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  • 2021-10-22 发布

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:平方根、立方根和开立方(附答案与全解全析)

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人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:‎ 平方根、立方根和开立方 知识网络 重难突破 知识点一 平方根 算术平方根概念:一般的如果一个正数x的平方等于a,即 算术平方根的表示方法:非负数a的算术平方根记作 平方根概念:如果一个数的平方等于,那么这个数就叫做的平方根或二次方根,即,那么x叫做a的平方根。‎ 平方根的性质与表示:‎ 表示:正数a的平方根用表示, 叫做正平方根,也称为算术平方根, 叫做a的负平方根。‎ 性质:一个正数有两个平方根: (根指数2省略)且他们互为相反数。‎ ‎0有一个平方根,为0,记作 负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系:‎ ‎【典型例题】‎ ‎1.(2019·迁安市期末)25的算术平方根是 ‎ A.5 B. C. D.25‎ ‎2.(2018·大石桥市石佛中学初一期末)的值是  ‎ A.±3 B.3 C.9 D.81‎ ‎3.(2020·灯塔市期末)估计的值在( )‎ A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 ‎4.(2020·沈阳市第七中学初二期末)9的平方根是(  )‎ A.±3 B.3 C.±4.5 D.4.5‎ ‎5.(2020·东营市期末)16的平方根是(  )‎ A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4‎ ‎6.(2020·沭阳县外国语实验学校初二期末)下列说法正确的是( )‎ A.(﹣3)2的平方根是3 B.=±4‎ C.1的平方根是1 D.4的算术平方根是2‎ ‎7.(2019·石家庄市期末)如果=4,那么x等于(  )‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎8.(2020·河南省实验中学初二期中)已知一个正数的两个平方根分别为和,则这个正数的立方根是( )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎9.(2020·宝鸡市期末)一个正数的两个平方根分别是与,则a的值为(   )‎ A.-1 B.1 C.-2 D.2‎ ‎10.(2020·南京市期末)面积为的正方形的边长是( )‎ A.的平方根 B.的算术平方根 C.开平方的结果 D.的立方根 ‎11.(2019·恩施市期末)已知(x +1)2= 16 ,则 x 的值是( )‎ A.3 B.7 C.3 或-5 D.7 或-8‎ ‎12.(2020·银川市期末)“的算术平方根是”,用式子表示为( )‎ A.±=± B.=±‎ C.= D.±=‎ ‎13.(2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中)下列运算中错误的有(  )‎ ‎①②,③,④=3‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎14.(2020·沈阳市第二十三中学初一期中)若x是9的算术平方根,则x是( )‎ A.3 B.-3 C.9 D.81‎ ‎15.(2020·贵港市期末)若a2=4,b2=9,且ab<0,则a﹣b的值为(  )‎ A.﹣2 B.±5 C.5 D.﹣5‎ 知识点二 立方根和开立方 立方根概念:如果一个数的立方等于,即那么x叫做的立方根或三次方根,‎ 表示方法:数a的立方根记作,读作三次根号a 立方根的性质:任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0.‎ 开立方概念:求一个数的立方根的运算。‎ 开平方的表示: (a取任何数) ‎ 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 注意:0的平方根和立方根都是0本身。‎ 次方根(扩展)‎ 概念:如果一个数的次方(是大于1的整数)等于,这个数就叫做的次方根。‎ 当为奇数时,这个数叫做的奇次方根。‎ 当为偶数时,这个数叫做的偶次方根。‎ 性质: 正数的偶次方根有两个:;0的偶次方根为0:;负数没有偶次方根。‎ 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1.(2019·唐山市期中)下列等式正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.(2018·成都市武侯区西蜀实验学校初二期末)下列计算正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.