人教版七年级数学下册期考考查题型（共44题）：二元一次方程（组）（附答案与全解全析） 35页

人教版七年级数学下册期考考查题型（共44题）：二元一次方程（组）‎ 知识网络 考查题型 考查题型一 二元一次方程（组）相关概念 典例1（2019·农安县期末）方程组的解为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 典例2 （2019·阳谷县期末）方程(m－2 016)x|m|－2 015＋(n＋4)y|n|－3＝2 018是关于x、y的二元一次方程，则(　　)‎ A．m＝±2 016；n＝±4 B．m＝2 016，n＝4‎ C．m＝－2 016，n＝－4 D．m＝－2 016，n＝4‎ 典例3（2019·石家庄市期末）方程x-3y=1，xy=2，x-=1，x-2y+3z=0，x2+y=3中是二元一次方程的有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 典例4（2019·昆山市期末）若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为(　　)．‎ A．3 B．－3 C．－4 D．4‎ 典例5（2019·黄石市期中）解为的方程组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 典例6（2019·威海市期中）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）‎ ‎ 35 / 35‎ A．±2 B． C．2 D．4‎ 考查题型二 解二元一次方程组 1） 代入法及加减法 典例7（2018·大连市期末）解方程组：‎ 变式7-1（2019·益阳市期末）（1）用代入法解方程组：‎ ‎（2）用加减法解方程组：‎ 变式7-2（2020·新疆维吾尔自治区期中）解方程组 ‎（1） ‎ ‎（2）‎ 2） 特殊解法 典例8（2017·台州市期中）已知方程组， 王芳看错了方程①中的a，得到的方程组的解为，李明看错了方程（2）中的b，得到的方程组的解为， 求原方程组的解.‎ 变式8-1（2017·宜城市期末）根据要求，解答下列问题.‎ ‎（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):‎ ‎① .‎ ‎② .‎ ‎③ .‎ ‎（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 .‎ ‎ 35 / 35‎ ‎（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.‎ 变式8-2（2017·无锡市天一实验学校初一期中）对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：‎ 若方程组的解是，求方程组 方程组的解．‎ 甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；‎ 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；‎ 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元的方法来解决”．‎ 请根据他们的讨论，求出第二个方程组的解．‎ 考查题型三 二元一次方程组的错解复原 典例9（2019·巴中市期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为.若按正确的a、b计算，求出原方程组的正确的解.‎ 变式9-1（2019·岳阳市期中）已知方程组由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．‎ 变式9-2（2018·衡阳市期中）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，而小亮把方程②抄错了，从而得到错解，请你求出正确答案.‎ 考查题型四 构造二元一次方程组求解 典例10（2020·南昌市期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值．‎ 变式10-1（2019·张家港市期中）已知实数x,y满足,求的平方根与立方根 ‎ 35 / 35‎ 变式10-2（2019·丽水市期末）关于、的方程组与有相同的解，求、的值.‎ 考查题型五 已知二元一次方程组的解满足的条件求参数 典例11（2019·山东省初一期中）已知方程组的解也是方程3x一2y=0的解,则k的值是多少？‎ 变式11-1（2019·金寨县天堂寨镇暖流中学初一期中）已知方程组的解能使等式成立．‎ 求原方程组的解；‎ 求代数式的值．‎ 考查题型六 同解方程组 典例12（2019·山东省初一期中）已知方程组和的解相同，求和的值.‎ 变式12-1（2018·丽水市期中）若关于x,y的方程组有相同的解.‎ ‎（1）求这个相同的解； （2）求m、n的值.‎ 变式12-2（2020·辉县市期中）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．‎ 变式12-3（2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中）已知关于的方程组和有相同解，求值．‎ 考查题型七 列二元一次方程组 典例13（2019·临汾市 ‎ 35 / 35‎ 期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 变式13-1（2019·大埔县期末）甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ 变式13-2（2020·泰安市期中）夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 变式13-3（2019·张家港市期末）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 变式13-4（2019·长沙市期中）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为（　　）‎ ‎ 35 / 35‎ A． B． C． D．‎ 变式13-5（2019·张家港市期末）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 考查题型八 二元一次方程组的应用 典例14（2019·广州市期中）已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎(1)l辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？