2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（12） 16页

‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（12）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）若集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=cosx，x∈R}，则M∩N=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．（5分）=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（　　）‎ A． B． C．5 D．25‎ ‎3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，1）上单调递增的函数是（　　）‎ A．y=|log3x| B．y=x3 C．y=e|x| D．y=cos|x|‎ ‎4．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=ax在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．（5分）函数f（x）=lnx+2x﹣1零点的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎7．（5分）如图，有一条长为a的斜坡AB，它的坡角∠ABC=45°，现保持坡高AC不变，将坡角改为∠ADC=30°，则斜坡AD的长为（　　）‎ A．a B． C．2a ‎8．（5分）有四个关于三角函数的命题：‎ P1：∃x∈R，sinx+cosx=2； P2：∃x∈R，sin2x=sinx；‎ ‎； P4：∀x∈（0，π）sinx＞cosx．‎ 其中真命题是（　　）‎ A．P1，P4 B．P2，P3 C．P3，P4 D．P2，P4‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=ax3+3x2﹣x+2在R上是减函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣3，0） D．[﹣3，0）‎ ‎10．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（　　）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎11．（5分）在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（0，2） C． D．‎ ‎12．（5分）若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）=x，②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），则f（12，16）的值是（　　）‎ A．12 B．16 C．24 D．48‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎13．（4分）已知sin2α=，，则sinα+cosα的值为　 　．‎ ‎14．（4分）函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则该函数表达式为　 　．‎ ‎15．（4分）下列命题中：‎ ‎①f（x）的图象与f（﹣x）关于y轴对称．‎ ‎②f（x）的图象与﹣f（﹣x）的图象关于原点对称．‎ ‎③y=|lgx|与y=lg|x|的定义域相同，它们都只有一个零点．‎ ‎④二次函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）并且有最小值，则f（0）＜f（5）．‎ ‎⑤若定义在R上的奇函数f（x），有f（3+x）=﹣f（x），则f（2010）=0‎ 其中所有正确命题的序号是　 　．‎ ‎16．（4分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为　 　；计算=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17、18、19、20、21题各12分，第22题各14分，共74分）‎ ‎17．（12分）已知tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．‎ ‎（1）求tanα的值；‎ ‎（2）求sin（2α﹣）的值．‎ ‎18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．‎ ‎（1）当m=0时，求A∩B；‎ ‎（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥‎ ‎0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．‎ ‎（1）若，求的值； ‎ ‎（2）若角，求函数f（x）=的值域．‎ ‎20．（12分）已知．求：‎ ‎（1）函数的定义域；‎ ‎（2）判断函数f（x）的奇偶性；‎ ‎（3）求证f（x）＞0．‎ ‎21．（12分）已知A，B是海面上位于东西方向相距20海里的两个观测点，现位于A点北偏东30°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（12）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）若集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=cosx，x∈R}，则M∩N=（　　）‎ A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【解答】解：根据三角函数的图象与性质得N={y|﹣1≤y≤1}，‎ 又集合M={﹣1，0，1}，‎ 所以它们的交集为M∩N={﹣1，0，1}．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（　　）‎ A． B． C．5 D．25‎ ‎【解答】解：∵=（2，1），•=10，|+|=5，‎ ‎∴|+|2=（5）2，‎ 即||=，‎ ‎∴||2=25，‎ 即||=5，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，1）上单调递增的函数是（　　）‎ A．y=|log3x| B．y=x3 C．y=e|x| D．y=cos|x|‎ ‎【解答】解：对于A选项，函数定义域是（0，+∞），故是非奇非偶函数，不合题意，A选项不正确；‎ 对于B选项，函数y=x3是一个奇函数，故不是正确选项；‎ 对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈（0，+∞）时，函数是增函数，故在（0，1）上单调递增，符合题意，故C选项正确；‎ 对于D选项，函数y=cos|x|是偶函数，在（0，1）上单调递减，不合题意 综上知，C选项是正确选项 故选C ‎　‎ ‎4．