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  • 2021-07-01 发布

高考数学专题复习课件:12-7概率与统计中的热点问题

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§12.7  热点专题 —— 概率与统计中的热点问题 热点一 求离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值与方差是每年高考的热点,常与古典概型、互斥事件、对立事件、事件的相互独立等相结合考查,弄清随机变量的取值及其对应的概率是解决此类问题的关键. 【 例 1 】 (2015· 安徽高考 ) 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2) 已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 ( 单位:元 ) ,求 X 的分布列和均值 ( 数学期望 ) . 【 方法规律 】 离散型随机变量的均值和方差的求解,一般分两步: (1) 定型,即先判断随机变量的分布是特殊类型,还是一般类型,如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型; (2) 定性,对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解,而对于一般类型的随机变量,应先求其分布列然后代入相应公式计算,注意离散型随机变量的取值与概率间的对应. 热点二 均值与方差的应用 利用离散型随机变量的均值与方差,对现实生活中的问题进行分析、作出决策是高考考查离散型随机变量分布列、均值与方差的一个重要考向,常与古典概型、二项分布、相互独立事件概率等知识综合,以解答题的形式出现. 【 例 2 】 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X ( 年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米 ) 都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1) 求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 40 < X < 80 80 ≤ X ≤ 120 X > 120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? ② 安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40 < X < 80 时,一台发电机运行,此时 Y = 5 000 - 800 = 4 200 ,因此 P ( Y = 4 200) = P (40 < X < 80) = p 1 = 0.2 ;当 X ≥ 80 时,两台发电机运行,此时 Y = 5 000 × 2 = 10 000 ,因此 P ( Y = 10 000) = P ( X ≥ 80) = p 2 + p 3 = 0.8. 由此得 Y 的分布列如下 X 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以, E ( Y ) = 4 200 × 0.2 + 10 000 × 0.8 = 8 840. ③ 安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40 < X < 80 时,一台发电机运行,此时 Y = 5 000 - 1 600 = 3 400 ,因此 P ( Y = 3 400) = P (40 < X < 80) = p 1 = 0.2 ;当 80 ≤ X ≤ 120 时,两台发电机运行,此时 Y = 5 000 × 2 - 800 = 9 200 ,因此 P ( Y = 9 200) = P (80 ≤ X ≤ 120) = p 2 = 0.7 ;当 X > 120 时,三台发电机运行,此时 Y = 5 000 × 3 = 15 000 ,因此 P ( Y = 15 000) = P ( X > 120) = p 3 = 0.1. 因此得 Y 的分布列如下: 所以, E ( Y ) = 3 400 × 0.2 + 9 200 × 0.7 + 15 000 × 0.1 = 8 620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 【 解题模板 】 解决均值与方差的应用问题的步骤 变式训练 2 .某电视台举办猜歌曲的娱乐节目:随机播放歌曲片段,选手猜出歌曲名称可以赢取奖金.曲库中歌曲足够多,不重复抽取.比赛共分 7 关:前 4 关播放常见歌曲;第 5 , 6 关播放常见或罕见歌曲,曲库中常见歌曲与罕见歌曲的数量比为 1 ∶ 4 ;第 7 关播放罕见歌曲,通过关卡与对应的奖金如下表所示.选手在通过每一关 ( 最后一关除外 ) 之后可以自主决定退出比赛或继续闯关,若退出比赛,则可获得已经通过关卡对应的奖金之和;若继续闯关但闯关失败,则不获得任何奖金 . 关卡 关卡奖金 / 元 累计奖金 / 元 1 1 000 1 000 2 2 000 3 000 3 3 000 6 000 4 4 000 10 000 5 8 000 18 000 6 12 000 30 000 7 20 000 50 000 (1) 选手甲准备参赛,在家进行自我测试时 50 首常见歌曲,甲能猜对 40 首; 40 首罕见歌曲,甲只能猜对 2 首,以甲在自我测试中猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率为概率. ① 若比赛中,甲已顺利通过前 5 关,求甲闯过第 6 关的概率; ② 在比赛前,甲计划若能通过第 1 , 2 , 3 关的任意一关,则继续;若能通过第 4 关,则退出,求这种情况下甲获得奖金的均值; (2) 设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p ,且乙已经顺利通过前 6 关,当 p 满足什么条件时,乙选择继续闯第 7 关更有利? Y 0 50 000 P 1 - p p 热点三 概率与统计的综合问题 概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体,已成为近几年高考的一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透,情境新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性. 【 例 3 】 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X ( 单位: t , 100 ≤ X ≤ 150) 表示下一个销售季度内的市场需求量, T ( 单位:元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1) 将 T 表示为 X 的函数; (2) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3) 在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 ( 例如:若需求量 X ∈ [100 , 110) 则取 X = 105 ,且 X = 105 的概率等于需求量落入 [100 , 110) 的频率 ) ,求 T 的均值. (2) 由 (1) 知利润 T 不少于 57 000 元,当且仅当 120 ≤ X ≤ 150. 由直方图知需求量 X ∈ [120 , 150] 的频率为 0.7 ,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元概率的估计值为 0.7. (3) 依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET = 45 000 × 0.1 + 53 000 × 0.2 + 61 000 × 0.3 + 65 000 × 0.4 = 59 400. 【 方法规律 】 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主,概率以考查概率计算为主,往往和实际问题相结合,要注意理解实际问题的意义,使之和相应的概率计算对应起来,只有这样才能有效地解决问题. 变式训练 3 .从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (1) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 ( 同一组中的数据用该区间的中点值作代表 ) ; (2) 由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) ,其中 μ 近似为样本平均数 x , σ 2 近似为样本方差 s 2 . ① 利用该正态分布,求 P (187.8 < Z < 212.2) ; 【 解析 】 (1) 抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 分别为 x = 170 × 0.02 + 180 × 0.09 + 190 × 0.22 + 200 × 0.33 + 210 × 0.24 + 220 × 0.08 + 230 × 0.02 = 200 , s 2 = ( - 30) 2 × 0.02 + ( - 20) 2 × 0.09 + ( - 10) 2 × 0.22 + 0 × 0.33 + 10 2 × 0.24 + 20 2 × 0.08 + 30 2 × 0.02 = 150. (2) ① 由 (1) 知, Z ~ N (200 , 150) ,从而 P (187.8 < Z < 212.2) = P (200 - 12.2 < Z < 200 + 12.2) = 0.682 6. ② 由 ① 知,一件产品的质量指标值位于区间 (187.8 , 212.2) 的概率为 0.682 6 ,依题意知 X ~ B (100 , 0.682 6) ,所以 EX = 100 × 0.682 6 = 68.26.