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- 2021-07-01 发布
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[练案45]第四讲 直线、平面平行的判定与性质
A组基础巩固
一、单选题
1.(2020·河南省开封市模拟)已知直线m,n和平面α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( D )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] n⊂α,m∥n,当m⊂α时,m∥α,m∥α,n⊂α⇒m∥n或m、n异面即m∥n,故“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件.
2.(2020·辽宁沈阳东北育才学校模拟)在空间中,下列命题中为真命题的是( D )
A.垂直于同一直线的两条直线平行
B.平行于同一平面的两条直线平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.平行于同一平面的两个平面平行
3.(2019·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE︰EB=AF︰FD=1︰4,H,G分别是BC,CD的中点,则( B )
A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
[解析]
如图,由条件知EF∥BD,
EF=BD,HG∥BD,HG=BD,
∴EF∥HG且EF=HG,
∴四边形EFGH为梯形,
∵EF∥BD,EF⊄平面BCD,
BD⊂平面BCD,
- 11 -
∴EF∥平面BCD.故选B.
4.(2019·青岛二模)已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,则α∥β的一个充分条件是( D )
A.m∥α,m∥β
B.α⊥γ,β⊥γ
C.m⊂α,n⊂β,m∥n
D.m,n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α
[解析] A中,α,β可能相交,故错误;B不正确,如正方体中过同一个顶点的三个平面的关系;C中α,β可能相交,故错误;根据直线与平面平行的性质定理及平面与平面平行的判定定理可知D正确.
5.(2019·山东泰安期末)有两条不同的直线m,n与两个不同的平面α,β,下列命题正确的是( A )
A.m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n
B.m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n
C.m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n
D.m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n
[解析] 对于A,由m⊥α,n∥β,且α∥β得m⊥n,故正确;对于B,由m⊥α,n⊥β,α⊥β得m⊥n,故错误;对于C,由m∥α,n⊥β,且α⊥β得m∥n或m,n相交或异面,故错误;对于D,由m∥α,n∥β,且α∥β得m,n的关系可以是相交或平行或异面,故错误.故选A.
6.若P为异面直线a,b外一点,则过P且与a,b均平行的平面( B )
A.不存在 B.零个或一个
C.可以有两个 D.有无数多个
[解析] 记a与P所确定的平面为α,当b∥α时,与a,b均平行的平面不存在,当b不平行α时,与a,b均平行的平面有一个,故选B.
7.(2019·衡水中学调研卷)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上—点,当PA∥平面EBF时,=( D )
A. B.
- 11 -
C. D.
[解析]
连接AC交BE于点G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FG,所以PA∥FG,所以=.因为AD∥BC,AD=BC,E为AD的中点,所以==,所以=.
8.(2017·课标全国Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A )
[解析] B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,AB∥NQ,且AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A.
二、多选题
9.已知平面α∥β,点A,C∈α,B,D∈β,直线AB与直线CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,则CS的长可能为( AC )
A.16 B.18
C.272 D.252
[解析] 本题主要考查两平面平行的性质定理.①当点S在两平行平面之间时,如图1所示,∵直线AB与直线CD交于点S,直线AB与直线CD可确定一个平面γ,且α∩γ=AC,β∩γ=BD.∵α∥β,∴AC∥BD,∴=,即=,得=,解得CS=16.②当点S在两平行平面的同侧时,如图2所示,由①知AC∥BD,则有=,即=,解得CS=272.故选AC.
- 11 -
10.(2020·山东乐陵一中模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的有( AD )
A.直线A1B B.直线BB1
C.平面A1DC1 D.平面A1BC1
[解析] 如图,
A1B∥D1C,又A1B⊄平面ACD1,
∴A1B∥平面ACD1,A正确;
BB1与平面ACD1相交,B错误;
DC1与CD1相交,∴平面ACD1与平面A1DC1相交,C错误;∵A1C1∥AC,A1C1⊄平成ACD1,
∴A1C1∥平面ACD1,又A1B∩A1C1=A,
∴平面ACD1∥平面ABC1,D正确;
故选AD.
