高考数学专题复习课件：12-7概率与统计中的热点问题 33页

§12.7 　热点专题 —— 概率与统计中的热点问题 热点一　求离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值与方差是每年高考的热点，常与古典概型、互斥事件、对立事件、事件的相互独立等相结合考查，弄清随机变量的取值及其对应的概率是解决此类问题的关键． 【 例 1 】 (2015· 安徽高考 ) 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束． (1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2) 已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 ( 单位：元 ) ，求 X 的分布列和均值 ( 数学期望 ) ． 【 方法规律 】 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步： (1) 定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型； (2) 定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应． 热点二　均值与方差的应用 利用离散型随机变量的均值与方差，对现实生活中的问题进行分析、作出决策是高考考查离散型随机变量分布列、均值与方差的一个重要考向，常与古典概型、二项分布、相互独立事件概率等知识综合，以解答题的形式出现． 【 例 2 】 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X ( 年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米 ) 都在 40 以上．其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． (1) 求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系： 年入流量 X 40 ＜ X ＜ 80 80 ≤ X ≤ 120 X ＞ 120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ ② 安装 2 台发电机的情形． 依题意，当 40 ＜ X ＜ 80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝ 5 000 － 800 ＝ 4 200 ，因此 P ( Y ＝ 4 200) ＝ P (40 ＜ X ＜ 80) ＝ p 1 ＝ 0.2 ；当 X ≥ 80 时，两台发电机运行，此时 Y ＝ 5 000 × 2 ＝ 10 000 ，因此 P ( Y ＝ 10 000) ＝ P ( X ≥ 80) ＝ p 2 ＋ p 3 ＝ 0.8. 由此得 Y 的分布列如下 X 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以， E ( Y ) ＝ 4 200 × 0.2 ＋ 10 000 × 0.8 ＝ 8 840. ③ 安装 3 台发电机的情形． 依题意，当 40 ＜ X ＜ 80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝ 5 000 － 1 600 ＝ 3 400 ，因此 P ( Y ＝ 3 400) ＝ P (40 ＜ X ＜ 80) ＝ p 1 ＝ 0.2 ；当 80 ≤ X ≤ 120 时，两台发电机运行，此时 Y ＝ 5 000 × 2 － 800 ＝ 9 200 ，因此 P ( Y ＝ 9 200) ＝ P (80 ≤ X ≤ 120) ＝ p 2 ＝ 0.7 ；当 X ＞ 120 时，三台发电机运行，此时 Y ＝ 5 000 × 3 ＝ 15 000 ，因此 P ( Y ＝ 15 000) ＝ P ( X ＞ 120) ＝ p 3 ＝ 0.1. 因此得 Y 的分布列如下： 所以， E ( Y ) ＝ 3 400 × 0.2 ＋ 9 200 × 0.7 ＋ 15 000 × 0.1 ＝ 8 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台． Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 【 解题模板 】 解决均值与方差的应用问题的步骤 变式训练 2 ．某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金．曲库中歌曲足够多，不重复抽取．比赛共分 7 关：前 4 关播放常见歌曲；第 5 ， 6 关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见歌曲的数量比为 1 ∶ 4 ；第 7 关播放罕见歌曲，通过关卡与对应的奖金如下表所示．选手在通过每一关 ( 最后一关除外 ) 之后可以自主决定退出比赛或继续闯关，若退出比赛，则可获得已经通过关卡对应的奖金之和；若继续闯关但闯关失败，则不获得任何奖金 . 关卡 关卡奖金 / 元 累计奖金 / 元 1 1 000 1 000 2 2 000 3 000 3 3 000 6 000 4 4 000 10 000 5 8 000 18 000 6 12 000 30 000 7 20 000 50 000 (1) 选手甲准备参赛，在家进行自我测试时 50 首常见歌曲，甲能猜对 40 首； 40 首罕见歌曲，甲只能猜对 2 首，以甲在自我测试中猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率为概率． ① 若比赛中，甲已顺利通过前 5 关，求甲闯过第 6 关的概率； ② 在比赛前，甲计划若能通过第 1 ， 2 ， 3 关的任意一关，则继续；若能通过第 4 关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的均值； (2) 设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p ，且乙已经顺利通过前 6 关，当 p 满足什么条件时，乙选择继续闯第 7 关更有利？ Y 0 50 000 P 1 － p p 热点三　概率与统计的综合问题 概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性． 【 例 3 】 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品．以 X ( 单位： t ， 100 ≤ X ≤ 150) 表示下一个销售季度内的市场需求量， T ( 单位：元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1) 将 T 表示为 X 的函数； (2) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 ( 例如：若需求量 X ∈ [100 ， 110) 则取 X ＝ 105 ，且 X ＝ 105 的概率等于需求量落入 [100 ， 110) 的频率 ) ，求 T 的均值． (2) 由 (1) 知利润 T 不少于 57 000 元，当且仅当 120 ≤ X ≤ 150. 由直方图知需求量 X ∈ [120 ， 150] 的频率为 0.7 ，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元概率的估计值为 0.7. (3) 依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET ＝ 45 000 × 0.1 ＋ 53 000 × 0.2 ＋ 61 000 × 0.3 ＋ 65 000 × 0.4 ＝ 59 400. 【 方法规律 】 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题． 变式训练 3 ．从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 ( 同一组中的数据用该区间的中点值作代表 ) ； (2) 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，其中 μ 近似为样本平均数 x ， σ 2 近似为样本方差 s 2 . ① 利用该正态分布，求 P (187.8 ＜ Z ＜ 212.2) ； 【 解析 】 (1) 抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 分别为 x ＝ 170 × 0.02 ＋ 180 × 0.09 ＋ 190 × 0.22 ＋ 200 × 0.33 ＋ 210 × 0.24 ＋ 220 × 0.08 ＋ 230 × 0.02 ＝ 200 ， s 2 ＝ ( － 30) 2 × 0.02 ＋ ( － 20) 2 × 0.09 ＋ ( － 10) 2 × 0.22 ＋ 0 × 0.33 ＋ 10 2 × 0.24 ＋ 20 2 × 0.08 ＋ 30 2 × 0.02 ＝ 150. (2) ① 由 (1) 知， Z ～ N (200 ， 150) ，从而 P (187.8 ＜ Z ＜ 212.2) ＝ P (200 － 12.2 ＜ Z ＜ 200 ＋ 12.2) ＝ 0.682 6. ② 由 ① 知，一件产品的质量指标值位于区间 (187.8 ， 212.2) 的概率为 0.682 6 ，依题意知 X ～ B (100 ， 0.682 6) ，所以 EX ＝ 100 × 0.682 6 ＝ 68.26.