥BD.
(2)求三棱锥E—BCD的体积.
解:(1)因为EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
所以EA⊥AC,即ED⊥AC.
又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.
因为BD⊂平面EBD,所以AC⊥BD.
(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,
所以BC为圆O的直径.
设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得
所以BC=4,AB=AC=2.
以下给出求三棱锥E—BCD体积的两种方法:
方法1:由(1)知,AC⊥平面EBD,
所以VE—BCD=VC—EBD=S△EBD×CA,
因为EA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EA⊥AB,即ED⊥AB.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
因为AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S△EBD=ED×AB=×4×2=4,
所以SE—BCD=×4×2=.
方法2:因为EA⊥平面ABC,
所以VE—BCD=VE—ABC+VD—ABC=S△ABC×EA+S△ABC×DA=S△ABC×ED.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
因为AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S△ABC=×AC×AB=×2×2=4,
所以VE—BCD=×4×4=.
16.(10分)如图,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,
BC,AB的中点,将等边△BCD沿BD折叠成△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.
(1)求证:平面GNM∥平面ADC′.
(2)求证:C′A⊥平面ABD.
证明:(1)因为M,N分别是BD,BC′的中点,
所以MN∥DC′.因为MN⊄平面ADC′,
DC′⊂平面ADC′,所以MN∥平面ADC′.
同理NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG=N,
所以平面GNM∥平面ADC′.
(2)因为∠BAD=90°,所以AD⊥AB.
又因为AD⊥C′B,且AB∩C′B=B,
所以AD⊥平面C′AB.
因为C′A⊂平面C′AB,所以AD⊥C′A.
因为△BCD是等边三角形,AB=AD,
不妨设AB=1,则BC=CD=BD=,可得C′A=1.
由勾股定理的逆定理,可得AB⊥C′A.
因为AB∩AD=A,所以C′A⊥平面ABD.
17.(12分)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE
所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.
(1)求证:AB⊥DE;
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;
(3)线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
解:
(1)证明:取AB的中点O,连接EO,DO.
因为EB=EA,所以EO⊥AB.
因为四边形ABCD为直角梯形.
AB=2CD=2BC,AB⊥BC,
所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD.
因为EO∩DO=0.
所以AB⊥平面EOD,所以AB⊥ED.
(2)因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,
所以EO⊥平面ABCD,所以EO⊥OD.
由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.
因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE,设OB=1,
所以O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
E(0,0,1).
所以=(1,1,-1),
平面ABE的一个法向量为=(0,1,0).
设直线EC与平面ABE所成的角为θ,
所以sinθ=|cos〈,〉==,
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.
(3)存在点F,且=时,有EC∥平面FBD.
证明如下:由==,
F,所以=,=(-1,1,0).
设平面FBD的法向量为v=(a,b,c),
则有所以
取a=1,得v=(1,1,2).
因为·v=(1,1,-1)·(1,1,2)=0,
且EC⊄平面FBD,所以EC∥平面FBD,
即点F满足=时,有EC∥平面FBD.
18.(12分)如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.
(1)求证:平面DAF⊥平面BCF;
(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小;
(3)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°?
解:(1)证明:∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴CB⊥平面ABEF,
∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥CB,
又AB为圆O的直径,∴AF⊥BF,又BF∩CB=B,
∴AF⊥平面CBF.
∵AF⊂平面ADF,∴平面DAF⊥平面CBF.
(2)由(1)知AF⊥平面CBF,
∴FB为AB在平面CBF内的射影,
因此,∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角.
∵AB∥EF,∴四边形ABEF为等腰梯形,
过点F作FH⊥AB,交AB于H.
已知AB=2,EF=1,则AH==.
在Rt△AFB中,根据射影定理得AF2=AH·AB,∴AF=1,
sin∠ABF==,∴∠ABF=30°.
∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.
(3)设EF中点为G,以O为坐标原点,,,方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).设AD=t(t>0),则点D的坐标为(1,0,t),C(-1,0,t),又A(1,0,0),B(-1,0,0),F,
∴=(2,0,0),
=,
设平面DCF的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=0,n1·=0.
即,令z=,解得x=0,y=2t,
∴n1=(0,2t,).
由(1)可知AF⊥平面CFB,取平面CBF的一个法向量为n2==,依题意,n1与n2的夹角为60°.
∴cos60°=,即=,
解得t=.
因此,当AD的长为时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°.