2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科） 19页

‎2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，B={2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1，2，3} B．{2} C．{﹣1，0，1，2} D．∅‎ ‎2．（5分）“x＞0”是“x+1＞0”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（　　）‎ A． B． C．3 D．﹣3‎ ‎4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎5．（5分）定义在R上的函数f（x）=﹣x3+m与函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣3] C．[﹣3，+∞） D．[0，+∞）‎ ‎6．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A．α∥β，a⊂α，则a∥β B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b C．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β D．a∥b，b⊂α，则a∥α ‎8．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（　　）‎ A．关于点（，0）对称 B．关于点（，0）对称 C．关于直线x=对称 D．关于直线x=对称 ‎9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A．4π B．36π C．48π D．24π ‎10．（5分）已知函数f（x）=x（2x），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是（　　）‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（　　）‎ A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα=　 　．‎ ‎14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值　 　．‎ ‎15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=　 　m．‎ ‎16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求f（x）≥0使成立的x的集合．‎ ‎18．（12分）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．‎ ‎（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；‎ ‎（2）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=c2．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．‎ ‎（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；‎ ‎（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx．‎ ‎（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2．证明x1＜．‎ ‎　‎ 请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．‎ ‎（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；‎ ‎（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．‎ ‎（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；‎ ‎（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，B={2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1，2，3} B．{2} C．{﹣1，0，1，2} D．∅‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，B={2，3}，‎ ‎∴A∩B={2}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）“x＞0”是“x+1＞0”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：“x+1＞0”⇔“x＞﹣1”，‎ 故“x＞0”是“x+1＞0”的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（　　）‎ A． B． C．3 D．﹣3‎ ‎【解答】解：由tan（）=，得，‎ ‎∴，解得tanα=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1‎ 是异面直线的条数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【解答】解：由右边的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 直线CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，‎ 共有6条直线与直线BA1是异面直线，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）定义在R上的函数f（x）=﹣x3+m与函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣3] C．[﹣3，+∞） D．[0，+∞）‎ ‎【解答】解：f′（x）=﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减，‎ 结合题意g（x）=﹣x3+m﹣kx在[﹣1，1]递减，‎ 故g′（x）=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1，1]恒成立，‎ 故k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，故k≥0，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；‎ 又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；‎ 令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A．α∥β，a⊂α，则a∥β B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b C．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β D．a∥b，b⊂α，则a∥α ‎【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：‎ 在A中，α∥β，a⊂α，则由直线与平面平行的判定定理得a∥β，故A正确；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；‎ 在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；‎ 在D中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故D错误．故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（　　）‎ A．关于点（，0）对称 B．关于点（，0）对称 C．关于直线x=对称 D．关于直线x=对称 ‎【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，‎ ‎∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A．4π B．36π C．48π D．24π ‎【解答】解：设球的半径为R，‎ 则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=，‎ ‎∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5，‎ 解得：R=3，‎ 故该球的表面积S=4πR2=36π，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=x（2x），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是（　　）‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，‎ 而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，‎ 故f（x）在（﹣∞，0）递减，‎ 若f（x﹣1）＞f（x），‎ 则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2，‎ 解得：x＜，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，‎ 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：，‎ 半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π，‎ 故组合体的体积V=+π，‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（　　）‎ A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1‎ ‎【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，‎ 令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，‎ 故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，‎ 故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，‎ 而ex﹣a+4ea﹣x≥4，‎ ‎（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；‎ 故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；‎ 故x=a+ln2=﹣1，‎ 即a=﹣1﹣ln2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα=　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵sinα+cosα=，‎ ‎∴（sinα+cosα）2=，‎ ‎∴1+2sinαcosα=，‎ 解得sinαcosα=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值　3　．