2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题六　2 第2讲　古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差 19页

第2讲　古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差 古典概型中事件的概率 ‎[核心提炼]‎ ‎1．古典概型的概率 P(A)＝＝.‎ ‎2．互斥事件与对立事件 ‎(1)互斥事件：A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)⇔事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．‎ ‎(2)互斥事件的概率加法公式：‎ ‎①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)；‎ ‎②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．‎ ‎(3)对立事件：A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件⇔事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．‎ ‎(4)对立事件的概率公式：P(A)＝1－P(A)．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. ‎(2)(2019·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1，2，2，3，4，5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　(1)开机密码的所有可能结果有：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C.‎ ‎(2)由题设取三个球的所有可能有n＝C＝＝20，其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)共6种，其概率P＝＝，‎ - 19 -‎ 所以3个球编号之和大于7的概率为P′＝1－＝，‎ 应选答案B.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B 解答古典概型、随机事件概率问题时的注意点 ‎(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．‎ ‎(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．‎ ‎(3)求随机事件概率的步骤 第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，利用古典概型计算公式计算这些彼此互斥的事件的概率；第三步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率．‎ ‎[注]　当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A. . C. D．1‎ 解析：选B.从15个球中任取2个球共有C种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有C·C＝50(种)，‎ 所以P＝＝.‎ ‎2．将一枚硬币连掷5次，则至少出现一次正面向上的概率为________．‎ 解析：因为将一枚硬币连掷5次，没有出现正面向上的概率为，所以至少出现一次正面向上的概率为1－＝.‎ 答案： ‎3．从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为________．‎ 解析：选到的学生中有男生1名、女生2名的选法有CC种，‎ - 19 -‎ 选到的学生中有男生2名、女生1名的选法有CC种，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P＝＝.‎ 答案： 离散型随机变量的分布列 ‎[核心提炼]‎ 离散型随机变量的分布列 ‎(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝p1，i＝1，2，…，n表示X的分布列．‎ ‎(2)性质 ‎①pi≥0(i＝1，2，…，n)；‎ ‎②i＝1.‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)(2019·宁波市十校联考模拟)将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中(每个盒子容纳的小球的个数没有限制)，则1号盒子中小球的个数ξ的分布列为________．‎ ‎(2)设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 则2X＋1的分布列为________，P(10.‎ 即20c2＋9c－20＝0, 解得c＝0.8.‎ 所以P(X＝1)＝＝×0.8＝0.36.‎ 答案：0.36‎ 离散型随机变量的均值、方差 ‎[核心提炼]‎ ‎1．离散型随机变量X的均值与方差 均值(数学期望)‎ 方差 计算公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn D(X)＝(x1－E(X))2pi 作用 反映了离散型随机变量取值的平均水平 刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度 标准差 方差的算术平方根为随机变量X的标准差 ‎2.均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．‎ ‎[典型例题]‎ - 19 -‎ ‎ (1)(2019·高考浙江卷)设0D(ξ2)‎ C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)‎ ‎【解析】　(1)由题意可得，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.‎ ‎(2)根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因为00，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥.‎ 当b＝1时，有a≥，故a可取1，2，3，4，共4个数；‎ 当b＝2时，有a≥，故a可取2，3，4，共3个数；‎ 当b＝3时，有a≥3，故a可取3，4，共2个数；‎ 当b＝4时，有a≥，故a无值可取．‎ 综上，事件A包含的基本事件有 ‎4＋3＋2＝9(个)．‎ 又a, b∈{1，2，3，4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16(个)．故所求事件A的概率为P(A)＝.故选A.‎ ‎8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))．已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.由题意知该运动员投篮一次得分的数学期望为E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a - 19 -‎ ‎＋2b＝2.由均值不等式知3a＋2b≥2，‎ 所以2≤2，即ab≤.‎ ‎9．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记，该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，即未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0，1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当＋取最小值时，c的值为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 解析：选A.由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环得10a＋9b＝9，所以＋＝＝＋10，‎ 当且仅当＝，即a＝9b时，＋取得最小值，解得此时c＝1－a－b＝1－－＝.‎ ‎10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次．一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>，则p的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，又由p∈(0, 1)可得p∈(0，)．‎ ‎11．(2019·浙江新高考联盟联考)已知随机变量X的分布列是：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P m 则m＝________，E(X)＝________．‎ - 19 -‎ 解析：因为＋＋m＝1，所以m＝.所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 答案：　 ‎12．(2019·浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为________，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为________．‎ 解析：设“选出的3名同学是来自互不相同班级”为事件A，则P(A)＝＝.‎ 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．‎ 所以随机变量X的分布列是：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝.‎ 答案：　 ‎13．从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有________种，记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为X，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．‎ 解析：①从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有CCCC＝48.‎ ‎②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0＋1×＋2×＝.‎ 答案：48　 ‎14．随机变量ξ的分布列如下表：‎ ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．‎ - 19 -‎ 解析：由题意可得 解得 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝.‎ 答案： ‎15．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与抛物线y＝x2＋1有交点的概率是________．‎ 解析：易知过点(0，0)与抛物线y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P＝＝.‎ 答案： ‎16．将两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________．