‎ ‎(2)请你帮该物流公司设计租车方案；‎ ‎(3)若A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．‎ 变式14-1（2019·珠海市期末）如图，A、B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为1.5元/(公里•吨)，铁路运价为1元/(公里•吨)，这两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．‎ 问：(1)这家食品厂到A地的距离是多少？‎ ‎(2)这家食品厂此次买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，此批食品销售完后工厂共获利多少元？‎ 变式14-2（2020·甘南县期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：‎ ‎ 35 / 35‎ ‎(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?‎ ‎(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?‎ ‎(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)‎ 变式14-3（2019·靖远市期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？‎ 变式14-4（2020·江北区期末）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：‎ 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.‎ 变式14-5（2019·赣州市期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．‎ ‎（1）求该店有客房多少间？房客多少人？‎ ‎（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？‎ 变式14-6（2019·江北区期末）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．‎ ‎（1）求A，B两型桌椅的单价；‎ ‎（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；‎ 考查题型九 解三元一次方程组 ‎ 35 / 35‎ 典例15（2019·东莞市期末）解方程组：‎ 变式15-1（2018·玉溪市期末）解三元一次方程组：‎ 变式15-2（2018·襄阳市期中）解三元一次方程组 考查题型十 三元一次方程组的应用 典例16（2019·保定市期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： ‎ 营业员A：月销售件数200件，月总收入2400元；‎ 营业员B：月销售件数300件，月总收入2700元； ‎ 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元．‎ ‎1）求、的值；‎ ‎2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？ ‎ ‎3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？‎ 变式16-1（2019·娄底市期末）某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？‎ 变式16-2（2019·邢台市期中）小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？‎ 变式16-3（2019·丹江口市期中）某工程由甲乙两队合做6天完成，厂家需付甲乙两队共16800元；乙丙两队合做10天完成，厂家需付乙丙两队共17000元；甲丙两队合做7．5天完成，厂家需付甲丙两队共15750元.‎ ‎（1）求甲、乙、丙三队每天工钱各多少元？‎ ‎（2）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？‎ ‎ 35 / 35‎ ‎（3）若要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？‎ 人教版七年级数学下册期考考查题型（共44题）：二元一次方程（组）‎ 知识网络 考查题型 考查题型一 二元一次方程（组）相关概念 典例1（2019·农安县期末）方程组的解为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，‎ 故选D．‎ 典例2 （2019·阳谷县期末）方程(m－2 016)x|m|－2 015＋(n＋4)y|n|－3＝2 018是关于x、y的二元一次方程，则(　　)‎ A．m＝±2 016；n＝±4 B．m＝2 016，n＝4‎ C．m＝－2 016，n＝－4 D．m＝－2 016，n＝4‎ ‎【答案】D ‎【详解】∵是关于x、y的二元一次方程，‎ ‎∴m-2016≠0，n+4≠0，|m|-2015=1，|n|-3=1，‎ 解得：m=-2016，n=4，‎ 故选D．‎ ‎ 35 / 35‎ 典例3（2019·石家庄市期末）方程x-3y=1，xy=2，x-=1，x-2y+3z=0，x2+y=3中是二元一次方程的有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 详解: ∵x-3y=1是二元一次方程，xy=2是二元二次方程，x-=1是分式方程，x-2y+3z=0是三元一次方程，x2+y=3是二元二次方程;‎ ‎∴只有x-3y=1是二元一次方程.‎ 故选A.‎ 典例4（2019·昆山市期末）若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为(　　)．‎ A．3 B．－3 C．－4 D．4‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：由题意，得：‎ 解得：‎ 将代入y=kx-9中，得：-1=2k-9，‎ 解得：k=4.‎ 故选D.