2020高中数学 课时分层作业3 合情推理 新人教A版选修1-2 6页

课时分层作业(三)　合情推理 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1. 下列推理是归纳推理的是(　　)‎ A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝‎2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 B　[由归纳推理的定义知B是归纳推理，故选B.]‎ ‎2．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；‎ ‎④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；‎ ‎⑥“＝”类比得到“＝”．‎ 其中类比结论正确的个数是(　　) ‎ ‎【导学号：48662051】‎ A．1　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ B　[由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B.]‎ ‎3．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是(　　)‎ A．2n－2 B．2n－2‎ C．2n－2－ D．2n＋1－4‎ A　[∵a1＝0＝21－2，‎ ‎∴a2＝‎2a1＋2＝2＝22－2，‎ a3＝‎2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，‎ a4＝‎2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，‎ ‎……‎ 猜想an＝2n－2.故选A.]‎ ‎4．用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示：‎ 6‎ 图217‎ 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　) ‎ ‎【导学号：48662052】‎ A．6n－2 B．8n－2‎ C．6n＋2 D．8n＋2‎ C　[归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝6n＋2.]‎ ‎5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体SABC的体积为V，则r＝(　　)‎ A. B. C. D. C　[设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.]‎ 二、填空题 ‎6．观察分析下表中的数据：‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________. ‎ ‎【导学号：48662053】‎ F＋V－E＝2　[观察分析、归纳推理．‎ 观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.]‎ ‎7．观察下列等式 ‎1＝1‎ 6‎ ‎2＋3＋4＝9‎ ‎3＋4＋5＋6＋7＝25‎ ‎4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49‎ 照此规律，第n个等式为________．‎ n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2　[观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.]‎ ‎8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．‎ a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9　[结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.]‎ 三、解答题 ‎9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式. ‎ ‎【导学号：48662054】‎ ‎[解]　先化简递推关系：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，‎ ‎∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，‎ ‎∴＋Sn－1＋2＝0.‎ 当n＝1时，S1＝a1＝－.‎ 当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.‎ 当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.‎ 当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.‎ 猜想：Sn＝－，n∈N＋.‎ ‎10．如图218所示，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．‎ 图218‎ 6‎ ‎[解]　在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝＋＝＝＝1.‎ 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，‎ 则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.‎ 证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＋＋＝＝＝1.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：‎ ‎①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是(　　) ‎ ‎【导学号：48662055】‎ A．①②　　　　　 B．②③‎ C．③④ D．①④‎ B　[根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．]‎ ‎2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)‎ A．f(x) B．－f(x)‎ C．g(x) D．－g(x)‎ D　[由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]‎ ‎3．可以运用下面的原理解决一些相关图形(如图219)的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．‎ 6‎ 图219‎ πab　[由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k＝，∴椭圆面积S＝πa2·＝πab.]‎ ‎4．将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎……‎ 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________. ‎ ‎【导学号：48662056】‎ 　[前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.]‎ ‎5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2110(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．‎ 图2110‎ ‎(1)求出f(5)；‎ ‎(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．‎ ‎[解]　(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，‎ ‎∴f(5)＝25＋4×4＝41.‎ 6‎ ‎(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，‎ f(3)－f(2)＝8＝4×2，‎ f(4)－f(3)＝12＝4×3，‎ f(5)－f(4)＝16＝4×4，‎ 由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.‎ ‎∴f(2)－f(1)＝4×1，‎ f(3)－f(2)＝4×2，‎ f(4)－f(3)＝4×3，‎ ‎…‎ f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，‎ f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．‎ ‎∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，‎ ‎∴f(n)＝2n2－2n＋1.‎ 6‎