高考数学专题复习课件：6-3 等比数列及其前n 项和 38页

§6.3 　等比数列及其前 n 项和 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解等比数列的概念 .2. 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 .3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 .4. 了解等比数列与指数函数的关系． 1 ． 等比数列的有关概念 (1) 等比数列的有关概念 一般地，如果一个数列从 _______ 起，每一项与它的前一项的比等于 _________ ，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ______ ，通常用字母 ___ 表示． 第 2 项 同一常数 公比 q 2 ． 等比数列的有关公式 (1) 等比数列的通项公式 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比为 q ， q ≠ 0 ，则它的通项公式 a n ＝ ____________ ． a 1 · q n － 1 (4) 公比不为－ 1 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 仍成等比数列，其公比为 _____ ． q n 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 满足 a n ＋ 1 ＝ qa n ( n ∈ N * ， q 为常数 ) 的数列 { a n } 为等比数列． ( 　　 ) (2) G 为 a ， b 的等比中项 ⇔ G 2 ＝ ab .( 　　 ) (3) 如果数列 { a n } 为等比数列， b n ＝ a 2 n － 1 ＋ a 2 n ，则数列 { b n } 也是等比数列． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × 　 (6) × 1 ． (2015· 课标全国 Ⅱ ) 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 3 ， a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 21 ，则 a 3 ＋ a 5 ＋ a 7 等于 ( 　　 ) A ． 21 　　　　　　　　 B ． 42 C ． 63 D ． 84 【 解析 】 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则由 a 1 ＝ 3 ， a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 21 得 3(1 ＋ q 2 ＋ q 4 ) ＝ 21 ，解得 q 2 ＝－ 3( 舍去 ) 或 q 2 ＝ 2 ，于是 a 3 ＋ a 5 ＋ a 7 ＝ q 2 ( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ＝ 2 × 21 ＝ 42 ，故选 B. 【 答案 】 B 【 答案 】 A 3 ．等比数列 { a n } 中， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 5 ，则数列 {lg a n } 的前 8 项和等于 ( 　　 ) A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3 【 解析 】 数列 {lg a n } 的前 8 项和 S 8 ＝ lg a 1 ＋ lg a 2 ＋ … ＋ lg a 8 ＝ lg( a 1 · a 2 · … · a 8 ) ＝ lg( a 1 · a 8 ) 4 ＝ lg( a 4 · a 5 ) 4 ＝ lg(2 × 5) 4 ＝ 4. 【 答案 】 C 4 ． (2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 是递增的等比数列， a 1 ＋ a 4 ＝ 9 ， a 2 a 3 ＝ 8 ，则数列 { a n } 的前 n 项和等于 ________ ． 【 答案 】 2 n － 1 5 ． (2016· 开封模拟 ) 正项等比数列 { a n } 中， a 2 ＝ 4 ， a 4 ＝ 16 ，则数列 { a n } 的前 9 项和等于 ________ ． 【 答案 】 1 022 题型一　等比数列基本量的运算 【 例 1 】 (1) (2016· 天津河西模拟 ) 在等比数列 { a n } 中，若公比 q ＝ 4 ， S 3 ＝ 21 ，则该数列的通项公式 a n ＝ ( 　　 ) A ． 4 n － 1 　　　　　　　 B ． 4 n C ． 3 n D ． 3 n － 1 (2) 在等比数列 { a n } 中，若 a 4 － a 2 ＝ 6 ， a 5 － a 1 ＝ 15 ，则 a 3 ＝ ________ ． 【 答案 】 (1)A 　 (2)4 或－ 4 【 方法规律 】 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a 1 ， n ， q ， a n ， S n ，一般可以 “ 知三求二 ” ，通过列方程 ( 组 ) 可迎刃而解． 【 答案 】 (1)D 　 (2)3 n － 1 题型二　等比数列的判定与证明 【 例 2 】 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 1 ， S n ＋ 1 ＝ 4 a n ＋ 2. (1) 设 b n ＝ a n ＋ 1 － 2 a n ，证明：数列 { b n } 是等比数列； (2) 求数列 { a n } 的通项公式． 【 引申探究 】 例 2 中 “ S n ＋ 1 ＝ 4 a n ＋ 2 ” 改为 “ S n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ ( n ＋ 1) ” ，其他不变探求数列 { a n } 的通项公式． 【 解析 】 由已知得 n ≥ 2 时， S n ＝ 2 S n － 1 ＋ n . ∴ S n ＋ 1 － S n ＝ 2 S n － 2 S n － 1 ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 2( a n ＋ 1) ，又 a 1 ＝ 1 ， 当 n ＝ 1 时上式也成立，故 { a n ＋ 1} 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 · 2 n － 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n － 1. 【 方法规律 】 (1) 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2) 利用递推关系时要注意对 n ＝ 1 时的情况进行验证． 【 方法规律 】 (1) 在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前 n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质 “ 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则有 a m a n ＝ a p a q ” ，可以减少运算量． (2) 等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列 S k ， S 2 k － S k ， S 3 k － S 2 k ， … 成等比数列，公比为 q k ( q ≠ － 1) ． 跟踪训练 3 (1) (2016· 衡水模拟 ) 已知正数组成的等比数列 { a n } ，若 a 1 · a 20 ＝ 100 ，那么 a 7 ＋ a 14 的最小值为 ( 　　 ) A ． 20 B ． 25 C ． 50 D ．不存在 (2) (2016· 珠海质量监测 ) 等比数列 { a n } 共有奇数项，所有奇数项和 S 奇 ＝ 255 ，所有偶数项和 S 偶 ＝－ 126 ，末项是 192 ，则首项 a 1 等于 ( 　　 ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【 答案 】 (1)A 　 (2)C 【 思路点拨 】 (1) 利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2) 求出前 n 项和，根据函数的单调性证明． 【 规范解答 】 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 因为－ 2 S 2 ， S 3 ， 4 S 4 成等差数列， 所以 S 3 ＋ 2 S 2 ＝ 4 S 4 － S 3 ，即 S 4 － S 3 ＝ S 2 － S 4 ， 【 温馨提醒 】 (1) 分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ① 已知 S n 与 a n 的关系，要分 n ＝ 1 ， n ≥ 2 两种情况． ② 等比数列中遇到求和问题要分公比 q ＝ 1 ， q ≠ 1 讨论． ③ 项数的奇、偶数讨论． ④ 等比数列的单调性的判断注意与 a 1 ， q 的取值的讨论． (2) 数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别 . ► 失误与防范 1 ．特别注意 q ＝ 1 时， S n ＝ na 1 这一特殊情况． 2 ．由 a n ＋ 1 ＝ qa n ， q ≠ 0 ，并不能立即断言 { a n } 为等比数列，还要验证 a 1 ≠ 0. 3 ．在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q ＝ 1 与 q ≠ 1 分类讨论，防止因忽略 q ＝ 1 这一特殊情形而导致解题失误． 4 ．等比数列性质中： S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 也成等比数列，不能忽略条件 q ≠ － 1.