‎ 典例5（2019·黄石市期中）解为的方程组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 35 / 35‎ ‎【详解】‎ A、把代入方程x-y=-1，左边=1≠右边，把代入方程y+3x=5，左边=5=右边，故不是方程组的解，故选项错误；‎ B、把代入方程3x+y=-5，左边=5≠右边，故不是方程组的解，故选项错误；‎ C、把代入方程x-y=3，左边=-1≠右边，故不是方程组的解，故选项错误；‎ D、把代入方程x-2y=-3，左边=-3=右边=-3，把代入方程3x+y=5，左边=5=右边，故是方程组的解，故选项正确．‎ 故选D．‎ 典例6（2019·威海市期中）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）‎ A．±2 B． C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵是二元一次方程组的解，∴，解得．‎ ‎∴．即的算术平方根为2．故选C．‎ 考查题型二 解二元一次方程组 1） 代入法及加减法 典例7（2018·大连市期末）解方程组：‎ ‎【答案】原方程组的解为 ‎【详解】 ，‎ 由①得：x=-2y   ③‎ ‎ 35 / 35‎ 将③代入②得：3（-2y）+4y=6，‎ 解得：y=-3，‎ 将y=-3代入③得：x=6，‎ ‎∴原方程组的解为.‎ 变式7-1（2019·益阳市期末）（1）用代入法解方程组：‎ ‎（2）用加减法解方程组：‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 由①得x=3+y③‎ 将③代入②得：y=‎ 将y=代入③得：x=‎ 所以原方程组的解为： ‎ ‎（2）原方程组可化为： ‎ ‎①×2得：6x+4y=24③‎ ‎②×3得：6x-9y=-15④‎ ‎③-④得：13y=39，解得：y=3‎ 将y=3代入①中得：x=2‎ ‎ 35 / 35‎ 所以原方程组的解为：‎ 变式7-2（2020·新疆维吾尔自治区期中）解方程组 ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1） ‎ ‎①×3得，6x－3y=15 ③‎ ‎②－③，得x=5．‎ 将x=5代入①，得y=5，‎ 所以原方程组的解为．‎ ‎（2）原方程组变为 ‎①－②，得y=．‎ 将y=代入①，‎ 得5x+15×=6，‎ x=0，‎ 所以原方程组的解为.‎ 1） 特殊解法 ‎ 35 / 35‎ 典例8（2017·台州市期中）已知方程组， 王芳看错了方程①中的a，得到的方程组的解为，李明看错了方程（2）中的b，得到的方程组的解为， 求原方程组的解.‎ ‎【答案】原方程组的解为 ‎【解析】‎ 由题意得4×5+4b=12，解得b=-2,‎ ‎4a+5×5=12，解得a=，‎ 代入可得 解得 ‎ 变式8-1（2017·宜城市期末）根据要求，解答下列问题.‎ ‎（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):‎ ‎① .‎ ‎② .‎ ‎③ .‎ ‎（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 .‎ ‎（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.‎ ‎【答案】（1）①②③（2）x=y；（3）方程组为：，解为：（答案不唯一）‎ ‎【详解】‎ ‎ 35 / 35‎ 解：（1）① ②③‎ ‎（2）x=y. ‎ ‎（3）方程组为：，解为：（答案不唯一）‎ 变式8-2（2017·无锡市天一实验学校初一期中）对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：‎ 若方程组的解是，求方程组 方程组的解．‎ 甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；‎ 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；‎ 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元的方法来解决”．‎ 请根据他们的讨论，求出第二个方程组的解．‎ ‎【答案】第二个方程组的解是 ‎【解析】‎ 第二个方程组的两个方程的两边都除以4得：‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ 解得: .‎ 考查题型三 二元一次方程组的错解复原 典例9（2019·巴中市期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ‎ 35 / 35‎ ‎，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为.若按正确的a、b计算，求出原方程组的正确的解.‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 把代入②得：，‎ 解得：，‎ 把代入①得：，‎ 解得：，‎ 即方程组为：，‎ 得：，‎ 解得：，‎ 把代入③得：，‎ 解得：，‎ 即原方程组的解为：．‎ 变式9-1（2019·岳阳市期中）已知方程组由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【详解】‎ ‎ 35 / 35‎ 解：（1）依题意把代入②，把代入①，‎ 得 解得 ‎（2）故原方程为，解得 变式9-2（2018·衡阳市期中）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，而小亮把方程②抄错了，从而得到错解，请你求出正确答案.‎ ‎【答案】.‎ ‎【详解】‎ 解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，‎ 所以是bx+ay=19的正确解，‎ 所以b+7a=19，‎ 小亮把方程②抄错了，从而得到错解，‎ 所以是ax+by=16的正确解，‎ 所以-2a+4b=16，‎ 解方程组得，‎ ‎ 35 / 35‎ 所以原方程组为，‎ ‎①+②得：7x+7y=35，即x+y=5③，‎ ‎②-①得：3x-3y=3，即x-y=1④，‎ ‎③+④得：2x=6，‎ x=3，‎ 把x=3代入①得：6+5y=16，‎ y=2，‎ 所以原方程组的正确解为.‎ 考查题型四 构造二元一次方程组求解 典例10（2020·南昌市期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 解：由题意可将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组，解得：．