人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：平方根、立方根和开立方（解析版） 16页

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 平方根、立方根和开立方 知识网络 重难突破 知识点一 平方根 算术平方根概念：一般的如果一个正数 x 的平方等于 a，即 算术平方根的表示方法：非负数 a 的算术平方根记作 平方根概念：如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫做 的平方根或二次方根，即 ，那么 x 叫做 a 的平方根。 平方根的性质与表示： 表示：正数 a 的平方根用 表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做 a 的负平方根。 性质：一个正数有两个平方根： （根指数 2 省略）且他们互为相反数。 0 有一个平方根，为 0，记作 负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系： 【典型例题】 1．（2019·迁安市期末）25 的算术平方根是 A．5 B． C． D．25 【答案】A 【解析】 ∵ ， ∴ 的算术平方根是 5. 故选 A. 2．（2018·大石桥市石佛中学初一期末） 的值是 　　 A．±3 B．3 C．9 D．81 【答案】C 【解析】 试题解析：∵ ∴ 的值是 3 故选 C. 3．（2020·灯塔市期末）估计 的值在（ ） A．2 到 3 之间 B．3 到 4 之间 C．4 到 5 之间 D．5 到 6 之间 【答案】B 【详解】 ∵4 ＜ 6 ＜ 9 ， ( ) 5± 5− 25 25= 25 9 ( ) 9 3= 9 6+1 ∴ ，即 ， ∴ ， 故选 B. 4．（2020·沈阳市第七中学初二期末）9 的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±4.5 D．4.5 【答案】A 【详解】 （±3）2=9 ∴9 的平方根是±3 故选 A. 5．（2020·东营市期末）16 的平方根是（　　） A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4 【答案】A 【详解】 ∵ ∴16 的平方根是±4. 故选 A. 6．（2020·沭阳县外国语实验学校初二期末）下列说法正确的是（ ） A．（﹣3）2 的平方根是 3 B． ＝±4 C．1 的平方根是 1 D．4 的算术平方根是 2 【答案】D 【详解】 A、（﹣3）2 的平方根是±3，故该项错误；B、 ，故该项错误；C、1 的平方根是±1，故该项错误； D、4 的算术平方根是 2，故该项正确.故选 D. 7．（2019·石家庄市期末）如果 =4，那么 x 等于（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】 4 6 9< < 2 6 3< < 3 6+1 4< <  2( 4) 16,± = 16 16 4＝ 2x 2± 4± 解：∵ =4， ∴ ∴x=±4． 故选：D． 8．（2020·河南省实验中学初二期中）已知一个正数的两个平方根分别为 和 ,则这个正数的立方 根是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】 解：∵一个正数的两个平方根分别为 3a-5 和 7-a， ∴3a-5+7-a=0， 解得：a=-1， ∴3a-5=-8， 这个数是(-8)2=64， 64 的立方根为 4， 故选：A． 9．（2020·宝鸡市期末）一个正数的两个平方根分别是 与 ，则 a 的值为(　　 ) A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【详解】 ∵一个正数的两个平方根分别是 2a−1 与−a+2， ∴ ，解得： . 故选 A. 10．（2020·南京市期末）面积为 的正方形的边长是（ ） A． 的平方根 B． 的算术平方根 C． 开平方的结果 D． 的立方根 【答案】B 【详解】 解：因为正方形的边长的平方等于面积，且正方形的边长为正数， A 选项 的平方根有两个，其中一个为负数，故 A 错误； 2x 2 16x = 3 5a − 7 a− 2 1a − 2a− + (2 1) ( 2) 0a a− + − + = 1a = − 13 13 13 13 13 13 B 选项，一个正数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的算术平方根，所以面积为 的正方形的边长是 的 算术平方根，故 B 正确； C 选项 开平方的结果即为 的平方根，故 C 错误； D 选项 的立方根是求一个数的立方等于 13，故 D 错误. 