11.(2020·安徽安庆模拟改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、Q分别是棱D1C1,A1D1、BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1.则下列四个说法中正确的是( BC )
A.MN∥平面APC B.C1Q∥平面APC
C.A、P、M三点共线 D.平面MNQ∥平面APC
[解析] A.连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM、CN,
- 11 -
易得AM、CN交于点P,即MN⊂平面APC,
所以MN∥平面APC是错误的;
B.由A知M、N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,
所以C1Q∥平面APC是正确的;
C.由A知,A,P,M三点共线是正确的;
D.由A知MN⊂平面APC,又MN⊂平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面APC是错误的.故选B、C.
三、填空题
12.(2019·桂林二模)已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,给出下列四个命题:①a∥b,b∥c⇒a∥c;②a∥α,b∥α⇒a∥b;③a∥α,β∥α⇒a∥β;④a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是__①④__.(写出所有正确命题的序号)
[解析] 根据线线平行的传递性,可知①正确;若a∥α,b∥α,则a,b可能平行、相交、异面,故②不正确;若a∥α,β∥α,则a∥β或a⊂β,故③不正确;由线面平行的判定定理可知④正确.故正确的命题是①④.
13.
如图所示,在正四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件__点M在线段FH上(或点M与点H重合)__时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
[解析] 连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,
∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,
则MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.
四、解答题
14.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,E,F分别是棱AD,PC的中点.证明:EF∥平面PAB.
- 11 -
[解析] 证明:如图,取PB的中点M,连接MF,AM.
因为F为PC的中点,
故MF∥BC且MF=BC.
由已知有BC∥AD,BC=AD.
因为E为AD的中点,
即AE=AD=BC,
所以MF∥AE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.
又AM⊂平面PAB,而EF⊄平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
注:本题也可取BC的中点H,通过证平面EFH∥平面PAB得结论;也可连CE并延长交BA的延长线于H,证EF∥PH即可.
15.(2020·四省八校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,点M在线段PC上,PD=BD=BC=,N是线段PB的中点,且三棱锥M-BCD的体积是四棱锥P-ABCD的体积的.
(1)若H是PM的中点,证明:平面ANH∥平面BDM;
(2)若PD⊥平面ABCD,求点D到平面BCM的距离.
[解析] (1)证明:连接AC交BD于点O,连接OM,
由题可知:由VM-DCD=VP-ABCD可知:MC=PC,
- 11 -
则MC=HC,所以OM∥AH,
且NH∥BM,且AH∩NH=H,
所以平面ANH∥平面MDB.
(2)由题可知,M到平面BCD的距离为,VM-BCD=,
在Rt△PDC中,PD=CD=,∴PC=,
在△PBC中,由余弦定理可知:cos∠PCB=,
sin∠PCB=,
在△BCM中,CM=,BC=,
设点D到平面BCM的距离为h,
则VM-DCD=VD-DCM=⇒h=,
所以点D到平面BCM的距离为.
16.(2019·合肥质检)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,M为棱AE的中点.
(1)求证:平面BDM∥平面EFC;
(2)若AB=1,BF=2,求三棱锥A-CEF的体积.
[解析] (1)证明:如图,连AC,设AC与BD交于点N,
则N为AC的中点,连接MN,
又M为棱AE的中点,
∴MN∥EC.
∵MN⊄平面EFC,
- 11 -
EC⊂平面EFC,
∴MN∥平面EFC.
∵BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且BF=DE,
∴BF∥DE且BF=DF,
∴四边形BDEF为平行四边形,∴BD∥EF.
∵BD⊄平面EFC,EF⊂平面EFC,∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD=N,MN,BD⊂平面BDM,
∴平面BDM∥平面EFC.
(2)连接EN,FN.
在正方形ABCD中,AC⊥BD,
又BF⊥平面ABCD,∴BF⊥AC.