(2019·昌平区期中)下列各式中,正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(2019·宜宾市期中)下列说法正确的是(  )‎ A.1的平方根是1 B.﹣2没有立方根 C.±6是36的算术平方根 D.27的立方根是3‎ ‎5.(2018·福建省厦门第六中学初一期中)下列各式中,正确的是  ‎ A. B. C. D.=-4‎ ‎6.(2019·湖南广益实验中学初一期末)的算术平方根是(  )‎ A.2 B.±2 C. D.‎ ‎7.(2018·泉州市北峰中学初二期中)下列说法正确的是( ).‎ A.1的立方根是 B. C. D.0没有平方根;‎ ‎8.(2018·邯郸市期中)(-)2的平方根是x,64的立方根是y,则x+y的值为( )‎ A.3 B.7 C.3或7 D.1或7‎ ‎9.(2019·萍乡市期中)下列各组数中互为相反数的是( )‎ A.-2与 B.-2与 C.2与(-)2 D.|-|与 ‎25.(2019·赣州市期末)已知为实数,且,则的立方根是( )‎ A. B.-8 C.-2 D.‎ ‎、‎ 巩固训练 一、 选择题(共10小题)‎ ‎1.(2019·丹东市期中)的算术平方根为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(2018·武邑县期末)2的算术平方根是(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎3.(2018·贵阳市期末)下列结果错误的是(  )‎ A.=2 B.的算术平方根是4‎ C.12的算术平方根是 D.(-π)2的算术平方根是π ‎4.(2019·运城市期末)的算术平方根是( )‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎5.(2017·张家港市期中)(-6)2的平方根是(  )‎ A.-6 B.36 C.±6 D.‎ ‎6.(2020·盐城市期末)下列说法正确的是( )‎ A.4的平方根是±2 B.8的立方根是±2 C. D.‎ ‎7.(2018·南昌市期中)一个正数的平方根是x-5和x+1,则x的值为(  )‎ A.2 B.-2 C.0 D.无法确定 ‎8.(2018·南京市期末)-64的立方根与的平方根之和为(  )‎ A.-2或2 B.-2或-6‎ C.-4+2或-4-2 D.0‎ ‎9.(2016·深圳市高级中学初二期中)比较的大小,正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.(2018·龙岩市期中)若a是(﹣3)2的平方根,则等于( )‎ A.﹣3 B. C.或﹣ D.3或﹣3‎ 一、 填空题(共5小题)‎ ‎11.(2018·嘉兴市期末)的算术平方根是_____.‎ ‎12.(2019·嘉兴市期末)已知a、b满足(a﹣1)2+=0,则a+b=_____.‎ ‎13.(2019·杭州市期中)的算术平方根是 _____.‎ ‎14.(2020·郑州市期末)立方根是__________.‎ ‎15.(2019·从江县期中)的平方根是_____,﹣的立方根是_____.‎ 二、 解答题(共2小题)‎ ‎16.(2019·朝阳市期中)已知+=b+8.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求a2-b2的平方根.‎ ‎17.(2017·张家港市期中)(1)已知的平方根是,的立方根是2,是的整数部分,求的值;‎ ‎(2)已知与互为相反数,求(x+y)2的平方根.‎ 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:‎ 平方根、立方根和开立方 知识网络 重难突破 知识点一 平方根 算术平方根概念:一般的如果一个正数x的平方等于a,即 算术平方根的表示方法:非负数a的算术平方根记作 平方根概念:如果一个数的平方等于,那么这个数就叫做的平方根或二次方根,即,那么x叫做a的平方根。‎ 平方根的性质与表示:‎ 表示:正数a的平方根用表示, 叫做正平方根,也称为算术平方根, 叫做a的负平方根。‎ 性质:一个正数有两个平方根: (根指数2省略)且他们互为相反数。‎ ‎0有一个平方根,为0,记作 负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系:‎ ‎【典型例题】‎ ‎1.(2019·迁安市期末)25的算术平方根是 ‎ A.5 B. C. D.25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵,‎ ‎∴的算术平方根是5.‎ 故选A.‎ ‎2.(2018·大石桥市石佛中学初一期末)的值是  ‎ A.±3 B.3 C.9 D.81‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析:∵ ‎ ‎∴的值是3 ‎ 故选C.‎ ‎3.