故选：B 11．（2019·恩施市期末）已知(x +1)2= 16 ，则 x 的值是（ ） A．3 B．7 C．3 或−5 D．7 或−8 【答案】C 【详解】 根据题意得 x+1=±4， x=-1±4， 得 x=3 或-5． 故选 C． 12．（2020·银川市期末）“ 的算术平方根是 ”，用式子表示为( ) A．± ＝± B． ＝± C． ＝ D．± ＝ 【答案】C 【解析】 的算术平方根是 , 用式子表示为 . 故选 C. 13．（2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中）下列运算中错误的有（　　） ① ② ，③ ，④ ＝3 A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【详解】 ① 4，故 A 正确； 13 13 13 13 13 16 25 4 5 16 25 4 5 16 25 4 5 16 25 4 5 16 25 4 5 16 25 4 5 16 4 25 5 = 16 4,= 36 6 49 7 = ± 23 3− = − 23± 16 = ② ，故 B 错误； ③ ，无法开方，故 C 错误； ④± ±3，故 D 错误． 错误的有 3 个． 故选 B． 14．（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）若 x 是 9 的算术平方根，则 x 是（ ） A．3 B．－3 C．9 D．81 【答案】A 【解析】 试题解析：∵32=9， ∴ =3， 故选 A． 15．（2020·贵港市期末）若 a2＝4，b2＝9，且 ab＜0，则 a﹣b 的值为（　　） A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5 【答案】B 【解析】 ∵a2=4,b2=9， ∴a=±2，b=±3， ∵ab<0， ∴a=2 时,b=−3,a−b=2−(−3)=2+3=5， a=−2 时，b=3，a−b=−2−3=−5， 所以，a−b 的值为 5 或−5. 故选：B. 知识点二 立方根和开立方 立方根概念：如果一个数的立方等于 ，即 那么 x 叫做 的立方根或三次方根， 表示方法：数 a 的立方根记作 ，读作三次根号 a 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的 36 49 = 6 7 23− 23 = 9 立方根是０. 开立方概念：求一个数的立方根的运算。 开平方的表示： （a 取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 注意:０的平方根和立方根都是０本身。 次方根(扩展) 概念：如果一个数的 次方（ 是大于１的整数）等于 ，这个数就叫做 的 次方根。 当 为奇数时，这个数叫做 的奇次方根。 当 为偶数时，这个数叫做 的偶次方根。 性质： 正数的偶次方根有两个： ；０的偶次方根为０： ；负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。 【典型例题】 1．（2019·唐山市期中）下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 A、原式= ，错误； B、原式=-（- ）= ，错误； C、原式没有意义，错误； D、原式= =4，正确， 故选 D． 217．（2018·成都市武侯区西蜀实验学校初二期末）下列计算正确的是（ ） A． B． 49 7 144 12 = ± 3 27 3 8 2 − − = − 9 3− = − 23 ( 8) 4− = 7 12 3 2 3 2 3 64 C． D． 【答案】A 【详解】 解：A、 =-2，故本选项正确； B、- =-0.6，故本选项错误； C、 =13，故本选项错误； D、 =5，故本选项错误； 故选：A． 3．（2019·昌平区期中）下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 试题分析：A． ；该选项正确； B． =3≠9，故该选项错误； C． =－3，该选项错误； D． =2≠－2，该选项错误. 