‎ 解析：将两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是32＝9，‎ A中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为；‎ A中仅有一封信的投法种数是C×2＝4，概率为；‎ A中有两封信的投法种数是1，概率为.‎ 故A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.‎ 答案： ‎17．(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P(X＝k)取最大值时，k的值为________．‎ 解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，‎ - 19 -‎ 这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：‎ n＝CC＝45.‎ 设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 所以P(X＝k)取最大值时，k的值为2.‎ 答案：45　2‎ ‎18．(2019·湖州市高三期末考试)袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3个球颜色不全相同”．‎ ‎(1)若每次取球后不放回，分别求出事件A和事件B的概率(用数字作答)；‎ ‎(2)若每次取球后放回，分别求出事件A和事件B的概率(用数字作答)．‎ 解：(1)袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3个球颜色不全相同”，‎ 每次取后不放回，基本事件总数n＝9×8×7＝504，‎ 事件A包含的基本事件个数mA＝3×2×1＝6，‎ 事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，‎ 所以事件A的概率P(A)＝＝ 事件B的概率P(B)＝1－＝.‎ ‎(2)每次取后放回，基本事件总数n′＝9×9×9＝729，事件A包含的基本事件个数mA′＝3×3×3＝27，‎ 事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，‎ 所以事件A的概率P(A)＝＝＝.‎ 事件B的概率P(B)＝1－＝.‎ ‎19．(2019·浙江金华十校期末调研)甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规则：①依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③‎ - 19 -‎ 闯第一关得10分，闯第二关得20分，闯第三关得30分，一关都没过则没有得分．已知甲每次闯关成功的概率为，乙每次闯关成功的概率为.‎ ‎(1)设乙的得分总数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎(2)求甲恰好比乙多30分的概率．‎ 解：(1)ξ的取值为0，10，30，60.‎ P(ξ＝0)＝1－＝，P(ξ＝10)＝×(1－)＝，P(ξ＝30)＝××(1－)＝，P(ξ＝60)＝()3＝.‎ 则ξ的分布列如下表：‎ ξ ‎0‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎60‎ P E(ξ)＝0×＋10×＋30×＋60×＝.‎ ‎(2)设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A＝B1∪B2，B1、B2为互斥事件．‎ P(A)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝()2××＋()3×＝.‎ 所以，甲恰好比乙多30分的概率为.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：‎ ξ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，则y的值为(　　)‎ A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1‎ 解析：选C.由题意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，两式联立解得y＝0.2.‎ ‎2．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P －p p 则E(ξ)的最大值为(　　)‎ A．1 B. - 19 -‎ C. D．2‎ 解析：选B.由，得0≤p≤，E(ξ)＝p＋1≤.‎ ‎3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于(　　)‎ A．5 B．8‎ C．10 D．16‎ 解析：选B.因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ 所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.‎ ‎4．已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a，b的值分别为(　　)‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c A.， B.， C.， D.， 解析：选A.由题意知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0，(－1)2a＋12c＋22×＝1，解得a＝，b＝.‎ ‎5．设掷1枚骰子的点数为ξ，则(　　)‎ A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52‎ B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5‎ D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 解析：选B.随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 从而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，‎ - 19 -‎ D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝.‎ ‎6．如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.依题意得X的取值可能为0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎7．(2019·杭州高考二模)已知随机变量ξ的概率分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．‎ 解析：由随机变量ξ的概率分布列，知 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，‎ D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.‎ 答案：1　 ‎8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．‎ 解析：X的所有可能值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ - 19 -‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 答案：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎9.在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．‎ 解析：点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2种情况满足在圆x2＋y2＝9内部，所以所求概率为＝.‎ 答案： ‎10．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c∈(0，1)，已知他投篮得分的数学期望是2，则＋的最小值为________．‎ 解析：由数学期望的定义可知3a＋2b＝2，‎ 所以＋＝(3a＋2b)· ‎＝≥＝，‎ 当且仅当＝即a＝，b＝时取得等号．‎ 答案： ‎11．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；‎ ‎(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ ‎(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．‎ 解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.‎ ‎(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，‎ 所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 - 19 -‎ P(E)＝1－P(E)＝.‎ ‎(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝.‎ ‎12．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎(2)求X的分布列．‎ 解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.‎ ‎(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎13.某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．‎ 解：(1)由已知，有P(A)＝＝.‎ 所以，事件A发生的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ - 19 -‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ 方差D(X)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝.‎ ‎14．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．‎ ‎(1)求X的分布列、期望和方差；‎ ‎(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．‎ 解：(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，‎ D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.‎ ‎(2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，‎ 又E(Y)＝aE(X)＋b，‎ 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；‎ 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，‎ 所以或 - 19 -‎