2009年高考试题—数学文（海南卷）解析版 12页

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）‎ 数学（文史类）‎ 第I卷 一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。‎ （1） 已知集合,则 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】集合A与集合B都有元素3和9，故，选.D。‎ ‎（2） 复数 ‎（A） （B） （C） (D)‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】，故选.C。‎ ‎（3）对变量 有观测数据（，）（），得散点图1；对变量有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。‎ ‎（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 ‎（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 ‎3．【答案】C ‎【解析】图1的的散点分布在斜率小于0的直线附近，y随x的增大而减小，故变量x 与y 负相关；图2的的散点分布在斜率大于0的直线附近，u随v的增大而减小，故变量v 与v ‎ 正相关，故选C。‎ ‎（4）有四个关于三角函数的命题：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎：xR, += : , ‎ ‎: x, : ‎ 其中假命题的是 ‎（A）， （B）， （3）， （4），‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】因为+＝1，故是假命题；当x＝y时，成立，故是真命题；＝｜sinx｜，因为x，所以，｜sinx｜＝sinx，正确；当x＝，y＝时，有，但，故假命题，选.A。‎ ‎5）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ‎（A）+=1 （B）+=1‎ ‎（C）+=1 （D）+=1‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B。.‎ ‎（6）设满足则 ‎（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 ‎（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 ‎6．【答案】B ‎【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B ‎（7）已知，向量与垂直，则实数的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选.A。‎ ‎（8）等差数列的前n项和为，已知，,则 ‎（A）38 （B）20 （C）10 （D）9‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（‎2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。‎ ‎（9） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ‎ ‎ （A） ‎ ‎（B）‎ ‎ （C）三棱锥的体积为定值 ‎ （D）‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】可证故A正确，由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D.‎ ‎（10）如果执行右边的程序框图，输入，那么输出的各个数的和等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】第1步：y＝0，x＝－1.5；第2步：y＝0，x＝－1；第3步：y＝0，x＝－0.5；第4步：y＝0，x＝0；第5步：y＝0，x＝0.5；第6步：y＝0.5，x＝1；第7步：y＝1，x＝1.5；第8步：y＝1，x＝2；第9步：y＝1，退出循环，输出各数和为：0.5＋1＋1＋1＝3.5，故选.B。‎ ‎（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面积为：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选.A。‎ ‎（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。‎ 设 (x0),则的最大值为 ‎（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C。.‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13题）~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22题）~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（13）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即 ‎（14）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。‎ ‎14、【答案】‎ ‎【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故.‎ ‎（15）等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和 ‎= ‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。‎ ‎（16）已知函数的图像如图所示，则 。‎ ‎16．【答案】0‎ ‎【解析】由图象知最小正周期T＝（）＝＝，故＝3，又x＝时，f（x）＝0，即2）＝0，可得，所以，2＝0。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深 ‎，求∠DEF的余弦值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(17) 解：‎ 作交BE于N，交CF于M．‎ ‎，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，‎ ‎．　．．．．．．6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 在中，由余弦定理，‎ ‎. ．．．．．．12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º ‎（Ⅰ）证明：AB⊥PC ‎（Ⅱ）若，且平面⊥平面， ‎ 求三棱锥体积。 （18）解：‎ ‎（Ⅰ）因为是等边三角形，,‎ 所以,可得。‎ 如图，取中点，连结,,‎ 则,,‎ 所以平面,‎ 所以。 ．．．．．．6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）作，垂足为，连结．‎ 因为，‎ 所以，．‎ 由已知，平面平面，故．　　　　　　　　．．．．．．8分 因为，所以都是等腰直角三角形。‎ 由已知，得， 的面积．‎ 因为平面，‎ 所以三角锥的体积 ‎ ．．．．．．．12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.‎ ‎（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？‎ ‎（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2‎ 表1：‎ 生产能力分组 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎3‎ 表2：‎ 生产能力分组 人数 ‎ 6‎ ‎ y ‎ 36‎ ‎ 18‎ （1） 先确定，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）‎ ‎(ii)分别估计类工人和 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。‎ ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）类工人中和类工人中分别抽查25名和75名。 ．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）(ⅰ)由，得，‎ ‎ ，得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 频率分布直方图如下 ‎ ．．．．．．8分 从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9分 ‎ （ii） ，‎ ‎ ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1‎ （I） 求椭圆的方程‘‎ （II） 若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，‎ ‎（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎{ 解得a=4,c=3,‎ 所以椭圆C的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得 而，故 ①‎ 由点P在椭圆C上得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 代入①式并化简得 所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ (1) 设，求函数的极值；‎ (2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得 ‎ 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 列表讨论的变化情况：‎ ‎（-1，3）‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值6‎ 极小值-26‎ 所以，的极大值是，极小值是 ‎（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.‎ 若上是增函数，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 上的最小值是最大值是 由于是有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 若a>1,则不恒成立.‎ 所以使恒成立的a的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 如图，已知ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（1）证明：四点共圆；‎ ‎ （2）证明：CE平分DEF。‎ ‎ （22）解：‎ ‎（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以∠BAC+∠BCA=120°.‎ 因为AD,CE是角平分线，‎ 所以∠HAC+∠HCA=60°，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故∠AHC=120°.‎ 于是∠EHD=∠AHC=120°.‎ 因为∠EBD+∠EHD=180°，‎ 所以B,D,H,E四点共圆。‎ ‎（Ⅱ）连结BH，则BH为的平分线，得30°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以30°‎ 又60°，由已知可得，‎ 可得30°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以CE平分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。‎ ‎ 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。‎ ‎（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 ‎ （t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 为圆心是，半径是1的圆。‎ 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）当时，，故 为直线，‎ M到的距离 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 从而当时，取得最小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离， 表示到距离4倍与到距离的6倍的和.‎ ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）要使的值不超过70， 应该在什么范围内取值？‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（24）解：‎ ‎（Ⅰ） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）依题意，满足 解不等式组，其解集为 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