‎ ‎【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3，‎ 若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去．‎ 综上a=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=　150　m．‎ ‎【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=h，‎ 在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°，‎ ‎∴BC=h，AB=300．‎ 根据勾股定理得，3h2=h2+90000，‎ ‎∴h=150．‎ 即CD=150m．‎ 故答案为：150．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是　（，）　．‎ ‎【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，‎ 则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；‎ 而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，‎ 液面的形状都不可能是三角形；‎ 所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，‎ 并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，‎ 故答案为：（，）．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求f（x）≥0使成立的x的集合．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a=‎ ‎=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a=；‎ ‎（2）由（1）知，f（x）=，‎ 由f（x）≥0，得≥0，‎ 即，k∈Z．‎ ‎∴，k∈Z．‎ ‎∴f（x）≥0成立的x的集合为[]，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．‎ ‎（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；‎ ‎（2）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．可得f′（x）=aex+sinx，f′（0）=a，‎ f（0）=a﹣1，‎ 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（a﹣1）=ax，即a（x+1）﹣（y+1）=0，‎ 切线恒过（﹣1，﹣1）点．‎ ‎（2）由（1）可知：f′（x）=aex+sinx=0，函数f（x）在（0，）上存在极值，说明方程有解，‎ 可得a=，‎ 令h（x）=，‎ h′（x）=，x∈（0，），‎ 当x∈（0，）时，h′（x）＜0，函数是减函数，‎ 当x∈（，）时，h′（x）＞0，函数是增函数，‎ 函数的最小值为：=，函数的最大值为：x=0时的函数值，即：h（0）=0．‎ 所以实数a的取值范围：[，0）．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=c2．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B），‎ ‎∴sinA=2sinC，a=2c，‎ ‎∴S=sinB•c•2c=c2，‎ 故sinB=；‎ ‎（2）由（1）sinB=，cos，‎ ‎∴cosB=，sin∠ADB=，‎ ‎∴sin∠BAD ‎=sin（B+∠ADB）‎ ‎=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB ‎=×+×‎ ‎=，‎ 由=，‎ 得：=，解得：BD=c，‎ 故=3．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．‎ ‎（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；‎ ‎（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，‎ 设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，‎ 可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，‎ 由余弦定理可得AD==a，‎ 则BD⊥AD，‎ 由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，‎ 又BD⊂平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；‎ ‎（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，‎ 由AD=SD=a，‎ 在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a，‎ ‎△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，‎ 由SH⊥平面BCD，可得 ‎×a××a2=，‎ 解得a=1，‎ 由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD，‎ SB===2a，‎ 又AB=2a，‎ 在等腰三角形SBA中，‎ 边SA上的高为=a，‎ 则△SAB的面积为×SA×a=a=．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx．‎ ‎（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2．证明x1＜．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）‎ f′（x）=x﹣a+=，（a＜0），△=a2﹣4a．‎ 当a＜0时，△＞0，f′（x）=0的根＜0，＞0‎ x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，x2）递减，（x2，+∞）上单调递增，‎ ‎（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2‎ ‎⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．‎ 令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1‎ 令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1‎ 所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），‎ 又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0，‎ 由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，‎ 又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2，‎ 令h（x）=g（x）﹣g（），（x＞2），‎ h（x）=g（x）﹣g（）=）=﹣x++3lnx﹣ln2（x＞2），‎ h′（x）=﹣，‎ 当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．‎ 所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（ ）＜0，即g（x1）＜g（），‎ 因为g（x）在（0，1）上单调递增，‎ 所以x1＜，‎ ‎　‎ 请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．‎ ‎（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；‎ ‎（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．‎ ‎【解答】解：（1）由=3，即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3，‎ 直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．‎ ‎∵y=﹣2+t，∴x=y+6=t，‎ ‎∴直线l的参数方程为：（t为参数）．‎ ‎（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0．‎ 将（1）中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0，并整理得：t2﹣2（1+a）t+12=0，‎ 又△=12（1+a）2﹣4×12=12（a2+2a﹣3）＞0，解得：a＞1，‎ 设P、Q对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=2（1+a），t1•t2=12，‎ 由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=（t1+t2）2﹣4t1•t2=12（1+a）2﹣4×12，‎ ‎|MP|•|MQ|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，‎ 所以12（1+a）2﹣4×12=12，解得：a=﹣1，‎ ‎∴实数a的值﹣1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．‎ ‎（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；‎ ‎（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，‎ 可得或或，‎ 解得：﹣≤x≤；‎ 故不等式的解集是[﹣，]；‎ ‎（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，‎ 即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a，‎ 由绝对值不等式的性质可得：‎ ‎||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，‎ 即有f（x）的最大值为|a+6|，‎ ‎∴ 或，‎ 解得：a≥﹣．‎ ‎　‎