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- 2021-07-01 发布
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2019高三数学第一次模拟考试试题
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)
1.已知集合A={1,2,5},B={2,a},若A∪B={1,2,3,5},则a= .
2.抛物线y2=4x的焦点坐标为 .
3.不等式<0的解是 .
4.若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z= .
5.在代数式(x﹣)7的展开式中,一次项的系数是 .(用数字作答)
6.若函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= .
7.(5分)若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),则a= .
8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm3,则该几何体的侧面积为 cm2.
9.(5分)已知函数y=f(x)是奇函数,当x<0 时,f(x)=2x﹣ax,且f(2)=2,则a= .
10.(5分)若无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项 a1=1,公比为a﹣,且 Sn=a,则a= .
11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成 4人志愿者服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)
12.(5分)在ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点D,E.若•=6,||=2,则AC= .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
13.(5分)展开式为ad﹣bc的行列式是( )
A. B. C. D.
14.(5分)设a,b∈R,若a>b,则( )
A.< B.lga>lgb C.sin a>sin b D.2a>2b
15.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2≥1 B.|ab|≥1 C.|a+b|≥1 D.|a﹣b|≥2
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1C与底面ABCD所成的角为60°,
(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;
(2)求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小.
18.(14分)已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.
(1)求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x的值;
(2)在△ABC 中,a,b,c分别是角 A,B,C所对的边,若a=,b=,且f()=,求边c的值.
19.(14分)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f (n)为第 1 年至此后第 n (n∈N*)年的累计利润(注:含第 n 年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:千万元),且当 f (n)为正值时,认为该项目赢利.
(1)试求 f (n)的表达式;
(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.
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20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+y2=1 (a>0,a≠1)的两个焦点分别是F1,F2,直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆交于A,B两点.
(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,求a的值;
(2)若k=1,且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,求a与m满足的关系;
(3)若a=2,且kOA•kOB=﹣,求证:△OAB的面积为定值.
21.(18分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成
立,则称函数f(x)在其定义域 D上是“k﹣利普希兹条件函数”.
(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;
(2)判断函数f(x)=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;
(3)若y=f(x)(x∈R )是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1.
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三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.解:(1)∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,
∴AA1⊥平面ABCD,AC==2,
∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角,
∵A1C与底面ABCD所成的角为60°,
∴∠A1CA=60°,∴AA1=AC•tan60°=2•=2,
∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4,
∴四棱锥A1﹣ABCD的体积:
V===.
(2)∵BD∥B1D1,
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角(或所成角的补角).
∵BD=,A1D=A1B==2,
∴cos∠A1BD===.
∴∠A1BD=arccos.
∴异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos.
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18.解:f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)
(1)当2x+=时,即x=(k∈Z),f(x)取得最大值为2;
(2)由f()=,即2sin(A+)=
可得sin(A+)=
∵0<A<π
∴<A<
∴A=或
∴A=或
当A=时,cosA==
∵a=,b=,
解得:c=4
当A=时,cosA==0
∵a=,b=,
解得:c=2.
19.解:(1)由题意知,第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8+2(n﹣1)=2n+6(千万元),
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第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为+×+×+…+×
=(千万元).
∴f(n)=﹣(2n+6)=﹣2n﹣7(千万元).
(2)方法一:∵f(n+1)﹣f(n)=[﹣2(n+1)﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4],
∴当n≤3时,f(n+1)﹣f(n)<0,故当n≤4时,f(n)递减;
当n≥4时,f(n+1)﹣f(n)>0,故当n≥4时,f(n)递增.
又f(1)=﹣<0,f(7)=≈5×﹣21=﹣<0,f(8)=﹣23≈25﹣23=2>0.
∴该项目将从第8年开始并持续赢利.
答:该项目将从2023年开始并持续赢利;
方法二:设f(x)=﹣2x﹣7(x≥1),则f′(x)=,
令f'(x)=0,得=≈=5,∴x≈4.
从而当x∈[1,4)时,f'(x)<0,f(x)递减;
当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增.
又f(1)=﹣<0,f(7)=≈5×﹣21=﹣<0,f(8)=﹣23≈25﹣23=2>0.
∴该项目将从第8年开始并持续赢利.
答:该项目将从2023年开始并持续赢利.
20.解:(1)∵M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,
∴△MF1F2为等腰直角三角形,
∴OF1=OM,
当a>1时,=1,解得a=,
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当0<a<1时,=a,解得a=,
(2)当k=1时,y=x+m,设A(x1,y1),(x2,y2),
由,即(1+a2)x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0,
∴x1+x2=﹣,x1x2=,
∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=,
∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,
∴•=0,
∴x1x2+y1y2=0,
∴+=0,
∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0
∴m2(a2+1)=2a2,
(3)证明:当a=2时,x2+4y2=4,
设A(x1,y1),(x2,y2),
∵kOA•kOB=﹣,
∴•=﹣,
∴x1x2=﹣4y1y2,
由,整理得,(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.
∴x1+x2=,x1x2=,
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=++m2=,
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∴=﹣4×,
∴2m2﹣4k2=1,
∴|AB|=•=•
=2•=
∵O到直线y=kx+m的距离d==,
∴S△OAB=|AB|d==•==1
21.解:(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,
不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.
∵1≤x2<x1≤4,∴<<,
∴k的最小值为 .
(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),
令x1=,x2=,则f()﹣f()=log2﹣log2=﹣1﹣(﹣2)=1,
而2|x1﹣x2|=,∴f(x1)﹣f(x2)>2|x1﹣x2|,
∴函数f(x)=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”.
证明:(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期[0,2]内f(a)=M,f(b)=m,
则|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b)≤|a﹣b|.
若|a﹣b|≤1,显然有|f(x1)﹣f(x2)|≤|a﹣b|≤1.
若|a﹣b|>1,不妨设a>b,则0<b+2﹣a<1,
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b+2)≤|a﹣b﹣2|<1.
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综上,|f(x1)﹣f(x2)|≤1.
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