高中数学必修3教案：2_2_2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（教、学案） 12页

‎2. 2.2‎‎ 用样本的数字特征估计总体的数字特征 ‎〖教学目标〗‎ ‎1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差 ‎2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；‎ ‎3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。‎ ‎〖教学重难点〗‎ 教学重点　　用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。‎ 教学难点　　能应用相关知识解决简单的实际问题。‎ ‎〖教学过程〗‎ ‎ 一、复习回顾 作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？‎ ‎ 二、创设情境 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕‎ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；‎ 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. ‎ 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。‎ ‎ 三、 新知探究 众数、中位数、平均数 众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。‎ 中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。‎ 平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。‎ 思考探究：‎ 分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么 问题？为什么会这样呢？‎ 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？‎ 答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。‎ ‎ （2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。‎ 练一练：‎ 假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征 来表示国家对每一个项目投资的平均金额？‎ 解析：平均数。‎ 一、 标准差、方差 在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕‎ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；‎ 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. ‎ 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？‎ 我们知道，。‎ 两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察图2.2－7）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。‎ 1、 标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。‎ 思考探究：‎ ‎1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？‎ ‎2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？‎ 答：（1）显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。‎ ‎ （2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据 ‎ 都等于样本平均数。‎ 2、 方差 在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。‎ 四、例题精析 ‎ 例1：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：‎ 甲：900，920，900，850，910，920‎ 乙：890，960，950，850，860，890‎ 那种水稻的产量比较稳定？‎ ‎ [分析]采用求标准差的方法 解：‎ ‎ ‎ 所以甲水稻的产量比较稳定。‎ 点评：在平均值相等的情况下，比较方差或标准差。‎ 变式训练：在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：‎ ‎ 90 89 90 95 93 94 93 ‎ ‎ 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 ‎（A）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为 ‎90+=92；方差为2.8，故选B。‎ 例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在 的人数是　 . ‎ ‎(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数　 .‎ ‎(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数　 .‎ 点评：在直方图中估计中位数、平均数。‎ 变式训练：‎ 某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：‎ 等待时间（分钟）‎ 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ，病人等待时间的标准差的估计值= ‎ ‎ 五、反馈测评 ‎1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：‎ 成绩 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数分布 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ 则选手的平均成绩是 （ ）‎ A．4 B.‎4.4 C.8 D.8.8‎ ‎2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .‎ ‎3.．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为 ‎ ‎4．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.‎ ‎（1）这样的抽样是何种抽样方法？‎ ‎（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.‎ ‎ ‎ 六、课堂小结 ‎1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？ ‎ ‎2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？ ‎ ‎〖板书设计〗‎ 一、众数、中位数、平均数 二、标准差、方差 例题讲解 练一练 小结 ‎〖书面作业〗‎ 课本 6 7 ‎ ‎ ‎ ‎2.2.2‎‎ 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课前预习学案 一、预习目标：‎ 通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。‎ 二、预习内容：‎ ‎1、知识回顾：‎ ‎ 作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？‎ ‎2、众数、中位数、平均数的概念 众 数:____________________________________________________________________‎ 中位数:___________________________________________________________________‎ 平均数:____________________________________________________________________‎ ‎3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：‎ 众数在样本数据的频率分布直方图中，就是______________________________________‎ 中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。‎ 平均数是直方图的___________.‎ ‎4.标准差、方差 标准差 s=_________________________________________________________________‎ 方 差s2=_________________________________________________________________‎ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标：‎ ‎1. 能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差 ‎2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；‎ ‎3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。‎ 二、学习内容 ‎1.众数、中位数、平均数 思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？‎ 思考2： 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？‎ 练一练：‎ 假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？‎ ‎2. 标准差、方差 在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕‎ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；‎ 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. ‎ 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？‎ 思考1：标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？‎ 思考2：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？‎ ‎3、〖典型例题〗‎ 例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在 的人数是　 . ‎ ‎(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数　 .‎ ‎(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数　 .‎ 例2：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：‎ 甲：900，920，900，850，910，920‎ 乙：890，960，950，850，860，890‎ 那种水稻的产量比较稳定？‎ 三、反思总结 ‎1、 在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？ ‎ ‎ ‎ ‎2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?‎ 四、当堂检测 1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：‎ 成绩 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数分布 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ 则选手的平均成绩是 （ ）‎ A．4 B.‎4.4 C.8 D.8.8‎ ‎2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .‎ ‎3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：‎ 等待时间（分钟）‎ 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ，病人等待时间的标准差的估计值= ‎ ‎4．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为 ‎ ‎5．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98‎ ‎；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.‎ ‎（1）这样的抽样是何种抽样方法？‎ ‎（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.‎ 课后练习与提高 ‎1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）‎ A．1 B‎.2 C.3 D.4‎ 解：由平均数公式为10，得，则，又由于方差为2，则得 ‎ ‎ 所以有，故选D.‎ ‎2.某房间中10个人的平均身高为‎1.74米，身高为‎1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？‎ 解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1075米 ‎[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数 解：年平均收入为1（万）；中位数和众数均为1万 ‎3.下面是某快餐店所有工作人员的收入表：‎ 老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 ‎3000元 ‎450元 ‎350元 ‎400元 ‎320元 ‎320元 ‎410元 ‎（1）计算所有人员的月平均收入；‎ ‎（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？‎ ‎（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？‎ ‎（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析