2020版高中数学 第3章 不等式 同步精选测试 均值不等式 5页

同步精选测试 　均值不等式 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　)‎ A.0 B‎.1 C.2 D.4‎ ‎【解析】　＝＝＋2≥＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立.‎ ‎【答案】　D ‎2.已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为 ‎(　　) ‎ ‎【导学号：18082110】‎ A.2 B.4 C.16 D.不存在 ‎【解析】　∵点P(x，y)在直线AB上，‎ ‎∴x＋2y＝3，‎ ‎∴2x＋4y≥2＝2 ‎＝4.‎ ‎【答案】　B ‎3.下列函数中，最小值为4的函数是(　　)‎ A.y＝x＋ B.y＝sin x＋ C.y＝ex＋4e－x D.y＝log3x＋logx81‎ ‎【解析】　A、D不能保证是两正数之和，sin x取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x＝ln 2时等号成立.‎ ‎【答案】　C ‎4.如果log‎3m＋log3n≥4，那么m＋n的最小值为(　　)‎ A.4　　　　B‎.4‎　　　　C.9　　　　D.18‎ ‎【解析】　∵log‎3m＋log3n＝log3mn≥4，‎ ‎∴mn≥34.又由已知条件隐含着m＞0，n＞0，‎ ‎∴m＋n≥2≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取到最小值，‎ ‎∴m＋n的最小值为18.‎ 5‎ ‎【答案】　D ‎5.已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) ‎ ‎【导学号：18082111】‎ A.3 B‎.4 C. D. ‎【解析】　∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0.‎ ‎∴00，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，‎ 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.‎ ‎【答案】　C ‎2.若lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为(　　)‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【解】　由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，‎ 得 因为 x>0，y>0，所以 3xy＝x＋y＋1≥2＋1，‎ 所以 3xy－2－1≥0，‎ 即 3()2－2－1≥0，‎ 所以(3＋1)(－1)≥0，‎ 所以≥1，所以 xy≥1，‎ 当且仅当 x＝y＝1 时，等号成立，‎ 所以 xy 的最小值为1.‎ ‎【答案】　A ‎3.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时＋－的最大值为________. ‎ ‎【导学号：18082113】‎ ‎【解析】　＝＝≤＝1，‎ 当且仅当x＝2y时等式成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎4.已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f的大小并加以证明.‎ ‎【解】　[f(x1)＋f(x2)]≤f.‎ 证明：f(x1)＋f(x2)‎ ‎＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，‎ f＝lg.‎ 5‎ ‎∵x1，x2∈R＋，‎ ‎∴≥ ，‎ ‎∴lg≤lg，‎ 即lg(x1·x2)≤lg，‎ ‎∴(lg x1＋lg x2)≤lg.‎ 故[f(x1)＋f(x2)]≤f.‎ 5‎