2011年数学理（全国）高考试题 10页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修II）‎ ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。‎ 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一、选择题 ‎1．复数，为的共轭复数，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数的反函数为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎ A．8 B．‎7 ‎ C．6 D．5‎ ‎5．设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 ‎ A． B． C． D．1 ‎ ‎7．‎ 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ‎ A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 ‎8．曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎9．设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=‎ ‎ A．- B． C． D．‎ ‎10．已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 ‎ A．7 B．‎9‎ C．11 D．13‎ ‎12．设向量a，b，c满足= =1，=，=，则的最大值等于 ‎ A．2 B． C． D．1‎ 绝密★启用前 ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修II）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上作答无效）‎ ‎13．（1-）20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: ．y2‎ ‎14．已知a∈（，），sinα=，则tan2α= ‎ ‎15．已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0）‎ ‎，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ．‎ ‎16．己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B‎2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=b，求 C． ‎ ‎18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 ‎（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；‎ ‎（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 ‎ ‎19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．‎ ‎（Ⅰ）证明：;‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ‎21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足 ‎（Ⅰ）证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．‎ ‎22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎（Ⅰ）设函数，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为．证明：‎ 参考答案 评分说明：‎ ‎ 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。‎ ‎ 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎ 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎ 4．只给整数分数，选择题不给中间分。‎ 一、选择题 ‎1—6 BBADCC 7—12 BAADDA 二、填空题 ‎13．0 14． 15．6 16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．解：由及正弦定理可得 ‎ …………3分 ‎ 又由于故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………7分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎18．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；‎ ‎ B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；‎ ‎ C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；‎ ‎ D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；‎ ‎ （I） …………3分 ‎ …………6分 ‎ （II）‎ ‎，即X服从二项分布， …………10分 所以期望 …………12分 ‎19．解法一：‎ ‎ （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，‎ ‎ 连结SE，则 ‎ 又SD=1，故，‎ ‎ 所以为直角。 …………3分 ‎ 由，‎ ‎ 得平面SDE，所以。‎ ‎ SD与两条相交直线AB、SE都垂直。‎ ‎ 所以平面SAB。 …………6分 ‎ （II）由平面SDE知，‎ ‎ 平面平面SED。‎ ‎ 作垂足为F，则SF平面ABCD，‎ ‎ ‎ ‎ 作，垂足为G，则FG=DC=1。‎ ‎ 连结SG，则，‎ ‎ 又，‎ ‎ 故平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分 ‎ 作，H为垂足，则平面SBC。‎ ‎ ，即F到平面SBC的距离为 ‎ 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 ‎ 设AB与平面SBC所成的角为α，‎ ‎ 则 …………12分 ‎ 解法二：‎ ‎ 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。‎ 设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。‎ 又设 ‎ （I），，‎ 由得 故x=1。‎ 由 又由 即 …………3分 于是，‎ 故 所以平面SAB。 …………6分 ‎ （II）设平面SBC的法向量，‎ 则 又 故 …………9分 取p=2得。‎ 故AB与平面SBC所成的角为 ‎20．解：‎ ‎ （I）由题设 ‎ 即是公差为1的等差数列。‎ ‎ 又 ‎ 所以 ‎ （II）由（I）得 ‎ ， …………8分 ‎ …………12分 ‎21．解：‎ ‎（I）F（0，1），的方程为，‎ 代入并化简得 ‎ …………2分 设 则 由题意得 所以点P的坐标为 经验证，点P的坐标为满足方程 故点P在椭圆C上。 …………6分 ‎ （II）由和题设知， ‎ PQ的垂直平分线的方程为 ‎ ①‎ 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为 ‎ ②‎ 由①、②得的交点为。 …………9分 故|NP|=|NA|。‎ 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，‎ 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，‎ 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分 ‎22．解：‎ ‎ （I）， …………2分 ‎ 当，‎ 所以为增函数，又，‎ 因此当 …………5分 ‎ （II）‎ 又，‎ 所以 …………9分 由（I）知：当 因此 在上式中，令 所以