《同步导学案》人教七年级数学（下册）第九章 第二课时 不等式的性质 12页

第二课时 不等式的性质 ‎1. 理解不等式的性质,用不等式的性质解不等式．‎ ‎2. 对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，掌握不等式的解法与方程的解法的联系和区别．‎ ‎3．重难点：熟练并准确地解一元一次不等式．‎ 知识导入 木屑简单的不等式我们可以直接相处它们的解集，例如ｘ＋2＞5的解集是x大于3.但是对于比较复杂的不等式，例如，直接想出解集较困难.因此还要探讨怎样解不等式.我们先探讨不等式有什么性质.‎ 知识讲解 知识点一：不等式基本性质 ‎ ‎①不等式的两边都加(或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.用数学符号语言表示为：如果ａ＞ｂ，那么ａｃ＞ｂ＋ｃ．‎ ‎②不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用数学符号语言表示为：如果ａ＞ｂ，ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ（或>）. ‎ ‎③不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.用数学符号语言表示为：如果ａ＞ｂ，ｃ<０，那么ａｃ<ｂｃ（或<）.‎ 说明：不等式的性质②③中没有0的原因:如果不等式乘以0，那么不等号变为等号，所以不等式乘以的数就不能为0，否则不等式不成立．不像等式那样，等号是不变的，在一元一次不等式中，不等号是随着加或乘的运算改变；‎ 常见不等式所表示的基本语言与含义还有：‎ ‎①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于b ；④若a－b≤0，则a不大于b ；⑤若ab＞0或 ，则a、b同号；⑥若ab＜0或 ，则a、b异号。‎ 任意两个实数a、b的大小关系:①a-b>O a>b②a-b=O a=b③a-b0,但是题目所给信息不能保证在>0，所以（4）是错误的.‎ ‎（5）中，由＞，到a＞b .不等式的两边同时除以了根据不等式的性质,不等式的符号没有变,据性质2这就必须保证>0.因为“＞”，所以C≠0，否则应有= 所以a＞b是正确的.即(5)是正确的.‎ 点拨 特别注意不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要讨论含字母的式子的正负.‎ 知识点二：利用不等式的性质解不等式 例2 利用利用不等式的性质解下列不等式：‎ ‎(1) x－7＞26 （2）3x < 2x＋1‎ ‎（3）x ≥ 50 (4)-4x≤3‎ 分析　　解不等式的最终目的就是要使不等式化为ｘ＞ａ或ｘ＜ａ的形式．‎ 解析　(1) x－7＞26‎ 根据等式的性质1，不等式两边都加7，得x－7+7＞26+7‎ ‎ 解得：x＞33‎ 这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.1-1‎ ‎（2）3x < 2x＋1‎ ‎ 根据等式的性质1，不等式两边都-2x得：3x-2x < 2x＋1-2x ‎ 解得：x<1‎ ‎ 这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.1-2‎ ‎ ‎ ‎（3）x ≥ 50‎ 根据等式的性质2，不等式的两边同乘以，得：‎ x ≥ 50×‎ 解得：x ≥7 5‎ 这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.1-3‎ ‎(4)-4x≤3‎ 根据等式的性质3，不等式两边同时除以-4，得： x≤‎ 这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.1-4‎ 点拨　　一元一次不等式与一元一次方程是类似的．求得一元一次不等式的解集可采用与解一元一次方程相类似的步骤．‎ 知识点三：利用不等式解决实际问题 例3 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm，现准备继续向它注水．用V（单位cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围．‎ 分析 新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的体积．‎ 解析 现容器内水体积 V0=3×5×3=45cm3‎ 容器最大水容积 V1=5×3×10=150cm3‎ 可以继续注水最大体积 V1-V0=105cm3‎ 则V的取值范围为：0≤V≤105‎ 在数轴上表示为如图9.1-5：‎ 点拨 解答实际问题时，一定要考虑问题的实际意义.‎ 知识点四：三角形两边的差小于第三边 例4 三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？‎ 分析 三角形任意两边之和大于第三边，后利用不等式变形，得出三角形两边之差与第三边的关系.‎ ‎ ‎ 解析 如图 9.1-6 设 a、b、c为任意一个三角形的三条边的长，则 a+b＞c, b+c＞a, c+a＞b.‎ 移项，得 a＞c-b, b＞a-c, c＞b-a.‎ 上面的式子说明了:三角形中任意两边之差小于第三边.‎ 点拨 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.‎ 知识探究 ‎1.解一元一次不等式 一元一次不等式的解题步骤与一元一次方程的解法步骤类似，只要注意化系数为1时，不等号是否要改变方向.具体步骤如下 步骤 具体做法 注意事项 去分母 利用分式的性质，在不等式两边同乘以分母的最小公倍数 ‎（1）不含分母的项不能漏乘 （2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号 （3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变.