‎ 把代入4ax＋5by＝－22，得：8a＋15b＝－22．①‎ 把代入ax－by－8＝0，得：2a－3b－8＝0．②‎ ‎①与②组成方程组，得：，解得：．‎ 变式10-1（2019·张家港市期中）已知实数x,y满足,求的平方根与立方根 ‎【答案】±3，‎ ‎【详解】‎ ‎ 35 / 35‎ 根据题意得, 解得, x-8y=9，平方根=±3，立方根=‎ 变式10-2（2019·丽水市期末）关于、的方程组与有相同的解，求、的值.‎ ‎【答案】a=2，b=3．‎ ‎【详解】‎ 解：解方程组得：， 把代入得：‎ 解得： ， 即a=2，b=3．‎ 故答案为a=2，b=3．‎ 考查题型五 已知二元一次方程组的解满足的条件求参数 典例11（2019·山东省初一期中）已知方程组的解也是方程3x一2y=0的解,则k的值是多少？‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 解：解方程组，‎ 得：，‎ 把x，y代入4x-3y+k=0得：-40+45+k=0‎ ‎ 35 / 35‎ 解得：k=-5．‎ 变式11-1（2019·金寨县天堂寨镇暖流中学初一期中）已知方程组的解能使等式成立．‎ 求原方程组的解；‎ 求代数式的值．‎ ‎【答案】（1）原方程组的解为；（2）代数式的值为49．‎ ‎【详解】‎ 根据题意得 ，‎ ‎，得，解得，‎ 把代入得，，‎ 原方程组的解为；‎ 将，代入，得，‎ 将代入．‎ 代数式的值为49．‎ 考查题型六 同解方程组 典例12（2019·山东省初一期中）已知方程组和的解相同，求和的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 解：依题意得，解得，‎ ‎ 35 / 35‎ 将其分别代入和 组成一个二元一次方程组，‎ 解得：．‎ 变式12-1（2018·丽水市期中）若关于x,y的方程组有相同的解.‎ ‎（1）求这个相同的解； （2）求m、n的值.‎ ‎【答案】(1)；（2）m=6，n=4‎ ‎【详解】解:（1）由得，‎ ‎ ，‎ ‎(2)把代入含有m,n的方程，得 ‎ ，‎ 解得 ‎ ‎ 变式12-2（2020·辉县市期中）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．‎ ‎【答案】m=4，n=﹣1．‎ ‎【解析】‎ ‎∵方程组与有相同的解，‎ ‎∴与原两方程组同解．‎ ‎ 35 / 35‎ 由5y﹣x=3可得：x=5y﹣3，‎ 将x=5y﹣3代入3x﹣2y=4，则y=1．‎ 再将y=1代入x=5y﹣3，则x=2．‎ 将代入得：，‎ 将（1）×2﹣（2）得：n=﹣1，‎ 将n=﹣1代入（1）得：m=4．‎ 变式12-3（2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中）已知关于的方程组和有相同解，求值．‎ ‎【答案】-8.‎ ‎【解析】‎ 因为两组方程组有相同的解，‎ 所以原方程组可化为方程组① 和方程组② ，‎ 解方程组①，得，‎ 代入②得，解得 ，‎ 所以(－a)b＝(－2)3＝－8.‎ 考查题型七 列二元一次方程组 典例13（2019·临汾市期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ 35 / 35‎ ‎【详解】‎ 设索长为x尺，竿子长为y尺，‎ 根据题意得：．‎ 故选A．‎ 变式13-1（2019·大埔县期末）甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 根据题意可得，顺水速度为：，逆水速度为：，所以根据所走的路程可列方程组为，故选A．‎ 变式13-2（2020·泰安市期中）夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为：‎ ‎ 35 / 35‎ ‎．故选C．‎ 变式13-3（2019·张家港市期末）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 设有x人，物品的价格为y元，‎ 根据题意，可列方程：，‎ 故选A．‎ 变式13-4（2019·长沙市期中）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】由题意可得，‎ ‎，‎ 故选A．‎ 变式13-5（2019·张家港市期末）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）‎ ‎ 35 / 35‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：设每一个小长方形的长为x，宽为y，‎ 依题意，得：．‎ 故选A．‎ 考查题型八 二元一次方程组的应用 典例14（2019·广州市期中）已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎(1)l辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？‎ ‎(2)请你帮该物流公司设计租车方案；‎ ‎(3)若A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．‎ ‎【答案】(1) A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货3吨、4吨;(2) 最省钱的租车方案是方案一：A型车8辆，B型车2辆，最少租车费为2080元.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，‎ 依题意列方程组为： ‎ 解得 ‎ 答：1辆A型车辆装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨.‎ ‎（2）结合题意，和（1）可得3a+4b=35‎ ‎∴a= ‎ ‎∵a、b都是整数 ‎ 35 / 35‎ ‎∴或或 答：有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车2辆； 方案二：A型车5辆，B型车5辆； 方案三：A型车1辆，B型车8辆．‎ ‎（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次， ∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元） 方案二需租金：5×200+5×240=2200（元） 方案三需租金：1×200+8×240=2120（元） ∵2280＞2200＞2120 ∴最省钱的租车方案是方案一：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元.