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- 2021-07-01 发布
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2.2.1 条件概率
学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
知识点一 条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格,90件产品的质量合格,85件产品的长度、质量都合格.
令A={产品的长度合格},B={产品的质量合格},AB={产品的长度、质量都合格}.
思考1 试求P(A),P(B),P(AB).
答案 P(A)=,P(B)=,P(AB)=.
思考2 任取一件产品,已知其质量合格(即B发生),求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率.
答案 事件A|B发生,相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格,其概率为P(A|B)=.
思考3 P(B),P(AB),P(A|B)间有怎样的关系.
答案 P(A|B)=.
梳理
条件
设A,B为两个事件,且P(A)>0
含义
在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
记作
P(B|A)
读作
A发生的条件下B发生的概率
计算公式
①缩小样本空间法:P(B|A)=
②公式法:P(B|A)=
13
知识点二 条件概率的性质
1.任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(B|A)≤1.
2.如果B和C是两个互斥事件,则
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
1.若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.( × )
2.事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生.( √ )
类型一 求条件概率
例1 现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的事件数n(Ω)=A=30.
根据分步乘法计数原理,有n(A)=AA=20,
所以P(A)===.
(2)因为n(AB)=A=12,所以P(AB)===.
(3)方法一 由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)===.
方法二 因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)===.
13
反思与感悟 利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A).
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)=,这个公式适用于一般情形,其中AB表示A,B同时发生.
跟踪训练1 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 A
解析 设某天的空气质量为优良是事件B,随后一天的空气质量为优良是事件A,故所求概率为P(A|B)===0.8.
例2 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
解 将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15个.在这15个中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率P==.
引申探究
1.在本例条件下,求乙抽到偶数的概率.
解 在甲抽到奇数的情形中,乙抽到偶数的有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9个,所以所求概率P==.
2.若甲先取(放回),乙后取,若事件A:“甲抽到的数大于4”;事件B:“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P(B|A).
解 甲抽到的数大于4的情形有:(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12个,其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有:(5,2),(6,1),共2个.所以P(B|A)==.
13
反思与感悟 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=,这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.
跟踪训练2 5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案
解析 设第1次取到新球为事件A,第2次取到新球为事件B,则P(B|A)===.
类型二 条件概率的性质及应用
例3 把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,求试验成功的概率.
考点 条件概率的性质及应用
题点 条件概率性质的简单应用
解 设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},
B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},
R={第二次取出的球是红球},
W={第二次取出的球是白球},
则容易求得P(A)=,P(B)=,P(R|A)=,
P(W|A)=,P(R|B)=,P(W|B)=.
事件“试验成功”表示为AR∪BR,又事件AR与事件BR互斥,故由概率的加法公式,得
P(AR∪BR)=P(AR)+P(BR)
=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)
=×+×=0.59.
13
反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得较复杂事件的概率.
跟踪训练3 在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
考点 条件概率的性质及应用
题点 条件概率性质的简单应用
解 记事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=,P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),
P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)
=+=+=.
故获得优秀成绩的概率为.
1.已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)等于( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 C
解析 因为P(B|A)=,所以P(A)===.
2.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285
考点 条件概率的定义及计算公式
13
题点 直接利用公式求条件概率
答案 A
解析 记事件A为“甲厂产品”,事件B为“合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,
∴P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665.
3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案 B
解析 P(A)==,P(AB)==,
P(B|A)==.
4.假定生男、生女是等可能的,一个家庭中有两个小孩,已知有一个是女孩,则另一个小孩是男孩的概率是________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案
解析 一个家庭的两个小孩只有4种可能:{男,男},{男,女},{女,男},{女,女},由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的,所求概率P=.
5.抛掷红、蓝两枚骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”,求:
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率;
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 抛掷红、蓝两枚骰子,事件总数为6×6=36,事件A的基本事件数为6×2=12,
所以P(A)==.
由于3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8.
所以事件B的基本事件数为4+3+2+1=10,
所以P(B)==.
13
事件AB的基本事件数为6.
故P(AB)==.
由条件概率公式得
(1)P(B|A)===.
(2)P(A|B)===.
1.条件概率:P(B|A)==.