又BF∩BD=B,
BF,BD⊂平面BDEF,
∴AC⊥平面BDFF,
又N是AC的中点,
∴V三棱锥A-NEF=V三棱锥C-NEF,
∴V三棱锥A-CEF=2V三棱锥A-NEF=2××AN×S△NEF=2×××××2=,∴三棱锥A-CEF的体积为.
B组能力提升
1.(2019·安徽滁州期末)已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法中正确的是( B )
A.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n
B.若m⊂α,α∥β,则m∥β
C.若n⊥β,α⊥β,则n∥α
D.若m⊂α,n⊂β,α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,则α⊥β
2.(2019·甘肃兰州诊断)已知直线m,n和平面α,则m∥n的一个必要条件是( D )
A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥α
- 11 -
C.m∥α,n⊂α D.m,n与平面α成等角
[解析] A中,m,n可以都和平面垂直,必要性不成立;B中,m,n可以都和平面平行,必要性不成立;C中,n不一定在平面内,必要性不成立;D中,m,n平行,则m,n与α成的角一定相等,但反之如果两直线m,n与α成的角相等则不一定平行,所以是必要不充分条件,故选D.
3.(多选题)(2020·宜昌调研)如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,则下列结论正确的是( ABC )
A.PC∥平面OMN
B.平面PCD∥平面OMN
C.OM⊥PA
D.直线PD与MN所成角的大小为90°
[解析]
如图,连接AC,易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,结论A正确.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,结论B正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,结论C正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,又三角形PDC为等边三角形,所以∠PDC=60°,所以直线PD与MN所成的角即∠PDC,故D错误.故正确的结论为A、B、C.
4.
(2019·江西吉安一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为( B )
A. B.
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C. D.
[解析] 如图1,取B1C1的中点E,C1D1的中点F,连接EF,BE,DF,B1D1,则EF∥B1D1,B1D1∥BD,所以EF∥BD,故EF,BD在同一平面内,连接ME,因为M,E分别为A1D1,B1C1的中点,所以ME∥AB,且ME=AB,所以四边形ABEM是平行四边形,
所以AM∥BE,又因为BE⊂平面BDFE,AM⊄平面BDFE.
所以AM∥平面BDFE,同理AN∥平面BDFE,因为AM∩AN=A,
所以平面AMN∥平面BDFE,所以平面BDFE为平面α,
BD=,EF=B1D1=,DF=BE=,
等腰梯形BDFE如图2,
过E,F作BD的垂线,则四边形EFGH为矩形,
∴FG===,
故所得截面的面积为×(+)×=,故选B.
5.(2019·湖北荆州第八次模拟)已知:如图,在四棱锥P-ABCD中,△BCD为等边三角形,BD=2,PA=,AB=AD=PB=PD,∠BAD=120°.
(1)若点E为PC的中点,求证:BE∥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
[解析] (1)证明:取CD的中点M,连接EM,BM.
∵△BCD为等边三角形,∴BM⊥CD.
- 11 -
∵∠BAD=120°,AD=AB,
∴∠ADB=30°,∴∠ADC=90°,
∴AD⊥CD,∴BM∥AD.
又∵BM⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴BM∥平面PAD.
∵E为PC的中点,M为CD的中点,
∴EM∥PD.
又∵EM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴EM∥平面PAD.
∵EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD.
又∵BE⊂平面BEM,∴BE∥平面PAD.
(2)连接AC交BD于O,连接PO.
∵CB=CD,AB=AD,
∴AC⊥BD,O为BD的中点.
又∵∠BAD=120°,BD=2,
△PBD≌△ABD,∴AO=PO=1.又∵PA=,
∴PA2=PO2+OA2,∴PO⊥OA.
又∵PO⊥BD,BD∩OA=O,
∴PO⊥平面ABD,即四棱锥P-ABCD的高为PO=1,
∴四棱锥P-ABCD的体积为V=×[×(2)2+×2×1]×1=.
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