成都市高三二轮复习文科数学（十七） 圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题 9页

第 9 页 共 9 页 成都市高三二轮复习文科数学（十七） ‎ 圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题 最值问题 ‎[例1]　(2019·广州市综合检测(一))已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过点(－1，0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值.‎ ‎[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵点M在直线y＝x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c，0)，∴点M.‎ ‎∵＝·＝，∴c＝1.∴解得 ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知，F1(－1，0)，过点F1(－1，0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F2PQ的周长为‎4a＝8，又S△F2PQ＝·‎4a·r(r为△F2PQ的内切圆半径)，∴当△F2PQ的面积最大时，其内切圆面积最大.‎ 设直线l的方程为x＝ky－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 消去x得(4＋3k2)y2－6ky－9＝0， ∴∴S△F2PQ＝·|F‎1F2|·|y1－y2|＝.‎ 令＝t，则t≥1，∴S△F2PQ＝，令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，当t∈ [1，＋∞)时，f′(t)>0，‎ f(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，∴S△F2PQ＝≤3，当t＝1时取等号，即当k＝0时，△F2PQ的面积取得最大值3，结合S△F2PQ＝·‎4a·r，得r的最大值为，∴△F2PQ的内切圆面积的最大值为π.‎ ‎[题后悟通]　‎ 最值问题的2种基本解法 第 9 页 共 9 页 几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)‎ 代数法 建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法(如本例)等)‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎(2019·河北省九校第二次联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值.‎ 解：(1)由题意可知F，则直线MN的方程为y＝x－，‎ 代入y2＝2px(p>0)得x2－3px＋＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，‎ ‎∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，‎ ‎∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1，∴l：y＝x＋1. 由(1)可知，x1＋x2＝6，x1x2＝1，‎ 设P(m，m＋1)，则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，‎ ‎∴·＝(x1－m)(x2－m)＋ [y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2，‎ ‎(y1y2)2＝16x1x2＝16，∴y1y2＝－4，y－y＝4(x1－x2)，‎ ‎∴y1＋y2＝4×＝4＝1－‎6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2‎ ‎＝2(m2－‎4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值－14.‎ 范围问题 ‎[例2]　(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围.‎ ‎[解]　(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝‎2a，∴r1＝a，r2＝a.‎ 第 9 页 共 9 页 在△PF‎1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，‎ 解得a＝2，∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)联立方程，得消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)>0，①‎ 设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，‎ ‎∵|AQ|＝|BQ|，∴AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，∴k≠0，直线QM的斜率存在，‎ ‎∴k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，② 把②代入①得3＋4k2>，整理得16k4＋8k2－3>0，即(4k2－1)(4k2＋3)>0，解得k>或k<－，故k的取值范围为∪.‎ ‎[题后悟通]　范围问题的解题策略 解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：‎ ‎(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围(如本例)；‎ ‎(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；‎ ‎(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；‎ ‎(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；‎ ‎(5)利用函数值域的求法，确定所求范围；‎ ‎(6)利用已知，将条件转化为几个不等关系，从而求出参数的范围(如本例).‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎(2018·浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.‎ 解：(1)证明：设P(x0，y0)，A，B.‎ 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4·，‎ 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.所以y1＋y2＝2y0，因此PM垂直于y轴.‎ 第 9 页 共 9 页 ‎(2)由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.‎ 因此△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).‎ 因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，‎ 所以△PAB面积的取值范围是.‎ 探索性问题 ‎[例3]　(2019·石家庄市质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.(2)过点(，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎[解]　(1)由题意可得＝，＋＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝4，b2＝1.椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)存在定点Q，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.‎ 设直线l的方程为x＋my－＝0，与椭圆C的方程联立得 整理得，(4＋m2)y2－2my－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t，0)(依题意t≠x1，t≠x2).‎ 由根与系数的关系可得，y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 直线QA与直线QB恰关于x轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数，‎ 所以＋＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0.又x1＋my1－＝0，x2＋my2－＝0，‎ 所以y1(－my2－t)＋y2(－my1－t)＝0，整理得，(－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0，‎ 从而可得，(－t)·－‎2m·＝0，即‎2m(4－t)＝0，‎ 所以当t＝，即Q时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称.特别地，当直线l为x轴时，Q也符合题意.综上所述，在x轴上存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称.‎ ‎[题后悟通]　探索性问题的解题策略 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在.‎ ‎(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.‎ ‎(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.‎ ‎(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.‎ ‎[跟踪训练]‎ 第 9 页 共 9 页 如图，由部分抛物线y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3，2)和.(1)求“黄金抛物线C”的方程；(2)设P(0，1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.‎ 解：(1)因为“黄金抛物线C”过点(3，2)和，‎ 所以r2＝＋＝1，4＝‎3m＋1，解得m＝1.‎ 所以“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0).‎ ‎(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB.显然直线l的斜率存在且不为0，‎ 结合题意可设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令xA<00知k<，所以直线BQ的斜率为kBQ＝.‎ 由消去y并整理，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，‎ 所以xA＝－，yA＝，即A，由xA<0知k>0，所以直线AQ的斜率为kAQ＝－.‎ 因为QP平分∠AQB，且直线QP的斜率不存在，所以kAQ＋kBQ＝0，即－＋＝0，‎ 由0