浙江专用2020高考数学二轮复习专题六计数原理与古典概率第2讲古典概率与离散型随机变量的分布列均值和方差专题强化训练 13页

第2讲 古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差 专题强化训练 ‎[基础达标]‎ ‎1．某同学求得一离散型随机变量的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎3a－1‎ 则a的值为(　　)‎ A．0.3　　　B．0.4　　　C．0.5　　　D．0.6‎ 解析：选C.由分布列性质得0.2＋0.3＋3a－1＝1，‎ 所以a＝0.5，故选C.‎ ‎2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取出白球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.从15个球中任取一球有15种取法，取出白球有6种，所以取出白球的概率P＝＝.‎ ‎3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)‎ A．0 B. C. D. 解析：选C.设X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P p ‎2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.‎ ‎4．(2019·嘉兴市一中高考适应性考试)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)‎ X ‎0‎ ‎2‎ a P p A.2 B．3 C．4 D．5‎ 解析：选C.由题意可得：＋p＋＝1，解得p＝，因为E(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.‎ D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故选C.‎ - 13 -‎ ‎5．若随机变量X的分布列为，其中C为常数，则下列结论正确的是(　　)‎ A．E(X)＝D(X)＝0 B．E(X)＝C，D(X)＝0‎ C．E(X)＝0，D(X)＝C D．E(X)＝D(X)＝C 解析：选B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故选B.‎ ‎6．设随机变量Y的分布列如下表：‎ Y ‎－1‎ ‎2‎ ‎3‎ P m 则“≤Y≤”的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.依题意知，＋m＋＝1，则m＝.‎ 故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝.‎ ‎7．已知M＝{1，2，3，4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．‎ 因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.当函数f(x)在R上为增函数时，f′(x)≥0在R上恒成立．‎ 又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥.‎ 当b＝1时，有a≥，故a可取1，2，3，4，共4个数；‎ 当b＝2时，有a≥，故a可取2，3，4，共3个数；‎ 当b＝3时，有a≥3，故a可取3，4，共2个数；‎ 当b＝4时，有a≥，故a无值可取．‎ 综上，事件A包含的基本事件有 ‎4＋3＋2＝9(个)．‎ 又a, b∈{1，2，3，4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16(个)．故所求事件A - 13 -‎ 的概率为P(A)＝.故选A.‎ ‎8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))．已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.由题意知该运动员投篮一次得分的数学期望为E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a＋2b＝2.由均值不等式知3a＋2b≥2，‎ 所以2≤2，即ab≤.‎ ‎9．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记，该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，即未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0，1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当＋取最小值时，c的值为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 解析：选A.由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环得10a＋9b＝9，所以＋＝＝＋10，‎ 当且仅当＝，即a＝9b时，＋取得最小值，解得此时c＝1－a－b＝1－－＝.‎ ‎10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次．一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>，则p的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p - 13 -‎ ‎＋3>，解得p>或p<，又由p∈(0, 1)可得p∈(0，)．‎ ‎11．(2019·浙江新高考联盟联考)已知随机变量X的分布列是：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P m 则m＝________，E(X)＝________．‎ 解析：因为＋＋m＝1，所以m＝.所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 答案：　 ‎12．(2019·浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为________，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为________．‎ 解析：设“选出的3名同学是来自互不相同班级”为事件A，则P(A)＝＝.‎ 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．‎ 所以随机变量X的分布列是：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝.‎ 答案：　 ‎13．从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有________种，记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为X，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．‎ 解析：①从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有CCCC＝48.‎ ‎②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0＋1×＋2×＝.‎ - 13 -‎ 答案：48　 ‎14．随机变量ξ的分布列如下表：‎ ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．‎ 解析：由题意可得 解得 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝.‎ 答案： ‎15．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与抛物线y＝x2＋1有交点的概率是________．‎ 解析：易知过点(0，0)与抛物线y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P＝＝.‎ 答案： ‎16．将两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________．‎ 解析：将两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是32＝9，‎ A中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为；‎ A中仅有一封信的投法种数是C×2＝4，概率为；‎ A中有两封信的投法种数是1，概率为.‎ 故A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.‎ - 13 -‎ 答案： ‎17．(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P(X＝k)取最大值时，k的值为________．‎ 解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：‎ n＝CC＝45.‎ 设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 所以P(X＝k)取最大值时，k的值为2.‎ 答案：45　2‎ ‎18．(2019·湖州市高三期末考试)袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3个球颜色不全相同”．‎ ‎(1)若每次取球后不放回，分别求出事件A和事件B的概率(用数字作答)；‎ ‎(2)若每次取球后放回，分别求出事件A和事件B的概率(用数字作答)．