2020高中数学 课时分层作业12 抛物线及其标准方程 新人教A版选修2-1 5页

课时分层作业(十二) 抛物线及其标准方程 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　)‎ A．y2＝－2x　　　　 B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y B　[由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B．]‎ ‎2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为(　　) ‎ ‎【导学号：46342108】‎ A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝±8x D　[由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(－2,0)，因此抛物线方程为y2＝±8x.]‎ ‎3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)‎ A．4　　 B．‎6　‎　　　C．8　　　　D．12‎ B　[抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.]‎ ‎4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)‎ A．－ B．－‎1 C．－ D．－ C　[抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝＝－.]‎ ‎5．如图242，南北方向的公路l，A地在公路正东‎2 km处，B地在A东偏北30°方向‎2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(　　)万元．‎ 5‎ 图242‎ A．(2＋)a B．2(＋1)a C．‎5a D．‎‎6a C　[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向‎2km处，‎ ‎∴B到点A的水平距离为3(km)，‎ ‎∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，‎ 那么修建这两条公路的总费用最低为：‎5a(万元)，故选C．]‎ 二、填空题 ‎6．抛物线y＝2x2的准线方程为________．‎ y＝－　[化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，‎ ‎∴准线方程为y＝－.]‎ ‎7．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．‎ ‎4　[抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.]‎ ‎8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件：‎ ‎①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．‎ 其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)‎ ‎②④　[抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k 5‎ ‎＝－2，此时存在，所以④满足．]‎ 三、解答题 ‎9．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，求k的值．‎ ‎[解]　根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF⊥x轴，知点P，F的横坐标相等，再根据点P在曲线y＝上求出k.‎ ‎∵y2＝4x，∴F(1,0)．‎ 又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．‎ 将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.‎ ‎10．如图243是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝‎18米，拱顶距离水面‎8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝‎9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？ ‎ ‎【导学号：46342109】‎ 图243‎ ‎[解]　如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．‎ 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．‎ ‎∵B点在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，‎ ‎∴p＝，∴抛物线的方程为x2＝－y.‎ 当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.‎ ‎∴|DE|不超过‎6米才能使货船通过拱桥．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为(　　)‎ 5‎ A．2 B．4‎ C． D．＋1‎ A　[将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A．]‎ ‎2．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y D　[由e2＝1＋＝4得＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0‎ 抛物线C2的焦点坐标为，‎ 则有＝2，解得p＝8‎ 故抛物线C2的方程为x2＝16y.]‎ ‎3．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．‎ ‎2　[抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.]‎ ‎4．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．‎ ‎(－6,6)或(－6，－6)　[设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6.‎ 代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6.‎ 因此P(－6,6)或P(－6，－6)．]‎ ‎5．如图244，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. ‎ 5‎ 图244‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标. ‎ ‎【导学号：46342110】‎ ‎[解]　(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，‎ 于是4＋＝5，p＝2，‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．‎ 又F(1,0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．‎ 因为MN⊥FA，所以kMN＝－，‎ 则MN的方程为y＝－x＋2.‎ 解方程组，得，‎ 所以N.‎ 5‎