2020高中数学 课时分层作业12 等差数列前n项和的综合应用 新人教A版必修5 5页

课时分层作业(十二)　等差数列前n项和的综合应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)‎ A．－2　　　　　　　 B．－1‎ C．0 D．1‎ B　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.]‎ ‎2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于(　　) ‎ ‎【导学号：91432182】‎ A．100 B．101‎ C．200 D．201‎ A　[A、B、C三点共线⇔a1＋a200＝1，‎ ‎∴S200＝(a1＋a200)＝100.]‎ ‎3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于(　　)‎ A．15 B．35‎ C．66 D．100‎ C　[易得an＝ ‎|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，‎ 令an>0则2n－5>0，∴n≥3.‎ ‎∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|‎ ‎＝1＋1＋a3＋…＋a10‎ ‎＝2＋(S10－S2)‎ ‎＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]‎ ‎4．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　)‎ ‎【导学号：91432183】‎ A．18 B．19‎ C．20 D．21‎ C　[a1＋a3＋a5＝105＝‎3a3，‎ ‎∴a3＝35，‎ a2＋a4＋a6＝99＝‎3a4，‎ - 5 -‎ ‎∴a4＝33，‎ ‎∴d＝＝－2，‎ ‎∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，‎ 令an>0，∴41－2n>0，‎ ‎∴n<，‎ ‎∴n≤20.]‎ ‎5.＋＋＋＋…＋等于(　　)‎ A. B. C. D. C　[通项an＝＝，‎ ‎∴原式＝ ‎＝ ‎＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.‎ ‎【导学号：91432184】‎ ‎5　[∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.]‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足50，‎ ‎∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.‎ - 5 -‎ 故当n＝5或6时，Sn最大．]‎ 三、解答题 ‎9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？‎ ‎[解]　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，‎ 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.‎ ‎(2)法一：a1＝9，d＝－2，‎ Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n ‎＝－(n－5)2＋25，‎ ‎∴当n＝5时，Sn取得最大值．‎ 法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．‎ 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.‎ ‎∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.‎ ‎∴当n＝5时，Sn取得最大值．‎ ‎10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.‎ ‎【导学号：91432186】‎ ‎[解]　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.‎ 当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ‎＝na1＋d＝13n＋×(－4)‎ ‎＝15n－2n2；‎ 当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|‎ ‎＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)‎ ‎＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn ‎＝2×－(15n－2n2)‎ ‎＝2n2－15n＋56.‎ ‎∴Tn＝ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)‎ A．12 B．14‎ C．16 D．18‎ - 5 -‎ B　[Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，‎ S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，‎ 所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，‎ 由Sn＝＝210，得n＝14.]‎ ‎2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)‎ ‎【导学号：91432187】‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ C　[am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.]‎ ‎3．已知数列：1，，，…，，…，则其前n项和等于________．‎ 　[通项an＝＝ ‎＝2，‎ ‎∴所求的和为 ‎2 ‎＝2＝.]‎ ‎4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________.‎ ‎【导学号：91432188】‎ ‎11　7　[设等差数列{an}的项数为2n＋1，‎ S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1‎ ‎＝＝(n＋1)an＋1，‎ S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，‎ 所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，‎ S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.‎ ‎(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；‎ ‎(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；‎ - 5 -‎ ‎(3){Sn}有多少项大于零？‎ ‎[解]　(1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．‎ ‎(2)Sn＝－n2＋13n＝－2＋，n∈N*，‎ ‎∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．‎ ‎{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.‎ ‎(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．‎ - 5 -‎