2020年高中数学第二章推理与证明2 5页

‎2.2.2‎‎ 反证法 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是(　　)‎ A．a＜b　　　　　　　　　 B．a≤b C．a＝b D．a≥b 解析：“a＞b”的否定应为“a＝b或a＜b”，即a≤b.故应选B.‎ 答案：B ‎2．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为(　　)‎ A．a，b，c，d全都大于等于0‎ B．a，b，c，d全为正数 C．a，b，c，d中至少有一个正数 D．a，b，c，d中至多有一个负数 解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.‎ 答案：A ‎3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)‎ A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．‎ 答案：D ‎4．给定一个命题“已知x1＞0，x2≠1且xn＋1＝，证明对任意正整数n都有xn＞xn＋‎1”‎，当此题用反证法否定结论时应是(　　)‎ A．对任意正整数n有xn≤xn＋1‎ B．存在正整数n使xn≤xn＋1‎ C．存在正整数n使xn＞xn＋1‎ D．存在正整数n使xn≥xn－1且xn≥xn＋1‎ 解析：“对任意正整数n都有xn＞xn＋‎1”‎的否定为“存在正整数n使xn≤xn＋‎1”‎．‎ 答案：B 5‎ ‎5．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中(　　)‎ A．都不大于－2‎ B．都不小于－2‎ C．至少有一个不大于－2‎ D．至少有一个不小于－2‎ 解析：＋＋＝＋＋ ‎∵a，b，c∈(－∞，0)，∴a＋＝－≤－2，b＋＝－≤－2，‎ c＋＝－≤－2，‎ ‎∴＋＋≤－6，‎ ‎∴三数a＋、c＋、b＋中至少有一个不大于－2，故应选C.‎ 答案：C ‎6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．‎ 解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．‎ 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形 ‎7．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________．‎ 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.‎ 答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP ‎8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；‎ ‎②所以一个三角形中不能有两个直角；‎ ‎③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.‎ 正确顺序的序号排列为________．‎ 解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.‎ 答案：③①②‎ 5‎ ‎9．已知a≥－1，求证以下三个方程：‎ x2＋4ax－‎4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－‎2a＝0中至少有一个方程有实数解．‎ 证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：‎ ‎⇒ ‎⇒－＜a＜－1，这与已知 a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．‎ ‎10．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．‎ 证明：假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．‎ 于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，‎ 即x2＋y2＋xy＝0，‎ 即(x＋)2＋y2＝0.‎ 由y≠0，得y2>0.‎ 又(x＋)2≥0，‎ 所以(x＋)2＋y2>0.‎ 与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．‎ 答案：C ‎2．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 5‎ 解析：分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意．‎ 答案：B ‎3．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．‎ 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.‎ 答案：0‎ ‎4．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．‎ 证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．‎ 解析：据题目要求及解题步骤，‎ 因为a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，‎ 所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数．‎ 即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．‎ 又因为a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，‎ 所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0.‎ 所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)‎ ‎＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.‎ 答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)‎ ‎(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)‎ ‎5．已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.‎ 证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于，‎ 即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞.‎ ‎∵a，b，c都是小于1的正数，‎ ‎∴＞，＞，＞，‎ ‎∴＋＋＞.(*)‎ 5‎ 又∵≤，≤，≤，‎ ‎∴＋＋≤＋＋＝＝(当且仅当1－a＝b,1－b＝c,1－c＝a，即a＝b＝c＝时，等号成立)，与(*)式矛盾．‎ ‎∴假设不成立，原命题成立，‎ 故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.‎ ‎6．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．‎ 证明：如图，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)，‎ 在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，‎ 则y＝2pxi(i＝1,2,3,4)，‎ 于是直线AB的斜率为kAB＝＝，‎ 同理：kBC＝，kCD＝，kDA＝.‎ 假设四边形ABCD为平行四边形，‎ 则有kAB＝kCD，kBC＝kDA，‎ 即有 ‎①－②得y1－y3＝y3－y1，‎ ‎∴y1＝y3，同理y2＝y4，‎ 则x1＝＝＝x3，‎ 同理x2＝x4，‎ 由，.‎ 显然A，C重合，B，D重合．这与A，B，C，D为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立．‎ ‎∴四边形ABCD不可能是平行四边形.‎ 5‎