2020高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式1 基本不等式的证明学案 苏教版必修5 4页

基本不等式的证明 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 基本不等式的证明 ‎1.掌握基本不等式 （a≥0，b≥0）；‎ ‎2.能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式，即可解决的问题）‎ 选择题 填空题 基本不等式的证明中要注意多次运用公式等号能否同时取到，这一章节也是不等式的难点。‎ 二、重难点提示 重点：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式证明不等式。‎ 难点：理解基本不等式等号成立的条件。‎ 考点一：基本不等式 如果a，b是正数，那么 （当且仅当a＝b时取“＝”），我们把不等式称为基本不等式。‎ ‎【要点诠释】‎ ‎① 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，‎ 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。‎ ‎② 对于“=”的理解应为若，则且若，则，也就是说当时，。‎ ‎③ 注意与成立的条件是不同的，前者是，后者是。‎ 考点二：基本不等式的其他形式 基本不等式的四种形式 ‎ ① ；（）；‎ ‎② （）；‎ ‎③ （）；‎ 4‎ ‎④ （）。‎ ‎【要点诠释】‎ ‎①②两种形式的前提是，③④两种形式的前提是；四种形式等号成立的条件都是。‎ 考点三：利用基本不等式证明不等式 ‎（1）注意均值不等式的前提条件；‎ ‎（2）通过加减项的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；‎ ‎（3）注意“1”的代换；‎ ‎（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用。‎ 如；‎ ‎（5）合理配组，反复应用不等式。‎ 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点。‎ ‎【随堂练习】若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是________。‎ 思路分析：（1）利用特殊值法判断；（2）利用基本不等式判断大小。‎ 答案：方法一：取，则。显然a＋b最大。‎ 方法二：　因为0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，所以a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，所以四个数中最大的数应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－（a＋b）＝a（a－1）＋b（b－1），又因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以a（a－1）＜0，b（b－1）＜0，所以a2＋b2－（a＋b）＜0，即a2＋b2＜a＋b，所以a＋b最大。‎ 技巧点拨：特殊值法是解决客观题的一种简单实用的方法；基本不等式是比较大小的一种途径。‎ 例题1 （基本不等式的简单证明）‎ 已知a＞b＞c，求证：。‎ 思路分析：不等式左侧分式含a，b，c三个字母，右侧只有a，c，把a－c用a－b＋b－c表达，然后利用配凑法、基本不等式，把分式缩为整式。 ‎ 答案：∵a＞b＞c，‎ ‎∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＝a－b＋b－c＞0，‎ ‎∴所证不等式等价于 （a－c）≥4。‎ 4‎ 又 （a－c） ‎ 技巧点拨：在解题过程中，把数值或代数式拆成两项或多项，或是恒等地配凑成适当的数或式子是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧。‎ 例题2 （多次利用基本不等式证明简单不等式）‎ 已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＞＋＋。‎ 思路分析：分析不等式结构→利用基本不等式→同向不等式相加→分析等号是否成立。‎ 答案： ‎ ‎∵a＞0，b＞0，c＞0， ‎ ‎∴a＋b≥2，‎ b＋c≥2，‎ c＋a≥2，‎ ‎∴2（a＋b＋c）≥2（），‎ 即a＋b＋c≥，‎ 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立。‎ ‎∴a＋b＋c＞。‎ 技巧点拨： ‎ 本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意基本不等式的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话要搞清楚。‎ 例题3 （含条件的不等式的证明）‎ 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：≥9。‎ 思路分析：利用“1”的代换，把中的1用a＋b＋c代换，然后利用分数性质和基本不等式解决。‎ 答案：∵a＋b＋c＝1，‎ 4‎ ‎≥3＋2＋2＋2＝9。‎ 当且仅当a＝b＝c＝时，取等号。‎ 技巧点拨：使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立。‎ ‎【拓展训练】‎ 一道综合不等式的证明 ‎【满分训练】 设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，‎ 求证：loga（ax＋ay）＜＋loga2。‎ 思路分析：通过代换减少变量，利用基本不等式和一元二次函数的最值解决。‎ 答案：∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2，又∵0＜a＜1，∴loga（ax＋ay）≤loga2＝logaax＋y＋loga2＝ （x＋y）＋loga2。‎ 因为y＋x2＝0，‎ ‎∴loga（ax＋ay）≤ （x－x2）＋loga2＝－ （x－）2＋＋loga2≤＋loga2，‎ 又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证。‎ 技巧点拨：注意：在利用基本不等式和一元二次不等式时，求最值中等号不能同时取到。‎ 4‎