‎ 解：(1)袋中装有9个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各3个，现从中随机地连取3次球，每次取1个，记事件A为“3个球都是红球”，事件B为“3个球颜色不全相同”，‎ 每次取后不放回，基本事件总数n＝9×8×7＝504，‎ 事件A包含的基本事件个数mA＝3×2×1＝6，‎ 事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，‎ 所以事件A的概率P(A)＝＝ 事件B的概率P(B)＝1－＝.‎ ‎(2)每次取后放回，基本事件总数n′＝9×9×9＝729，事件A包含的基本事件个数mA′＝3×3×3＝27，‎ - 13 -‎ 事件B的对立事件是“3个球颜色全相同”，‎ 所以事件A的概率P(A)＝＝＝.‎ 事件B的概率P(B)＝1－＝.‎ ‎19．(2019·浙江金华十校期末调研)甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规则：①依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10分，闯第二关得20分，闯第三关得30分，一关都没过则没有得分．已知甲每次闯关成功的概率为，乙每次闯关成功的概率为.‎ ‎(1)设乙的得分总数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎(2)求甲恰好比乙多30分的概率．‎ 解：(1)ξ的取值为0，10，30，60.‎ P(ξ＝0)＝1－＝，P(ξ＝10)＝×(1－)＝，P(ξ＝30)＝××(1－)＝，P(ξ＝60)＝()3＝.‎ 则ξ的分布列如下表：‎ ξ ‎0‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎60‎ P E(ξ)＝0×＋10×＋30×＋60×＝.‎ ‎(2)设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A＝B1∪B2，B1、B2为互斥事件．‎ P(A)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝()2××＋()3×＝.‎ 所以，甲恰好比乙多30分的概率为.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：‎ ξ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，则y的值为(　　)‎ A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1‎ 解析：选C.由题意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，两式联立解得y＝0.2.‎ - 13 -‎ ‎2．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P －p p 则E(ξ)的最大值为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：选B.由，得0≤p≤，E(ξ)＝p＋1≤.‎ ‎3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于(　　)‎ A．5 B．8‎ C．10 D．16‎ 解析：选B.因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ 所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.‎ ‎4．已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a，b的值分别为(　　)‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c A.， B.， C.， D.， 解析：选A.由题意知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0，(－1)2a＋12c＋22×＝1，解得a＝，b＝.‎ ‎5．设掷1枚骰子的点数为ξ，则(　　)‎ A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52‎ B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5‎ D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ - 13 -‎ 解析：选B.随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 从而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，‎ D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝.‎ ‎6．如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.依题意得X的取值可能为0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎7．(2019·杭州高考二模)已知随机变量ξ的概率分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．‎ 解析：由随机变量ξ的概率分布列，知 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，‎ D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.‎ 答案：1　 ‎8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．‎ - 13 -‎ 解析：X的所有可能值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 答案：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎9.在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．‎ 解析：点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2种情况满足在圆x2＋y2＝9内部，所以所求概率为＝.‎ 答案： ‎10．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c∈(0，1)，已知他投篮得分的数学期望是2，则＋的最小值为________．‎ 解析：由数学期望的定义可知3a＋2b＝2，‎ 所以＋＝(3a＋2b)· ‎＝≥＝，‎ 当且仅当＝即a＝，b＝时取得等号．‎ 答案： ‎11．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；‎ ‎(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ - 13 -‎ ‎(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．‎ 解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.‎ ‎(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，‎ 所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P()＝1－P(E)＝.‎ ‎(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝.‎ ‎12．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎(2)求X的分布列．‎ 解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.‎ ‎(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎13.某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．‎ - 13 -‎ 解：(1)由已知，有P(A)＝＝.‎ 所以，事件A发生的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ 方差D(X)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝.‎ ‎14．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．‎ ‎(1)求X的分布列、期望和方差；‎ ‎(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．‎ 解：(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，‎ D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.‎ ‎(2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，‎ 又E(Y)＝aE(X)＋b，‎ 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；‎ 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，‎ 所以或 - 13 -‎ - 13 -‎