重庆市2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试卷 含答案 8页

数学试题（高 2022 级） （本试卷共 4 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考 证号、座位号及科类名称。 2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。 3．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、 笔迹清楚。 4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题 卷上答题无效。 5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （ ） A．1 B．0 C．2 D． 3．函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 4．下列函数中哪个与函数 相等（） A． B． C． D． A．—1 B． C．3 D．—5 6.已知函数 是定义 上的增函数，且 ，则 的取值范围是（） A. B. C. D. 7．已知函数 是幂函数，若 为增函数，则 等于（　　） A． B． C．1 D． 或 1 8.函数 的值域是( ) A． B． C． D． 9.设 是集合 到 的映射，其中 ， ，且 { }0,1,2,3A = { }1,1B = − A B = { }1,1− { }1,0− { }1,01− ， { }1 2( 1) 2 2f x x x+ = − + (1)f = 2− ( ) ( )lg 1 1f x x x= + + − ( ]1,1− ( )1,1− ( ],1−∞ ( ),1−∞ y x= 2( )y x= 5 5y x= 2y x= 3 2 xy x = 的值为（）计算式子： 2ln 5 1lg2lg.5 e−− 1 2 ( )f x [ ]1,1− ( 1) (1 3 )f x f x− < − x 1( , )2 −∞ 1( , )2 +∞ 1(0, )2 10, 2    ( )23 2 mf x m m x（ ）= − ( )f x m 1 3 − 1− 1 3 − 16 4xy = − [0, )+∞ [0,4) [0,4] (0,4) :f A B→ A B { }| 0A x x= > B = R ，则 中元素是 2 的元素为（ ）． A.3 或-1 B.-1 C. 3 D. A.3 B.4 C.5 D.6 第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，4 个小题共 20 分） 13.若函数 如下表所示： 14 ． 含 有 三 个 实 数 的 集 合 既 可 表 示 成 ， 又 可 表 示 成 ， 则 ． 15．设函数 是定义在 上的奇函数，且 ，则 2: 2 1f x x x→ − − B 2− [ ] 00210ln:.10 xxxxxx 的解为的方程的最大整数。若关于表示不超过设 =−+ [ ] （）则 =0x [ ) 都有：且对任意上的函数已知定义在 .,2022,),(.11 2121 xxxxxfR ≠+∞∈ 为偶函数，则（）若 )2022(,0)()( 21 21 +<− − xfxx xfxf )2024()2021()2019(. fffA << )2021()2024()2019(. fffB << )2021()2019()2024(. fffC << )2024()2019()2021(. fffD << 若函数满足上的函数已知定义在 ),(4)4044()(.12 xfxfxfR −=− ())().3,2,1)(,()(2022 20192 1 =+==− += ∑ = m i iiii yxmiyxmxfyx xy 则个交点的图像有与  ))()()()(( 22111 1 mm m i i yxyxyxyx ++++++=+∑ = 注： mA 2022. mB 2019. mC 2021. mD 2024. ( )f x x 0 1 2 3 ( )f x 3 2 1 0 [ ] __)3( =ff则   1,, a ba { }0,,2 baa + ___20222019 =+ ba ( )f x R ( ) ( )3log ( 1) 0 0 x xf x g x x + ≥=  < ， ， ( )8g f − =  ____． 16.若函数 是区间 上的单调函数，且存在区间 （其中 ），使得当 时， 的取值范围恰为 ，则称函数 是 上的“和谐”函数.若函数 是 上的“和谐”函数，则实数 的取值范围是_______ 三：解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17.（本题满分 12 分） 若集合 ， ． （2）若 ，求实数 的取值范围． 18.（本题满分 12 分） 已知函数 ． 1 证明：函数 在区间 上是增函数； 2 求函数 在区间 上的最大值和最小值． 19.（本题满分 12 分） 已知函数 求函数的最小值 ； 若 ，求 的值． 20.（本题满分 12 分） 已知函数 ，对于任意的 ，都有 , 当 时， ，且 . (1 ) 求 的值；并证明函数 在 R 上是递减的奇函数。 (2) 设函数 ，判断函数 g(x)最多有几个零点，并求出此时实数 m 的取值范围. 21．