高中数学必修2教案：3_3_2两点间的距离 (3) 4页

‎3.3.2 两点间的距离 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。‎ ‎2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；‎ ‎3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。‎ ‎（二）教学重点、难点 重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。‎ ‎（三）教学方法 启发引导式 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 复习数轴上两点的距离公式.‎ 设问一：‎ 同学们能否用以前所学知识解决以下问题：‎ 已知两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)求|P1P2|‎ 设置情境导入新课 概念形成 过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1 (0，y)，M2 (x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.‎ 在直角△ABC中，|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2 (0，y2)，于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2 – x1|2，‎ ‎|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 – y1|2.‎ 由此得到两点间的距离公式 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.‎ 通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.‎ 应用举例 例1 已知点A (–1，2)，在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.‎ 解：设所求点P (x，0)，于是有 教师讲解思路，学生上台板书.‎ 教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出 解法二：由已知得，线段AB ‎ ‎ ‎∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11‎ 解得x = 1‎ ‎∴所求点P (1，0)且 同步练习，书本112页第1、2题.‎ 的中点为，直线AB的斜率为 线段AB的垂直平分线的方程是 在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.‎ 所以所求点P的坐标为(1，0).因此 通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.‎ 例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.‎ 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.‎ 证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).‎ 设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，‎ ‎|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2‎ ‎|AC|2 = (a + b)2 + c2，‎ ‎|BD|2 = (b – a)2 + c2‎ 所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = ‎ ‎2 (a2 + b2 + c2)‎ 此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：‎ 第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.‎ 第二步：进行有关代数运算.‎ 第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.‎ 思考：同学们是否还有其它的解决办法？‎ 还可用综合几何的方法证明这道题.‎ 让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.‎ ‎|AC|2 – |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，‎ ‎|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2‎ 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.‎ 归纳总结 主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.‎ 师生共同总结 让学生更进一步体会知识形成过程 课后作业 布置作业 见习案3.3的第二课时.‎ 由学生独立完成 巩固深化 备选例题 例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标 ‎【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：‎ ‎ 解得：x = 11或x = –5.‎ 所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).‎ 例2 在直线l：3x – y – 1 = 0上求一点P，使得：‎ ‎（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；‎ ‎（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.‎ ‎【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3).‎ AB′：2x + y – 9 = 0‎ 由 解得P(2，5).‎ ‎（2）C关于l对称点 由图象可知：|PA| + |PC|≥|AC′|‎ 当P是AC′与l的交点时“=”成立，‎ ‎∴.‎ 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P到Q的长度.‎ ‎【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点 因为QQ′⊥l，k1 = –1，所以 又因为Q′Q的中点在直线l上，所以 所以得，所以Q′(–3，–1)‎ 因为Q′在入射光线所在直线l1上，设其斜率为k，‎ 所以 l1：即2x – 5y + 1 = 0‎ ‎（2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM| = |Q′M|‎ 所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| = ‎ 所以沿这光线从P到Q的长度为.‎ 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.‎