‎ 变式14-1（2019·珠海市期末）如图，A、B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为1.5元/(公里•吨)，铁路运价为1元/(公里•吨)，这两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．‎ 问：(1)这家食品厂到A地的距离是多少？‎ ‎(2)这家食品厂此次买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，此批食品销售完后工厂共获利多少元？‎ ‎【答案】(1)这家食品厂到A地的距离是50公里；(2)这家食品厂此批食品销售完共获利863800元．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设这家食品厂到A地的距离是x公里，到B地的距离是y公里，‎ 根据题意，得： ，‎ 解得： ．‎ 答：这家食品厂到A地的距离是50公里．‎ ‎ 35 / 35‎ ‎(2)设这家食品厂此次买进的原料m吨，卖出食品n吨，‎ 根据题意得： ，‎ 解得： ，‎ ‎∴10000n﹣5000m﹣15600﹣20600＝863800．‎ 答：这家食品厂此批食品销售完共获利863800元．‎ 变式14-2（2020·甘南县期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：‎ ‎(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?‎ ‎(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?‎ ‎(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)‎ ‎【答案】（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元；（2）单独请乙组需要的费用少；（3）甲乙合作施工更有利于商店.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元.‎ 由题意得：‎ 解得：‎ 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元 ‎(2)单独请甲组需要的费用：300×12=3600元.‎ 单独请乙组需要的费用：24×140=3360元.‎ 答：单独请乙组需要的费用少.‎ ‎(3)请两组同时装修，理由：‎ 甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；‎ 乙单独做，需费用3360元，少赢利200X24=4800元，相当于损失8160元；‎ 甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；‎ ‎ 35 / 35‎ 因为5120<6000<8160，所以甲乙合作损失费用最少，‎ 答：甲乙合作施工更有利于商店.‎ 变式14-3（2019·靖远市期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？‎ ‎【答案】原两位数是53．‎ ‎【详解】‎ 解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，‎ 根据题意得：‎ 解得：‎ ‎∴10y+x＝53．‎ 答：原两位数是53．‎ 变式14-4（2020·江北区期末）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：‎ 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.‎ ‎【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．‎ ‎【详解】‎ 试题分析：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．‎ 试题解析：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，‎ 根据题意得：‎ ‎ ‎ ‎ 35 / 35‎ 解得： ．‎ 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．‎ 变式14-5（2019·赣州市期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．‎ ‎（1）求该店有客房多少间？房客多少人？‎ ‎（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？‎ ‎【答案】（1）该店有客房8间，房客63人；（2）诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可；‎ ‎（2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论．‎ 解：（1）设该店有客房x间，房客y人；‎ 根据题意得：，解得：．‎ 答：该店有客房8间，房客63人；‎ ‎（2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱 若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288千＜320钱；‎ 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．‎ 变式14-6（2019·江北区期末）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．‎ ‎（1）求A，B两型桌椅的单价；‎ ‎（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；‎ ‎（3）求出总费用最少的购置方案．