（本题满分 12 分） ( )f x D [ ] Dsr ⊆, sr < [ ]srx ,∈ ( )f x [ ]sr, ( )f x D ( ) txxt += 2 ( )0−∞， t { 2 4}A x x= − < < { 0}B x x m= − < ( )BCABAUm U 求全集）若（ ,,31 == A B A= m ( ) 2 1 1 xf x x −= + ( ) ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )f x [ ]1,17 [ ]2 4 2 4y x mx x= + − ∈， ， ( )1 ( )g m ( )2 ( ) 10g m = m ( )f x ,x y ∈ R ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + 0x > ( ) 0f x < 1(1) 2f = − (0), (3)f f ( )f x 2( ) ( ) 2 ( )g x f x m f x= − − 伟大的中华民族，用仅占世界淡水总量的百分之六，养育着占全球总人口百分之二十 的中华儿女。对“水”这个宝贵的资源，曾经有人认为是取之不尽用之不竭的，如今竟然到了严 重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度。因为缺水，每年给我国工业造成的损失达 2000 亿元，给我国农业造成的损失达 1500 亿元，因严重缺水困扰全国三分之二的城市。党的 “十九”大报告指出：要节约资源，防止浪费。为了节约用水，某市出台一项水费政策，对 该市居民用水实行阶梯收费，其标准如下表：（单位：元/立方米）． 其中 档水量 户年用水量（立方米） 水价 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （1）试写出消费 （元）与用水量 （立方米）之间的函数关系式，其中， ． （2）若某居民年交水费 元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？ 22.(本题满分 10 分） 定义在 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称函数 的一个上界.已知函 数 （2）若函数 在 上是以 4 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围. 0 180− 5.00 2.07 181 260− 7.00 4.07 260 9.00 6.07 1.57 1.36 y x x N∈ 1040 D ( )f x x D∈ 0M ≥ ( )f x M≤ ( )f x D M ( )f x .1 1log)(,1)( 2 1 2 − +=+⋅+= −− x xxgeeaxf xx 合；上的所有上界构成的集区间）求函数（     3,15 17)(1 xg ( )f x [ )0,+∞ 数学参考答案（高 2022 级） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1-12：DCAB ADCB CCBD 二、填空题（每小题 5 分，4 个小题共 20 分） 13. 3 14. -1 15. -1 16. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.（本小题满分 12 分） 解：（ ）当 时，由 ，得 ， ∴ ，.........3 分 .........5 分 .........8 分 （ ）∵ ， ， 由 得 ，.........11 分 ∴ ，即实数 的取值范围是 ．.........12 分 18.（本小题满分 12 分） 解： Ⅰ 证明： ； 设 ，则： ；........4 分 ； ， ， ；........6 分 ； ； 在区间 上是增函数；........9 分 Ⅱ 在 上是增函数； 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ．........12 分 19. （本小题满分 12 分） 31 4  − −  ， 1 3m = 0x m− < 3x < { 3}B x x= < { }4<==∴ xxBAU  { }43 <≤= xxBCU则 ( ) { }43 <≤=∴ xxBCA U 2 { 2 4}A x x= − < < { 0} { }B x x m x x m= − < = < A B A∩ = A B⊆ 4m ≥ m [ )4,+∞ ( ) ( ) 2 1 321 1 xf x x x −= = −+ + 1 2 0x x> > ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 2 1 1 2 33 3 1 1 1 1 x xf x f x x x x x −− = − =+ + + + 1 2 0x x> > 1 2 0x x∴ − > 1 1 0x + > 2 1 0x + > ( ) ( )( )1 2 1 2 3 01 1 x x x x −∴ >+ + ( ) ( )1 2f x f x∴ > ( )f x∴ ( )0,+∞ ( ( )) f x ( )0,+∞ ( )f x∴ [ ]1,17 ( ) 11 2f = ( ) 1117 6f = 解： 函数的对称轴是 …………1 分 即 时，函数在 递增， 时，函数值最小值，函数的最小值是 2m………3 分 时，函数在 递减，在 递增， 时，函数值最小，最小值是 ………5 分 时，函数在 递减， 时，函数值最小，函数的最小值是 ………7 分 综上： …………9 分 ，由 得：若 ，解得： ，符合题意； 若 ，无解；若 ，无解； 故 ．…………12 分 20. （本小题满分 12 分） 解：（I）令 得 ，得 . 令 得 ， 令 得 ...............2 分 证明：任取 且 ，则 ， 因为 ，即 .........3 分 令 则 . 