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  • 2021-10-25 发布

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:解一元一次不等式组(解析版)

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1 / 26 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习: 解一元一次不等式组 知识网络 重难突破 知识点一 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集:一般地,几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做它们所组成的不等式组的 解集。 不等式组解集的确定方法: 2 / 26 【注意】 1.在求不等式组的解集的过程中,通常是利用数轴来确定不等式组的解集。 2.利用数轴表示不等式组解集时,要把几个不等式的解集都表示出来,不能仅画公共部分。 解一元一次不等式组的一般步骤: 1.求出不等式组中各不等式的解集 2.将各不等式的解决在数轴上表示出来。 3.在数轴上找出各不等式解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集。 【考查题型汇总】 考查题型一 求不等式组的解集 典例 1(2019·洛阳市期中)已知关于 x 的不等式 3x﹣m+1>0 的最小整数解为 2,则实数 m 的取值范围是 (  ) A.4≤m<7 B.4<m<7 C.4≤m≤7 D.4<m≤7 【答案】A 【详解】 解:解不等式 3x﹣m+1>0,得:x> , ∵不等式有最小整数解 2, ∴1≤ <2, 解得:4≤m<7, 故选 A. 1 3 m − 1 3 m − 3 / 26 变式 1-1(2020·和平县期中)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解不等式 x+2>0,得:x>-2, 解不等式 2x-4≤0,得:x≤2, 则不等式组的解集为-2<x≤2, 将解集表示在数轴上如下: 故选 C. 变式 1-2(2020·沈阳市期中)下列四个不等式组中,解集在数轴上表示如图所示的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 由解集在数轴上的表示可知,该不等式组为 , 故选 D. 变式 1-3(2019·南通市期中)已知点 P(1﹣a,2a+6)在第四象限,则 a 的取值范围是(  ) A.a<﹣3 B.﹣3<a<1 C.a>﹣3 D.a>1 【答案】A 【详解】 解:∵点 P(1﹣a,2a+6)在第四象限, 2 0 2 4 0 x x + >  − ≤ 2 3 x x ≥  > − 2 3 x x ≤  < − 2 3 x x ≥  < − 2 3 x x ≤  > − 2 3 x x ≤  −  4 / 26 ∴ 解得 a<﹣3. 故选 A. 变式 1-4(2019 长沙市期中)已知三个非负数 a、b、c 满足 若 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D.-1 【答案】B 【详解】 解:联立 ,得 . 由题意知:a,b,c 均是非负数, 则 , 解得 m=3a+b−7c=3(−3+7c)+(7−11c)−7c=−2+3c, 当 时,m 有最小值,即 当 时,m 有最大值,即 故选 B. 考查题型二 解特殊不等式组 典例 2(2019·遂宁市期末)已知 0≤a–b≤1 且 1≤a+b≤4,则 a 的取值范围是( ) A.1≤a≤2 B.2≤a≤3 C. ≤a≤ D. ≤a≤ 【答案】C 【详解】 解:0≤a-b≤1,① 1≤a+b≤4,② ①+②,得 1≤2a≤5, 1 0 2 6 0 a a − >  + < 3 2 5,2 3 1,a b c a b c+ + = + − = 3 7m a b c= + − m 1 11 − 5 7 − 7 8 − 3 2 5 2 3 1 a b c a b c + + =  + − = 3 7 7 11 , a c b c = − +  = − 3 7 0 7 11 0 a c b c = − + ≥  = − ≥ 3 7 7 11c≤ ≤ , 3 7c = 3 52 3 7 7m = − + × = − ; 7 11c = 7 12 3 .11 11m = − + × = − 1 2 5 2 3 2 5 2 5 / 26 解得: ≤a≤ . 故选 C. 