高考数学专题复习课件：6-4 数列求和 45页

§ 6.4 　数列求和 [ 考纲要求 ] 　 1. 熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 .2. 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． (2) 分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2 ． 倒序相加法与并项求和法 (1) 倒序相加法 如果一个数列 { a n } 的前 n 项中首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的． (2) 并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如 a n ＝ ( － 1) n f ( n ) 类型，可采用两项合并求解． 例如， S n ＝ 100 2 － 99 2 ＋ 98 2 － 97 2 ＋ … ＋ 2 2 － 1 2 ＝ (100 2 － 99 2 ) ＋ (98 2 － 97 2 ) ＋ … ＋ (2 2 － 1 2 ) ＝ (100 ＋ 99) ＋ (98 ＋ 97) ＋ … ＋ (2 ＋ 1) ＝ 5 050. 4 ． 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的． 【 答案 】 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 【 答案 】 B 2 ．数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ( － 1) n － 1 · (4 n － 3) ，则它的前 100 项之和 S 100 等于 ( 　　 ) A ． 200 B ．－ 200 C ． 400 D ．－ 400 【 解析 】 S 100 ＝ (4 × 1 － 3) － (4 × 2 － 3) ＋ (4 × 3 － 3) － … － (4 × 100 － 3) ＝ 4 × [(1 － 2) ＋ (3 － 4) ＋ … ＋ (99 － 100)] ＝ 4 × ( － 50) ＝－ 200. 【 答案 】 B 【 答案 】 B 4 ．若数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n ＋ 2 n － 1 ，则数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ________ ． 【 答案 】 2 n ＋ 1 － 2 ＋ n 2 【 答案 】 1 008 跟踪训练 1 (2016· 课标全国 Ⅱ ) S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1 ＝ 1 ， S 7 ＝ 28. 记 b n ＝ [lg a n ] ，其 中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，如 [0.9] ＝ 0 ， [lg 99] ＝ 1. (1) 求 b 1 ， b 11 ， b 101 ； (2) 求数列 { b n } 的前 1 000 项和． 【 方法规律 】 用错位相减法求和时，应注意： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ S n － qS n ” 的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解． 跟踪训练 2 已知数列 { a n } 满足首项为 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ( n ∈ N * ) ．设 b n ＝ 3log 2 a n － 2( n ∈ N * ) ，数列 { c n } 满足 c n ＝ a n b n . (1) 求证：数列 { b n } 为等差数列； (2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 【 解析 】 (1) 证明　 由已知可得， a n ＝ a 1 q n － 1 ＝ 2 n ， b n ＝ 3log 2 2 n － 2 ， ∴ b n ＝ 3 n － 2 ， ∴ b n ＋ 1 － b n ＝ 3 ， ∴ 数列 { b n } 为首项 b 1 ＝ 1 ，公差 d ＝ 3 的等差数列． ► 方法与技巧 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： (1) 转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； (2) 不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和． ► 失误与防范 1 ．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 ( 字母 ) 时，应对其公比是否为 1 进行讨论． 2 ．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 a n ， a n ＋ 1 的式子应进行合并． 3 ．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项 .