(2020·灯塔市期末)估计的值在( )‎ A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵4 < 6 < 9 ,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,‎ 故选B.‎ ‎4.(2020·沈阳市第七中学初二期末)9的平方根是(  )‎ A.±3 B.3 C.±4.5 D.4.5‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎(±3)2=9‎ ‎∴9的平方根是±3‎ 故选A.‎ ‎5.(2020·东营市期末)16的平方根是(  )‎ A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵ ‎ ‎∴16的平方根是±4.‎ 故选A.‎ ‎6.(2020·沭阳县外国语实验学校初二期末)下列说法正确的是( )‎ A.(﹣3)2的平方根是3 B.=±4‎ C.1的平方根是1 D.4的算术平方根是2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、(﹣3)2的平方根是±3,故该项错误;B、,故该项错误;C、1的平方根是±1,故该项错误;D、4的算术平方根是2,故该项正确.故选D.‎ ‎7.(2019·石家庄市期末)如果=4,那么x等于(  )‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:∵=4,‎ ‎∴ ∴x=±4. 故选:D.‎ ‎8.(2020·河南省实验中学初二期中)已知一个正数的两个平方根分别为和,则这个正数的立方根是( )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:∵一个正数的两个平方根分别为3a-5和7-a,‎ ‎∴3a-5+7-a=0,‎ 解得:a=-1,‎ ‎∴3a-5=-8,‎ 这个数是(-8)2=64,‎ ‎64的立方根为4,‎ 故选:A.‎ ‎9.(2020·宝鸡市期末)一个正数的两个平方根分别是与,则a的值为(   )‎ A.-1 B.1 C.-2 D.2‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵一个正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2,‎ ‎∴,解得:.‎ 故选A.‎ ‎10.(2020·南京市期末)面积为的正方形的边长是( )‎ A.的平方根 B.的算术平方根 C.开平方的结果 D.的立方根 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:因为正方形的边长的平方等于面积,且正方形的边长为正数,‎ A选项的平方根有两个,其中一个为负数,故A错误;‎ B选项,一个正数的平方等于a,那么这个数叫做a的算术平方根,所以面积为的正方形的边长是的算术平方根,故B正确;‎ C选项开平方的结果即为的平方根,故C错误;‎ D选项的立方根是求一个数的立方等于13,故D错误.‎ 故选:B ‎11.(2019·恩施市期末)已知(x +1)2= 16 ,则 x 的值是( )‎ A.3 B.7 C.3 或-5 D.7 或-8‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 根据题意得x+1=±4,‎ x=-1±4,‎ 得x=3或-5.‎ 故选C.‎ ‎12.(2020·银川市期末)“的算术平方根是”,用式子表示为( )‎ A.±=± B.=±‎ C.= D.±=‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 的算术平方根是, 用式子表示为 .‎ 故选C.‎ ‎13.(2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中)下列运算中错误的有(  )‎ ‎①②,③,④=3‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎①4,故A正确;‎ ‎②,故B错误;‎ ‎③,无法开方,故C错误;‎ ‎④±±3,故D错误.‎ 错误的有3个.‎ 故选B.‎ ‎14.(2020·沈阳市第二十三中学初一期中)若x是9的算术平方根,则x是( )‎ A.3 B.-3 C.9 D.81‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题解析:∵32=9,‎ ‎∴=3,‎ 故选A.‎ ‎15.(2020·贵港市期末)若a2=4,b2=9,且ab<0,则a﹣b的值为(  )‎ A.﹣2 B.±5 C.5 D.﹣5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵a2=4,b2=9,‎ ‎∴a=±2,b=±3,‎ ‎∵ab<0,‎ ‎∴a=2时,b=−3,a−b=2−(−3)=2+3=5,‎ a=−2时,b=3,a−b=−2−3=−5,‎ 所以,a−b的值为5或−5.