故选 A. 4．（2019·宜宾市期中）下列说法正确的是（　　） A．1 的平方根是 1 B．﹣2 没有立方根 C．±6 是 36 的算术平方根 D．27 的立方根是 3 【答案】D 【详解】 A、1 的平方根是±1，故选项错误； B、﹣2 的立方根是 ，故选项错误； C、6 是 36 的算术平方根，故选项错误； D、27 的立方根是 3，故选项正确． 9= 3± ± 2( 3) 9− = 3 9 3− = − 22 2( )− = − 9 3± = ± ( )2 3− 3 9− ( )22− 3 2− 故选：D． 5．（2018·福建省厦门第六中学初一期中）下列各式中，正确的是 　　 A． B． C． D． =-4 【答案】C 【详解】 A、 ，故 A 错误； B、 ，故 B 错误； C、 ，故 C 正确； D、 =4，故 D 错误， 故选 C． 6．（2019·湖南广益实验中学初一期末） 的算术平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D． 【答案】C 【详解】 ∵ =2， 而 2 的算术平方根是 ， ∴ 的算术平方根是 ， 故选 C． 7．（2018·泉州市北峰中学初二期中）下列说法正确的是（ ）. A．1 的立方根是 B． C． D．0 没有平方根； 【答案】C 【解析】 试题解析：A. 1 的立方根是 1，故错误. B. 故错误. ( ) 36 6= ± 49 7 9 3 ± = 3 27 3− = − ( )24− 36 6= 49 7 9 3 ± = ± 3 27 3− = − ( )24− 3 8 2 2± 3 8 2 3 8 2 ±1 16 4= ± 16 4= 16 4.= C.正确. D. 0 有平方根.故错误. 故选 C. 8．（2018·邯郸市期中）（- ）2 的平方根是 x，64 的立方根是 y，则 x+y 的值为（ ） A．3 B．7 C．3 或 7 D．1 或 7 【答案】D 【详解】 ∵（- ）2=9，9 的平方根 x=±3，y=4， ∴x+y=7 或 1． 故答案为 7 或 1． 9．（2019·萍乡市期中）下列各组数中互为相反数的是（ ） A．－2 与 B．－2 与 C．2 与（- ）2 D．|- |与 【答案】A 【解析】 选项 A. －2 与 =2， 选项 B. －2 与 =-2， 选项 C. 2 与（- ）2=2, 选项 D. |- |= 与 , 故选 A. 25．（2019·赣州市期末）已知 为实数，且 ，则 的立方根是（ ） A． B．－8 C．－2 D． 【答案】C 【详解】 ∵ ， ∴x−3=0，y+2=0， 解得：x=3，y=−2， 9 9 2（- 2) 3 8− 2 2 2 22)−（ 3 8− 2 2 2 2 x y， ( )23 2 0x y− + + = xy 3 6 2± ( )23 2 0x y− + + = 则 yx=(−2)3=−8 的立方根是：−2. 故选：C. 巩固训练 一、 选择题（共 10 小题） 1．（2019·丹东市期中） 的算术平方根为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵ =2， 而 2 的算术平方根是 ， ∴ 的算术平方根是 ， 故选 B． 2．（2018·武邑县期末）2 的算术平方根是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】 解：2 的算术平方根是 ，故选 B． 3．（2018·贵阳市期末）下列结果错误的是(　　) A． ＝2 B． 的算术平方根是 4 C．12 的算术平方根是 D．(－π)2 的算术平方根是 π 【答案】B 【解析】 A. 原式= =2，故 A 正确，与要求不符； B. 4，4 的算术平方根是 2，故 B 错误，与要求相符； 4 2± 2 2± 2 4 2 4 2 2± 2 2− 2 2(-2) 16 1 4 7 2 4 16 = C.12 = ,它的算术平方根是 ，故 C 正确，与要求不符； D.(−π)2=π2,π2 的算术平方根是 π，故 D 正确，与要求不符. 故选：B. 4．（2019·运城市期末） 的算术平方根是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】 解：∵ =2，∴ 的算术平方根是 ．故选 C． 5．（2017·张家港市期中）(－6)2 的平方根是(　　) A．－6 B．36 C．±6 D． 