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；‎ 再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=ax在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：a＞0且a≠1，则“函数f（x）=ax在R上是减函数”，所以a∈（0，1），‎ ‎“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”所以a∈（0，2）；‎ 显然a＞0且a≠1，则“函数f（x）=ax在R上是减函数”，‎ 是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=lnx+2x﹣1零点的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解答】解：在同一坐标系内分别作出函数y=lnx与y=1﹣2x的图象，‎ 易知两函数图象有且只有一个交点，‎ 即函数y=lnx﹣1+2x只有一个零点．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图，有一条长为a的斜坡AB，它的坡角∠ABC=45°，现保持坡高AC不变，将坡角改为∠ADC=30°，则斜坡AD的长为（　　）‎ A．a B． C．2a ‎【解答】解：∵在等腰直角三角形ABC中，斜边|AB|=a，‎ ‎∴|AC|=，‎ 又在直角三角形ADC中，∠ADC=30°，|AC|=，‎ ‎∴sin30°===，‎ ‎∴|AD|=a．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）有四个关于三角函数的命题：‎ P1：∃x∈R，sinx+cosx=2； P2：∃x∈R，sin2x=sinx；‎ ‎； P4：∀x∈（0，π）sinx＞cosx．‎ 其中真命题是（　　）‎ A．P1，P4 B．P2，P3 C．P3，P4 D．P2，P4‎ ‎【解答】解：因为sinx+cosx=sin（x+），所以sinx+cosx的最大值为，‎ 可得不存在x∈R，使sinx+cosx=2成立，得命题P1是假命题；‎ 因为存在x=kπ（k∈Z），使sin2x=sinx成立，故命题P2是真命题；‎ 因为=cos2x，所以，结合x∈[﹣，]得cosx≥0‎ 由此可得，得命题P3是真命题；‎ 因为当x=时，sinx=cosx=，不满足sinx＞cosx，‎ 所以存在x∈（0，π），使sinx＞cosx不成立，故命题P4是假命题．‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=ax3+3x2﹣x+2在R上是减函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣3，0） D．[﹣3，0）‎ ‎【解答】解：由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到f′（x）=3ax2+6x﹣1，‎ 因为函数在R上是减函数，所以f′（x）=3ax2+6x﹣1＜0恒成立，‎ 所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3，‎ 则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．‎ 故选B ‎　‎ ‎10．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（　　）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【解答】解：∵根据正弦定理，‎ 又sinA：sinB：sinC=5：11：13‎ ‎∴a：b：c=5：11：13，‎ 设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）‎ ‎∵c2=a2+b2﹣2abcosC ‎∴cosC===﹣＜0‎ ‎∴角C为钝角．‎ 故选C ‎　‎ ‎11．（5分）在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（0，2） C． D．‎ ‎【解答】解：由题知（x﹣a）⊗（x+a）=（x﹣a）[1﹣（x+a）]=﹣x2+x+a2﹣a=﹣（x﹣）2+a2﹣a+．‎ ‎∴不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立转化为﹣（x﹣）2+a2﹣a+＜1对任意实数x都成立，‎ 则△＜0，‎ 即a2﹣a+＜1恒成立，‎ 解可得﹣＜a＜．‎ 故选C ‎　‎ ‎12．（5分）若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）=x，②‎ f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），则f（12，16）的值是（　　）‎ A．12 B．16 C．24 D．48‎ ‎【解答】解：依题意：∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），∴f（x，x+y）=（x+y）f（x，y）‎ ‎∴f（12，16）=f（12，12+4）=（12+4）f（12，4）=4f（12，4）‎ ‎=4f（4，12）=4f（4，4+8）=4×（4+8）f（4，8）=6f（4，8）‎ ‎=6f（4，4+4）=6×（4+4）f（4，4）=12f（4，4）=12×4=48‎ 故选 D ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎13．（4分）已知sin2α=，，则sinα+cosα的值为　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵π＜α＜，∴sinα＜0，cosα＜0，‎ ‎∴sinα+cosα＜0，‎ 又sin2α=，‎ ‎∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+sin2α=，‎ 则sinα+cosα=﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎14．（4分）函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则该函数表达式为　y=2sin（x﹣）+1　．‎ ‎【解答】解：根据函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象，‎ 可得k==1，A=3﹣1=2，•=﹣2，∴ω=．‎ 再根据五点法作图可得×2+φ=，∴φ=﹣，‎ 故函数的解析式为y=2sin（x﹣）+1，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）下列命题中：‎ ‎①f（x）的图象与f（﹣x）关于y轴对称．‎ ‎②f（x）的图象与﹣f（﹣x）的图象关于原点对称．‎ ‎③y=|lgx|与y=lg|x|的定义域相同，它们都只有一个零点．‎ ‎④二次函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）并且有最小值，则f（0）＜f（5）．‎ ‎⑤若定义在R上的奇函数f（x），有f（3+x）=﹣f（x），则f（2010）=0‎ 其中所有正确命题的序号是　①②④⑤　．