‎ 故选:B.‎ 知识点二 立方根和开立方 立方根概念:如果一个数的立方等于,即那么x叫做的立方根或三次方根,‎ 表示方法:数a的立方根记作,读作三次根号a 立方根的性质:任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0.‎ 开立方概念:求一个数的立方根的运算。‎ 开平方的表示: (a取任何数) ‎ 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 注意:0的平方根和立方根都是0本身。‎ 次方根(扩展)‎ 概念:如果一个数的次方(是大于1的整数)等于,这个数就叫做的次方根。‎ 当为奇数时,这个数叫做的奇次方根。‎ 当为偶数时,这个数叫做的偶次方根。‎ 性质: 正数的偶次方根有两个:;0的偶次方根为0:;负数没有偶次方根。‎ 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1.(2019·唐山市期中)下列等式正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、原式=,错误;‎ B、原式=-(-)=,错误;‎ C、原式没有意义,错误;‎ D、原式==4,正确,‎ 故选D.‎ ‎217.(2018·成都市武侯区西蜀实验学校初二期末)下列计算正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:A、=-2,故本选项正确;‎ B、-=-0.6,故本选项错误;‎ C、=13,故本选项错误;‎ D、=5,故本选项错误;‎ 故选:A.‎ ‎3.(2019·昌平区期中)下列各式中,正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 试题分析:A.;该选项正确;‎ B.=3≠9,故该选项错误;‎ C.=-3,该选项错误;‎ D.=2≠-2,该选项错误.‎ 故选A.‎ ‎4.(2019·宜宾市期中)下列说法正确的是(  )‎ A.1的平方根是1 B.﹣2没有立方根 C.±6是36的算术平方根 D.27的立方根是3‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、1的平方根是±1,故选项错误;‎ B、﹣2的立方根是,故选项错误;‎ C、6是36的算术平方根,故选项错误;‎ D、27的立方根是3,故选项正确.‎ 故选:D.‎ ‎5.(2018·福建省厦门第六中学初一期中)下列各式中,正确的是  ‎ A. B. C. D.=-4‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A、,故A错误;‎ B、,故B错误;‎ C、,故C正确;‎ D、=4,故D错误,‎ 故选C.‎ ‎6.(2019·湖南广益实验中学初一期末)的算术平方根是(  )‎ A.2 B.±2 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵=2,‎ 而2的算术平方根是,‎ ‎∴的算术平方根是,‎ 故选C.‎ ‎7.(2018·泉州市北峰中学初二期中)下列说法正确的是( ).‎ A.1的立方根是 B. C. D.0没有平方根;‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析:A. 1的立方根是1,故错误.‎ B.故错误.‎ C.正确.‎ D. 0有平方根.故错误.‎ 故选C.‎ ‎8.(2018·邯郸市期中)(-)2的平方根是x,64的立方根是y,则x+y的值为( )‎ A.3 B.7 C.3或7 D.1或7‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ ‎∵(-)2=9,9的平方根x=±3,y=4,‎ ‎∴x+y=7或1.‎ 故答案为7或1.‎ ‎9.(2019·萍乡市期中)下列各组数中互为相反数的是( )‎ A.-2与 B.-2与 C.2与(-)2 D.|-|与 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选项A. -2与 =2,‎ ‎ 选项B. -2与 =-2,‎ ‎ 选项 C. 2与(-)2=2,‎ ‎ 选项D. |-|=与,‎ 故选A.‎ ‎25.(2019·赣州市期末)已知为实数,且,则的立方根是( )‎ A. B.-8 C.-2 D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵,‎ ‎∴x−3=0,y+2=0,‎ 解得:x=3,y=−2,‎ 则yx=(−2)3=−8的立方根是:−2.‎ 故选:C.‎ 巩固训练 一、 选择题(共10小题)‎ ‎1.(2019·丹东市期中)的算术平方根为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵=2,‎ 而2的算术平方根是,‎ ‎∴的算术平方根是,‎ 故选B.‎ ‎2.