2.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系:P(AB)表示在样本空间Ω中,计算AB发生的概率,而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中,计算B发生的概率.用古典概型公式,则P(B|A)=,P(AB)=.
一、 选择题
1.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( )
A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 A
解析 记“数学不及格”为事件A,“语文不及格”为事件B,P(B|A)===0.2,
所以数学不及格时,该生语文也不及格的概率为0.2.
2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
13
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案 A
解析 出现点数互不相同的共有6×5=30(种),出现一个5点共有5×2=10(种),所以P(B|A)==.
3.7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案 C
解析 记“甲站在中间”为事件A,“乙站在末尾”为事件B,
则n(A)=A,
n(AB)=A,
所以P(B|A)==.
4.盒中装有6件产品,其中4件一等品,2件二等品,从中不放回地取两次,每次取1件,已知第二次取得一等品,则第一次取得二等品的概率为( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 D
解析 设“第二次取得一等品”为事件A,“第一次取得二等品”为事件B,则P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)==×=.
5.在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A=,B=,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 A
解析 P(A)==.∵A∩B=,
13
∴P(AB)==,∴P(B|A)===.
6.甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点不相同”,B为“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案 C
解析 由题意可知.n(B)=C22=12,n(AB)=A=6.
所以P(A|B)===.
7.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”,则P(A)=,P(AB)=×=,则所求概率为P(B|A)===.
方法二 第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡,其中有7只卡口灯泡,故第2次抽到卡口灯泡的概率为=.
二、填空题
8.某种元件用满6 000小时未坏的概率是,用满10 000小时未坏的概率是,现有一个此种元件,已经用过6 000小时未坏,则它能用到10 000小时的概率为________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案
解析 设“用满6 000小时未坏”为事件A,“用满10 000小时未坏”为事件B,则P(A)=
13
,P(AB)=P(B)=,所以P(B|A)===.
9.如图,四边形EFGH是以O为圆心、1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,
则(1)P(A)=________;
(2)P(B|A)=________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 (1) (2)
解析 正方形的面积为2,圆的面积为π.
(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,
∴P(A)=.
(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,
∴P(AB)=,∴P(B|A)==.
10.设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率 0.4,现有一个20岁的这种动物,则它能活到25岁的概率是________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 0.5
解析 设该动物活到20岁为事件A,活到25岁为事件B,则P(A)=0.8,P(B)=0.4,
又P(AB)=P(B),
所以P(B|A)====0.5.
11.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为________.
13
考点 条件概率的性质及应用
题点 条件概率性质的简单应用
答案
解析 设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,
则D=B∪C且B与C互斥.
又P(A)==,
P(AB)==,
P(AC)==,
故P(D|A)=P(B∪C|A)
=P(B|A)+P(C|A)
=+=.
三、解答题
12.从1~100共100个正整数中,任取一数,已知取出的一个数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率.
考点 条件概率的性质及应用
题点 条件概率性质的简单应用
解 设事件C为“取出的数不大于50”,事件A为“取出的数是2的倍数”,事件B为“取出的数是3的倍数”.
则P(C)=,且所求概率为
P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)
=+-
=2×=.
13.坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率;
(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率;
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
13
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A,“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B,则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的总基本事件数为n(Ω)=A=20.
又n(A)=A×A=12,
于是P(A)===.
(2)因为n(AB)=3×2=6,
所以P(AB)===.
(3)由(1)(2),可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)===.
四、探究与拓展
14.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,记事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数且x≠y”,则概率P(B|A)=________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案
解析 根据题意,事件A为“x+y为偶数”,则x,y两个数均为奇数或偶数,共有2×3×3=18个基本事件.
∴事件A发生的概率为P(A)==,而A,B同时发生,基本事件有“2+4”,“2+6”,“4+2”,“4+6”,“6+2”,“6+4”,共6个,
∴事件A,B同时发生的概率为P(AB)==,
∴P(B|A)===.
15.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;
13
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.
考点 条件概率的性质及应用
题点 条件概率性质的简单应用
解 (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C=28,这2个产品都是次品的事件数为C=3,所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1,事件B2,事件B3彼此互斥.
P(B1)==,P(B2)==,
P(B3)==,
所以P(A|B1)=,
P(A|B2)=,P(A|B3)=.
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
13
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