‎ ‎ 35 / 35‎ ‎【答案】（1）A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；（2）y=﹣200x+162000（120≤x≤130）；（3）购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，‎ 根据题意知，，‎ 解得，，‎ 即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；‎ ‎（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤130），‎ ‎（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤130），‎ ‎∴当x=130时，总费用最少，‎ 即：购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．‎ 考查题型九 解三元一次方程组 典例15（2019·东莞市期末）解方程组：‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎+②得：④‎ ‎④-③得：‎ 将代入③得：‎ 将，代入②得：‎ ‎ 35 / 35‎ 变式15-1（2018·玉溪市期末）解三元一次方程组：‎ ‎【答案】 ‎ ‎【详解】‎ 将方程①+②得：2x+z＝27…④‎ 将方程②+③得：‎ ‎3x+2z＝44…⑤‎ 将④×3﹣⑤×2得：z＝7‎ 将z值代入⑤得：x＝10‎ 把x＝10代入①得：y＝9，∴三元一次方程组的解为．‎ 变式15-2（2018·襄阳市期中）解三元一次方程组 ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 解： ‎ ‎②-①，得；④ ‎ ‎ 35 / 35‎ ‎③-①，得. ⑤‎ ‎④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把代入①，得.‎ 因此 考查题型十 三元一次方程组的应用 典例16（2019·保定市期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： ‎ 营业员A：月销售件数200件，月总收入2400元；‎ 营业员B：月销售件数300件，月总收入2700元； ‎ ‎ 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元．‎ ‎ （1）求、的值；‎ ‎（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？ ‎ ‎（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？‎ ‎【答案】(1) ;(2) 434;(3) 180.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）依题意，得 ‎ ‎ ‎ 解，得 ‎ ‎ （2）设他当月要卖服装件．‎ ‎ 则 ‎ ‎ 35 / 35‎ ‎ ‎ ‎ 的最小整数是434 ‎ ‎ 答：他当月至少要卖服装434件． ‎ ‎ （3）设甲、乙、丙服装的单价分别为元、元、元．‎ ‎ 则 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 答：购买甲、乙、丙各一件共需180元．‎ 变式16-1（2019·娄底市期末）某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？‎ ‎【答案】应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支 ‎【详解】‎ 解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，‎ 则有5x+7y+10z=346,y=2z.‎ 易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34, ‎ ‎∴5x+14z+10z=346,5x+24z=346，即 .‎ ‎∵x，y，z均为正整数，346-24z≥0，即0＜z≤14‎ ‎∴z只能取14，9和4.‎ ‎①当z为14时， 。‎ ‎②当z为9时， .‎ ‎③当z为4时，.‎ 综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支 变式16-2（2019·邢台市期中）小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？‎ ‎ 35 / 35‎ ‎【答案】120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔． ‎ ‎【解析】‎ 设钢笔每支元，练习本元，中性笔元，则 ‎ ，‎ ‎①+②得， ‎ 所以，（元），即120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性． ‎ 变式16-3（2019·丹江口市期中）某工程由甲乙两队合做6天完成，厂家需付甲乙两队共16800元；乙丙两队合做10天完成，厂家需付乙丙两队共17000元；甲丙两队合做7．5天完成，厂家需付甲丙两队共15750元.‎ ‎（1）求甲、乙、丙三队每天工钱各多少元？‎ ‎（2）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？‎ ‎（3）若要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？‎ ‎【答案】（1）甲、乙、丙三队每天工钱分别为1600元、12000元和500元；‎ ‎（2）甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要10天、15天、30天；‎ ‎（3）甲队能在规定时间内完工并且花费最少.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设甲、乙、丙三队每天工钱分别为a元，b元，c元，‎ 依题意得，，‎ 解得， ，‎ 答：甲、乙、丙三队每天工钱分别为1600元、12000元和500元；‎ ‎（2）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要x天，y天，z天，‎ ‎ 35 / 35‎ 依题意得， ，‎ 解得， ，‎ 经检验，是原方程组的解.‎ 答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要10天、15天、30天；‎ ‎（3）甲队单独完成需付工钱1600×10=16000（元），‎ 乙队单独完成需付工钱1200×15=18000（元），‎ 丙队不能在规定时间内完工，‎ 因此，甲队能在规定时间内完工并且花费最少.‎ ‎ 35 / 35‎