(2018·武邑县期末)2的算术平方根是(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解:2的算术平方根是,故选B.‎ ‎3.(2018·贵阳市期末)下列结果错误的是(  )‎ A.=2 B.的算术平方根是4‎ C.12的算术平方根是 D.(-π)2的算术平方根是π ‎【答案】B ‎【解析】‎ A. 原式==2,故A正确,与要求不符;‎ B.4,4的算术平方根是2,故B错误,与要求相符;‎ C.12=,它的算术平方根是,故C正确,与要求不符;‎ D.(−π)2=π2,π2的算术平方根是π,故D正确,与要求不符.‎ 故选:B.‎ ‎4.(2019·运城市期末)的算术平方根是( )‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解:∵=2,∴的算术平方根是.故选C.‎ ‎5.(2017·张家港市期中)(-6)2的平方根是(  )‎ A.-6 B.36 C.±6 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析: ‎ 的平方根是 ‎ 故选C.‎ ‎6.(2020·盐城市期末)下列说法正确的是( )‎ A.4的平方根是±2 B.8的立方根是±2 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解:A.4的平方根是±2,故本选项正确;‎ B.8的立方根是2,故本选项错误;‎ C. =2,故本选项错误;‎ D.=2,故本选项错误;‎ 故选A.‎ ‎7.(2018·南昌市期中)一个正数的平方根是x-5和x+1,则x的值为(  )‎ A.2 B.-2 C.0 D.无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】试题解析:由题意得,x−5+x+1=0,‎ 解得:x=2.‎ 故选A.‎ ‎8.(2018·南京市期末)-64的立方根与的平方根之和为(  )‎ A.-2或2 B.-2或-6‎ C.-4+2或-4-2 D.0‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:-64的立方根是-4.‎ ‎=4,4的平方根是±2,‎ 所以-4+2=-2,-4+(-2)=-6.‎ 故选:B.‎ ‎9.(2016·深圳市高级中学初二期中)比较的大小,正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵2,∴2;‎ ‎∵,∴,∴.‎ 故选A.‎ ‎10.(2018·龙岩市期中)若a是(﹣3)2的平方根,则等于( )‎ A.﹣3 B. C.或﹣ D.3或﹣3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 详解:∵a是(﹣3)2的平方根,∴a=±3,‎ ‎∴等于或﹣.故选C.‎ 一、 填空题(共5小题)‎ ‎11.(2018·嘉兴市期末)的算术平方根是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵=8,()2=8,‎ ‎∴的算术平方根是.‎ 故答案为:. ‎ ‎12.(2019·嘉兴市期末)已知a、b满足(a﹣1)2+=0,则a+b=_____.‎ ‎【答案】﹣1‎ ‎【详解】‎ ‎∵(a﹣1)2+=0,‎ ‎∴a=1,b=﹣2,‎ ‎∴a+b=﹣1,‎ 故答案为﹣1.‎ ‎13.(2019·杭州市期中)的算术平方根是 _____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【详解】‎ ‎∵,的算术平方根是2,‎ ‎∴的算术平方根是2.‎ ‎14.(2020·郑州市期末)立方根是__________.‎ ‎【答案】2;‎ ‎【详解】‎ ‎∵=8,,‎ ‎∴的立方根是2.‎ 故答案为:2.‎ ‎15.(2019·从江县期中)的平方根是_____,﹣的立方根是_____.‎ ‎【答案】±2 -2 ‎ ‎【详解】‎ ‎=4,所以的平方根是±2,‎ ‎-=-8,所以﹣的立方根是-2,‎ 故答案为:±2,-2.‎ 一、 解答题(共2小题)‎ ‎16.(2019·朝阳市期中)已知+=b+8.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求a2-b2的平方根.‎ ‎【答案】(1)17;(2)±15.‎ ‎【解析】‎ 根据题意得:,‎ 解得:a=17,‎ ‎(2)b+8=0,‎ 解得:b=﹣8,‎ 则a2﹣b2=172﹣(﹣8)2=225,‎ 则平方根是:±15.‎ ‎17.(2017·张家港市期中)(1)已知的平方根是,的立方根是2,是的整数部分,求的值;‎ ‎(2)已知与互为相反数,求(x+y)2的平方根.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 根据题意,可得2a−1=9,3a+b−9=8;‎ 故a=5,b=2;‎ 又有 ‎ 可得 ‎ 则 ‎ 根据题意得: ‎ 可得 ‎ 解得: ‎ 则 的平方根是 ‎