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  • 2021-07-01 发布

人教版高三数学总复习课时作业79

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课时作业79 坐标系 一、填空题 ‎1.在直角坐标系中,点P的坐标为(-1,-),则点P的极坐标为________.‎ 解析:ρ==2, ‎∴θ=π,即P(2,π).‎ 答案:(2,π)‎ ‎2.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是________(填序号).‎ ‎①;②;③(1,0);④(1,π)‎ 解析:圆的方程可化为ρ2=-2ρsinθ,由 得x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1,圆心为(0,-1),‎ 化为极坐标为.‎ 答案:②‎ ‎3.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是________(填序号).‎ ‎①两个圆;②两条直线;③一个圆和一条射线;④一条直线和一条射线.‎ 解析:由(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)得,ρ=1或θ=π.其中ρ=1表示以极点为圆心,半径为1的圆,θ=π表示以极点为起点与Ox 反向的射线.‎ 答案:③‎ ‎4.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1的交点的极坐标为________.‎ 解析:曲线ρ(cosθ+sinθ)=1化为直角坐标方程为x+y=1,ρ(sinθ-cosθ)=1化为直角坐标方程为y-x=1.联立方程组得则交点为(0,1),对应的极坐标为.‎ 答案: ‎5.在极坐标系中,ρ=4sinθ是圆的极坐标方程,则点A 到圆心C的距离是________.‎ 解析:将圆的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0,圆心坐标为(0,2).又易知点A的直角坐标为(2,2),故点A到圆心的距离为=2.‎ 答案:2 ‎6.极坐标系下,直线ρcos(θ-)=与圆ρ=2的公共点个数是________.‎ 解析:将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x+y=2,x2+y2=4,由于圆心到直线的距离d=<2,故直线与圆相交,即公共点个数共有2个.‎ 答案:2‎ ‎7.在极坐标系中,曲线C1:ρ=2cosθ,曲线C2:θ=,若曲线C1与 C2交于A、B两点,则线段AB=________.‎ 解析:曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为,因此AB=.‎ 答案: ‎8.在极坐标系中,P,Q是曲线C:ρ=4sinθ上任意两点,则线段PQ长度的最大值为________.‎ 解析:由曲线C:ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,x2+y2-4y=0,x2+(y-2)2=4,即曲线C:ρ=4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆,易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长,因此线段PQ长度的最大值是4.‎ 答案:4‎ ‎9.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是________.‎ 解析:‎ θ=0,θ=,ρcosθ+ρsinθ=1三直线对应的直角坐标方程分别为:y=0,y=x,x+y=1,作出图形得围成图形为如图△OAB,S= ‎.‎ 答案: 二、解答题 ‎10.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin=.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.‎ 解:(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,‎ 圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,‎ 即x2+y2-x-y=0,‎ 直线l:ρsin=,即ρsinθ-ρcosθ=1,‎ 则直线l的直角坐标方程为:y-x=1,‎ 即x-y+1=0.‎ ‎(2)由 得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎11.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,ρcos=1.‎ ‎(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;‎ ‎(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.‎ 解:(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离为d=>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点.‎ ‎(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则即①‎ 因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,‎ 所以ρ0cos=1,②‎ 将①代入②,得cos=1,‎ 即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为2+2=1,因此点P的轨迹是以 为圆心,1为半径的圆.‎ ‎1.(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为(  )‎ A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤ C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤ D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤ 解析:∵y=1-x(0≤x≤1),把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式得ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1).整理得ρ=.(0≤θ≤).故选A.‎ 答案:A ‎2.(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是________.‎ 解析:曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1,设直线l的方程为y=x+b,因为弦长|AB|=2,所以圆心(2,1)到直线l的距离d=0,所以圆心在直线l上,故y=x-1⇒ρsinθ=ρcosθ-1⇒ρsin=-,故填ρsin=-.‎ 答案:ρsin=- ‎3.(2014·重庆卷)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=________.‎ 解析:直线l的普通方程为x-y+1=0,曲线C的平面直角坐标方程y2=4x.∴公共点为(1,2),∴ρ=.‎ 答案: ‎4.(2014·辽宁卷)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程;‎ ‎(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ 解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得,‎ 由x+y=1得x2+()2=1,即曲线C的方程为x2+=1.‎ 故C的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)由,解得:,或.‎ 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=(x-),‎ 化为极坐标方程,并整理得 ‎2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.‎