【答案】C 【解析】 试题解析： 的平方根是 故选 C. 6．（2020·盐城市期末）下列说法正确的是（ ） A．4 的平方根是±2 B．8 的立方根是±2 C． D． 【答案】A 【解析】 解：A．4 的平方根是±2，故本选项正确； B．8 的立方根是 2，故本选项错误； C． =2，故本选项错误； D． =2，故本选项错误； 故选 A． 7．（2018·南昌市期中）一个正数的平方根是 x－5 和 x＋1，则 x 的值为(　　) A．2 B．－2 C．0 D．无法确定 【答案】A 1 4 49 4 7 2 4 2 2± 4 4 2 6± ( )26 36.− = 36 6.± 4 2= ± 22 2− = −（ ） 4 2( 2)− 【解析】试题解析：由题意得，x−5+x+1=0， 解得：x=2. 故选 A. 8．（2018·南京市期末）－64 的立方根与 的平方根之和为(　　) A．－2 或 2 B．－2 或－6 C．－4＋2 或－4－2 D．0 【答案】B 【详解】 解：-64 的立方根是-4． =4，4 的平方根是±2， 所以-4+2=-2，-4+（-2）=-6． 故选：B． 9．（2016·深圳市高级中学初二期中）比较 的大小，正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵2 ，∴2 ； ∵ ，∴ ，∴ ． 故选 A． 10．（2018·龙岩市期中）若 a 是(﹣3)2 的平方根，则 等于( ) A．﹣3 B． C． 或﹣ D．3 或﹣3 【答案】C 【解析】 详解：∵a 是（﹣3）2 的平方根，∴a=±3， ∴ 等于 或﹣ ．故选 C． 64 2 2 16 32 5 7， ， 3 7 2 5< < 32 5 7< < 32 7 5< < 35 7 2< < 4 5= ＜ 5＜ 3 37 8 2=＜ 3 7 2＜ 3 7 2 5＜ ＜ 3 a 3 3 3 3 3 3 3 a 3 3 3 3 二、 填空题（共 5 小题） 11．（2018·嘉兴市期末） 的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 ∵ =8，（ ）2=8， ∴ 的算术平方根是 . 故答案为： . 12．（2019·嘉兴市期末）已知 a、b 满足（a﹣1）2+ =0，则 a+b=_____． 【答案】﹣1 【详解】 ∵（a﹣1）2+ =0， ∴a=1，b=﹣2， ∴a+b=﹣1， 故答案为﹣1． 13．（2019·杭州市期中） 的算术平方根是 _____． 【答案】2 【详解】 ∵ ， 的算术平方根是 2， ∴ 的算术平方根是 2. 14．（2020·郑州市期末） 立方根是__________． 【答案】2； 【详解】 ∵ =8， ， ∴ 的立方根是 2. 故答案为：2. 15．（2019·从江县期中） 的平方根是_____，﹣ 的立方根是_____． 64 2 2 64 2 2 64 2 2 2 2 2b + b 2+ 16 16=4 4 16 64 64 3 8=2 64 16 64 【答案】±2 -2 【详解】 =4，所以 的平方根是±2， - =-8，所以﹣ 的立方根是-2， 故答案为：±2，-2. 三、 解答题（共 2 小题） 16．（2019·朝阳市期中）已知 + =b+8. (1)求 a 的值; (2)求 a2-b2 的平方根. 【答案】（1）17；（2）±15. 【解析】 根据题意得: , 解得:a=17, （2）b+8=0, 解得:b=﹣8, 则 a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225, 则平方根是:±15. 17．（2017·张家港市期中）（1）已知 的平方根是 ， 的立方根是 2， 是 的整数部分， 求 的值； （2）已知 与 互为相反数，求（x+y）2 的平方根． 【答案】详见解析. 【解析】 根据题意，可得 2a−1=9，3a+b−9=8； 故 a=5，b=2； 又有 可得 16 16 64 64 -17a 17 a− 17 0 17 0 a a − ≥  − ≥ 2 1a − 3± 3 9a b+ − c 17 2a b c+ + 3x y− + |2 6|x y+ − ( )1 4 17 5< < ， 4.c = 则 根据题意得： 可得 解得： 则 的平方根是 2 13.a b c+ + = ( )2 3 2 6 0x y x y− + + + − = ， 3 2 6 x y x y − = −  + = ， 1 4 x y ， =  = 2( ) 25x y+ = ，25 5.±