‎ 去括号 由内而外或由外而内去括号，注意顺序 ‎（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项 （2）如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号.‎ 移项 可根据不等式的性质，把含未知数的项都移到不等式的一边（通常是左边），不含未知数的项移到不等式的另一边 移项注意变号.‎ 合并同类项 把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为或的形式 合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变.‎ 化未知数的系数为1‎ 根据不等式的性质，在不等式两边同除以未知数的系数，若且，则不等式的解集为>；若 ‎（1）分子、分母不能颠倒 （2）不等号改不改变由系数的正负性决定.‎ 且，则不等式的解集为<；若且，则不等式的解集为<；若且，则不等式的解集为>；‎ ‎　通过下面的解方程和不等式认真体会这两者解题间的异同： 　-1=　　　　　　　　　 　　　 -1≥　　‎ 解：3x-6=4(2x+1)　　1、去分母：　 解：3x-6≥4(2x+1)　　‎ ‎ 3x-6=8x+4　　　　 2、去括号：　　 　 3x-6≥8x+4　 ‎ ‎3x-8x=4+6　　　　 3、移项：　　　 　 3x-8x≥4+6　　‎ ‎-5x=10 4、合并同类项：　　 　-5x≥10‎ ‎　　x=-2　　　　　 　5、系数化为1：　　 　　x≤-2 　 x=-2是原方程的解　　　　　　 　　　　　 x≤-2是原不等式的解集 ‎　‎ ‎　　注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.‎ ‎ 1.特殊值法 例 若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（ ）‎ ‎ A、 B、ab＜0 C、 D、‎ 解析 法一:直接利用不等式的性质:由a＜b＜0, 不等式a＜b两边同时除以a或b都要变号.同除以a时可以得到1>,即<1.同除以b时可以得到>1.所以选D.‎ 法二:特殊值法.在选择题中常用到特殊值法解答题目.本题不妨取满足a＜b＜0的值:a=-2,b=-1,代入四个选项中利用排除法解答.也可得到答案D.‎ ‎2.特殊解的方程与不等式 ‎ 中考题中常有些题目以方程为背景来设置，既考查解方程又考查解不等式.遇到此类题目往往先按解方程用一未知数表示另一未知数,再根据题目所要求解答.‎ 例关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（　　）‎ ‎ A、m≥2 B、m≤2 C、m＞2 D、m＜2‎ 分析 根据题意可得x＞0，用m表示x，然后根据x的取值范围即可求出m的取值范围．‎ 解析 由mx﹣1=2x，得：x=‎1‎m﹣2‎．‎ 因为方程mx﹣1=2x的解为正实数，‎ 所以‎1‎m﹣2‎＞0，又因分子为正，则分母为正，‎ 即m-2>0.解得m＞2．故选C．‎ 例 当k取何值时，方程x-2k=3(x-k)+1的解为负数。 分析 应先解关于x的字母系数方程，用k来表示出x，再根据x<0解出k值即可.‎ 解析 解关于x的方程：x-2k=3(x-k)+1 去分母：　　　 x-4k=6(x-k)+2 去括号：　　　 x-4k=6x-6k+2 移项：　　　 　x-6x=-6k+2+4k ‎ 合并同类项：　　　　 -5x=2-2k 系数化为1：x=. ‎ 要使x为负数，即x=<0， 因为 分母=5>0，所以 2k-2<0, 所以 k<1， ‎ 所以 当k<1时，方程x-2k=3(x-k)+1的解是负数.‎ 易错辨析 题1 已知关于的不等式2＜的解集为＜，则的取值范围是（ ）‎ A．＞0 B.＞1 C.＜0 D.＜1‎ 错解 2＜的解集为＜，不等号方向没变，所以1-a>0.则的取值范＜1‎ 辨析 据2＜的解集若为<,不等号没变.但实际为＜,观察可知符号变化了.所以1-a<0.即a>1.‎ 正解 2＜的解集为＜，可知不等号变化了，所以1-a<0.即a>1.‎ 答案为B.‎ 题2 解关于x的不等式m（x-3）＞x-3.‎ 错解 化简，得（m-1）x＞3（m-1），所以x＞3.‎ 辨析 错解在默认为m-1＞0，实际上m-1还可能小于或等于0.‎ 正解 化简，得（m-1）x＞3（m-1），‎ ‎　　　　　① 当m-1＞0时，x＞3；‎ ‎　　　　　② 当m-1＜0时，x＜3；‎ ‎　　　　　③ 当m-1=0时，无解.‎ ‎1. 利用不等式的性质填“>”, “<” :‎ ‎(1)若a>b,则3a 3b；‎ ‎(2)若-2y<8,则y -4；‎ ‎(3)若a0,则ac-2 bc-2；‎ ‎(4)若a>b,c<0,则ac+3 bc+3.‎ ‎2.当x 时，2-3x为非正数.‎ ‎3.当x 时，式子3x5的值大于5x + 3的值 ‎4. 已知有理数a,b,c,若a>b,则下列各式成立的是( )‎ A. ac>bc B. acbc2 D. ac2 bc2‎ ‎5.解不等式，并将解集在数轴上表示出来．‎ 例 根据给定条件，求出a的取值范围: 若a2>a，则a的取值范围是____________； 分析 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：‎ 有时直接比较这两个式子的大小有困难，但是将两式作差所得到的结果与0比,大小比较容易证明．这种方法我们叫做作差法. 本题根据 a2>a,可得 a2－a>0, 即a(a－1)>0‎ 分类讨论即可解得答案 解析 （1）因为 a2>a, 　　所以 a2－a>0, 即a(a－1)>0, 　　所以 或 　　解得a>1或a<0. 　　所以 a的取值范围是a<0或a>1。 点拨 比较这两个式子的大小有困难时，可通过将两式作差所得到的结果与0的大小来判断.‎ 练习 　A＝ａ２－ａ＋5，B＝ａ２＋5ａ－19，若A>B求a的取值范围.‎ 参考答案 课时检测 ‎1.（1）> (2) > (3) < (4) < 2.x≥ 3.x<4. 4.D ‎5．解：去分母得： ‎ 移项合并同类项得 解得 在数轴上表示如下图　 ‎ 拓展提升 答：若A>B则A-B>0,即ａ２－ａ＋５-(ａ２＋５ａ－１９)= ａ２－ａ＋５-ａ２-５ａ+１９=-6a+24>0解得:a<-4.‎