‎ ‎【解答】解：①f（x）的图象与f（﹣x），对任意的（a，f（a））在f（x）的图象上，可得关于y轴对称的点（﹣a，f（a））在f（﹣x）的图象上，故①正确；‎ ‎②f（x）的图象与﹣f（﹣x）的图象，对任意的（a，f（a））在f（x）的图象上，可得关于原点对称的点（﹣a，﹣f（a））在﹣f（﹣x）的图象上，故②正确；‎ ‎③y=|lgx|可得定义域为：{x|x＞0}，y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，故③错误；‎ ‎④二次函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），对称轴为x==2，f（x）有最小值，故函数开口向上，可知f（0）=f（4），f（x）在（2，+∞）上为增函数，∴f（0）=f（4）＜f（5），故④正确；‎ ‎⑤定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，‎ ‎∵有f（3+x）=﹣f（x），可得f（x+3）=﹣f（x+6），可得f（x）=f（x+‎ ‎6），其周期为T=6，‎ ‎∴f（2010）=f（335×6）=f（0）=0，故⑤正确；‎ 故答案为①②④⑤；‎ ‎　‎ ‎16．（4分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为　　；计算=　2012　．‎ ‎【解答】解：①∵f（x）=，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣3x+3，f″（x）=6x﹣3，‎ 由f″（x）=0得x=，‎ f（）=﹣×+3×﹣=1；‎ ‎∴它的对称中心为；‎ ‎②设P（x0，y0）为曲线上任意一点，‎ ‎∵曲线的对称中心为 ；‎ ‎∴点P关于的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上，‎ ‎∴f（1﹣x0）=2﹣y0．‎ ‎∴f（x0）+f（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2．‎ ‎∴=[]+[]+…+[]=2×1006=2012．‎ 故答案为：；2012．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17、18、19、20、21题各12分，第22题各14分，共74分）‎ ‎17．（12分）已知tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．‎ ‎（1）求tanα的值；‎ ‎（2）求sin（2α﹣）的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵tan（α+）=﹣3，α∈（0，），∴tanα＞0，且=﹣3，‎ 求得tanα=2．‎ ‎（2）∵sin2α===，cos2α===﹣，‎ ‎∴sin（2α﹣）=sin2α•﹣cos2α•=+=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．‎ ‎（1）当m=0时，求A∩B；‎ ‎（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，…（2分）‎ B={x|（x+1）（x﹣1）≥0}={x|x≥1或x≤﹣1}．…（4分）‎ ‎∴A∩B={x|1≤x＜3}． …（6分）‎ ‎（2）由于命题p为：（﹣1，3），…（7分）‎ 而命题q为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…（9分）‎ 又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…（10分）‎ 所以 m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得 m≥4或m≤﹣2‎ 即实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． …（12分）‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．‎ ‎（1）若，求的值； ‎ ‎（2）若角，求函数f（x）=的值域．‎ ‎【解答】解：（1）由可得 ，∴tanx=2．‎ ‎∴=sinxcosx+cos2x===．‎ ‎（2）∵角，函数f（x）==sinxcosx+cos2x=+‎ ‎=sin（2x+）+，‎ ‎∴2x+∈，sin（2x+）∈[，1]，‎ ‎∴f（x）∈[1，]，即f（x）的值域为[1，]．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知．求：‎ ‎（1）函数的定义域；‎ ‎（2）判断函数f（x）的奇偶性；‎ ‎（3）求证f（x）＞0．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，，‎ 则有2x﹣1≠0，‎ 解可得x≠0，‎ 则函数的定义域为{x|x≠0}，‎ ‎（2）设任意x≠0，‎ ‎∵=．‎ ‎∴f（x）为偶函数；‎ ‎（3）根据题意，f（x）为偶函数，f（﹣x）=f（x），‎ 当x＞0时，2x﹣1＞0，则＞0，‎ 又由f（x）为偶函数，‎ 则当x＜0时，f（x）＞0，‎ 综合可得：f（x）＞0．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知A，B是海面上位于东西方向相距20海里的两个观测点，现位于A点北偏东30°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎【解答】解：由题意可知AB=20海里，BC=20海里，∠DAB=60°，‎ ‎∠DBA=∠ABC=30°，‎ ‎∴BD=AB•sin60°=10海里，∠CBD=60°，‎ 在△BCD中，由余弦定理得：‎ CD==30海里．‎ ‎∴该救援船到达D点需要时间为=1小时．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，‎ 又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0‎ 故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ ‎②当a＜0时，由f'（x）=0，得．‎ 在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，‎ 所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）min．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2‎ 由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．‎ ‎（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）‎ 当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，‎ 故f（x）的极大值即为最大值，，‎ 所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎　‎