由已知 时， 且 ，则 ， 所以 ， ，所以函数 在 R 上是减函数 .........6 分 （注：本小问已可用甲法增量法证明） ( ) [ ]21 4 2 4y x mx x= + − ∈， ， 2 mx = − 22 m① − ≤ 4m ≥ − [ ]2 4， 2x = 2 42 m< − <② 2 2 m， −   42 m −  ， 2 mx = − 2 44 m− − 42 m− ≥③ [ ]2 4， 4x = 4 12m + ( ) 2 2 4 4 8 44 4 12 8 m m mg m m m m ≥ − = − − − < < −  + ≤ − ， ， ， ( ) ( )2 10g m = ( )1 2 10m = 5m = 2 4 104 m− − = 4 12 10m + = 5m = 0x y= = ( ) ( ) ( )0 0 0f f f= + ( )0 0f = 1,x y= = ( ) ( )2 2 1 1f f= = − 2, 1x y= = ( ) ( ) ( ) 33 2 1 .2f f f= + = − 1 2, ,x x R∈ 1 2x x< 2 1 0x x− > ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ − = ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f x y x f y + − = + − =  2 1x x y x x= + =， ， ( ) ( ) ( )2 1 2 1f x f x f x x− = − 0x > ( ) 0f x < 2 1 0x x− > ( )2 1 0f x x− < ( ) ( )2 1 0f x f x− < ( ) ( )2 1f x f x< ( )f x 令 代入 ， 得 ， 所以 ，故 为奇函数. ...............7 分 (II)由 = = ...............10 分 令 ,即 ，因为函数 在 R 上是减函数， 所以 ，即 ...............11 分 所以当 时，函数 最多有 4 个零点. ...............12 分 21. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）当 时， ；……….2 分 当 时， ；……….4 分 当 时， ；……….6 分 ∴ ．……….7 分 （Ⅱ）当 时， ， ， 自来水费： （元），水资源费： （元）， 污水处理费： （元），……….12 分 22. （本小题满分 10 分） 解：（1）由 ，设 ，令 ，且 ， ∵ ； ∴ 在 上是减函数，……….2 分 ,y x= − ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ( ) ( ) ( )0 0f x f x f+ − = = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( ) ( ) ( )2 2g x f x m f x= − − ( ) ( )2 2f x m f x− + − ( ) ( ) ( )2f x m f x f x− + − + − ( )2 2f x x m= − − ( ) 0g x = ( )2 2 0 0f x x m f− − = = （ ） ( )f x 2 2 0x x m− − = 2 2m x x= − [ )+∞−−= ,1,22 的值域为由其图像可得：令 yxxy ( )1,0m∈ − ( )g x 0 180x< ≤ 5y x= 180 260x< ≤ ( )180 5 180 7 7 360y x x= × + − × = − 260x > ( )1460 260 9 9 880y x x= + − × = − 5 ,0 180, 7 360,180 260, 9 880, 260, x x x N y x x x N x x x N < ≤ ∈ = − < ≤ ∈  − > ∈ 1040y = 7 360 1040x − = 200x = 1.57 200 314× = 1.36 200 272× = ( ) 1 2 1log 1 xg x x += − ( ) 1 211 1 xu x x x += = +− − 1 2,x x D∈ 1 21 x x< < ( ) ( )1 2 1 21 1u x u x x − = + − ( ) ( )( )2 1 2 1 2 221 01 1 1 x x x x x −− − = >− − − ( ) 1 1 xu x x += − ( )1,+∞ ∴ 在 上是单调递增函数，……….3 分 ……….4 分 ……….5 分 ……….6 分 设 ，则 ∴ 在 上单调递减， 在 上单调递增， ∴ 在 上的最大值为 -6 在 上的最小值为 2， .……….10 分 ( ) 1 2 1log 1 xg x x += − ( )1,+∞ 上是单调递增，在区间     − +=∴ 3,15 17 1 1log)( 2 1 x xxg 1)(4),3()()15 17( −≤≤−≤≤∴ xggxgg 即 [ ]1,43,15 17)( −−   ∴ 上的值域为在xg 4)( ≤∴ xg [ )∞+    ，上的所有值域的集合为在区间故函数 43,15 17)(xg [ ) 因此：即：上恒成立，，在由题意知）（ .414.4)(404)(:2 2 ≤++≤−≤≤−∴∞+≤ −− xx eaexfxf [ )上恒成立。，在 ∞+−≤≤−− −− 035 xxxx eeaee minmax )3()5 xxxx eeaee −− −≤≤−−∴（ [ ) 1,0,13)(,15)(, ≥+∞∈−=−−== txtttpttthet x 知由设 1 21 t t≤ < .0)13)(()()(,0)15)(()()( 21 2121 21 21 2112 21 <−−=−>−−=− tt tttttptptt ttttthth ( )h t [ )1,+∞ ( )p t [ )1,+∞ ( )h t [ )1,+∞ ( )1 5h = − ( )p t [ )1,+∞ ( )1 1p = [ ]2,6.26 −≤≤−∴ 的取值范围故aa