人教版高三数学总复习课时作业79 7页

课时作业79　坐标系 一、填空题 ‎1．在直角坐标系中，点P的坐标为(－1，－)，则点P的极坐标为________．‎ 解析：ρ＝＝2， ‎∴θ＝π，即P(2，π)．‎ 答案：(2，π)‎ ‎2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________(填序号)．‎ ‎①；②；③(1,0)；④(1，π)‎ 解析：圆的方程可化为ρ2＝－2ρsinθ，由 得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，‎ 化为极坐标为.‎ 答案：②‎ ‎3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________(填序号)．‎ ‎①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．‎ 解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．‎ 答案：③‎ ‎4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．‎ 解析：曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.‎ 答案： ‎5．在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A 到圆心C的距离是________．‎ 解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.‎ 答案：2 ‎6．极坐标系下，直线ρcos(θ－)＝与圆ρ＝2的公共点个数是________．‎ 解析：将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x＋y＝2，x2＋y2＝4，由于圆心到直线的距离d＝<2，故直线与圆相交，即公共点个数共有2个．‎ 答案：2‎ ‎7．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与 C2交于A、B两点，则线段AB＝________.‎ 解析：曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.‎ 答案： ‎8．在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．‎ 解析：由曲线C：ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.‎ 答案：4‎ ‎9．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是________．‎ 解析：‎ θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB，S＝ ‎.‎ 答案： 二、解答题 ‎10．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由 得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎11．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1.‎ ‎(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；‎ ‎(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．‎ 解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．‎ ‎(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则即①‎ 因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，‎ 所以ρ0cos＝1，②‎ 将①代入②，得cos＝1，‎ 即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2＋2＝1，因此点P的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆．‎ ‎1．(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 解析：∵y＝1－x(0≤x≤1)，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)．整理得ρ＝.(0≤θ≤)．故选A.‎ 答案：A ‎2．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．‎ 解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，因为弦长|AB|＝2，所以圆心(2,1)到直线l的距离d＝0，所以圆心在直线l上，故y＝x－1⇒ρsinθ＝ρcosθ－1⇒ρsin＝－，故填ρsin＝－.‎ 答案：ρsin＝－ ‎3．(2014·重庆卷)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.‎ 解析：直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程y2＝4x.∴公共点为(1,2)，∴ρ＝.‎ 答案： ‎4．(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得，‎ 由x＋y＝1得x2＋()2＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由，解得：，或.‎ 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝(x－)，‎ 化为极坐标方程，并整理得 ‎2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.‎