变式 2-1(2018·许昌市期末)若关于 x 的不等式组式 的整数解为 x=1 和 x=2,则满足这个不等 式组的整数 a,b 组成的有序数对(a,b)共有( )对 A.0 B.1 C.3 D.2 【答案】D 【详解】 由①得: 由②得: 不等式组的解集为: ∵整数解为为 x=1 和 x=2 ∴ , 解得: , ∴a=1,b=6,5 ∴整数 a、b 组成的有序数对(a,b)共有 2 个 故选 D 变式 2-2(2019·北京市期中)三角形的三个内角分别为 x,y,z,且 , ,则 y 的取值范围是 __________ 【答案】36°≤y≤ 【解析】 ∵三角形的三个内角分别为 x,y,z, ∴x+y+z=180°, ∵ , , ∴ , 1 2 5 2 0 2 0 x a x b − ≥  − < 0 2 0 x a x b − ≥  − < ① ② x a≥ 2 bx < 2 ba x≤ < 0 1a< ≤ 2 32 b< ≤ 0 1a< ≤ 4 6b< ≤ x y z≤ ≤ 3z x= 540 7  x y z≤ ≤ 3z x= 3x y x≤ ≤ 6 / 26 ∴y 最小=x,y 最大=3x, 当 y 最小=x 时,有 x+x+3x=180°,解得:x=36°,此时 y 最小=36°; 当 y 最大=3x 时,有 x+3x+3x=180°,解得:x= ,此时 y 最大= ; ∴y 的取值范围是: . 故答案为: . 考查题型三 求一元一次不等式组的整数解 典例 3(2018·泉州市期中)若关于 x 的不等式 的整数解共有 4 个,则 m 的取值范围是(  ) A.6<m<7 B.6≤m<7 C.6≤m≤7 D.6<m≤7 【答案】D 【详解】 解: 由(1)得,x<m, 由(2)得,x≥3, 故原不等式组的解集为:3≤x<m, ∵不等式的正整数解有 4 个, ∴其整数解应为:3、4、5、6, ∴m 的取值范围是 6<m≤7. 故选:D. 变式 3-1(2019·泉州市期中)不等式组 的最小整数解是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【详解】 , 180 7  540 7  54036 7y≤ ≤   54036 7y≤ ≤   0 7 2 1 x m x − <  − ≤ 0(1) 7 2 1(2) x m x − <  − ≤ 2 2 3 1 4 x x x − ≥ −  − > − 2 2 3 1 4 x x x − ≥ −  − > − ① ② 7 / 26 解不等式①得,x≤2, 解不等式②得,x>-1, 所以不等式组的解集是:-1 + m 8 / 26 A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 解不等式 x−m<0,得:x2(x+1),得:x>3, ∵不等式组无解, ∴m⩽3, 故选:D 变式 4-1(2020·洛阳市期中)关于 x 的不等式组 的解集为 x<3,那么 m 的取值范围为( ) A.m=3 B.m>3 C.m<3 D.m≥3 【答案】D 【详解】 解不等式组得: , ∵不等式组的解集为 x<3 ∴m 的范围为 m≥3, 故选 D. 变式 4-2(2019·安陆市期末)若不等式组 无解,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 解不等式 ,得:x>8, ∵不等式组无解, ∴4m≤8, 解得 m≤2, 故选 A. 3 4m≤ < 3 4m< ≤ 3m < 3m ≤ 3 1 4( 1){ x x x m − > − < 3{x x m < < 1 13 2 4 x x x m + < −  < m 2m ≤ 2m < 2m ≥ 2m > 1 13 2 x x+ < − 9 / 26 变式 4-3(2019·石家庄市期末)不等式组 的解集是 x>1,则 m 的取值范围是(  ) A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≤0 【答案】D 【详解】 解:不等式整理得: ,由不等式组的解集为 x>1,得到 m+1≤1,解得:m≤0. 故选 D. 考查题型五 不等式组与方程组相结合的问题 典例 5(2019·南阳市期末)在关于 x、y 的方程组 中,未知数满足 x≥0,y>0,那么 m 的 取值范围在数轴上应表示为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,解方程组得: , ∵x≥0,y>0, ∴ , ∴-2≤m<3. 故选 C. 变式 5-1(2019·洛阳市期中)已知方程组 的解满足 ,则( ). A. >-1 B. >1 C. <-l D. <1 【答案】C 【详解】 5 5 1 1 x x x m + < +  − > 1 1 x x m >  > + 2 7 2 8 x y m x y m + = +  + = − 2 7 2 8 x y m x y m + = +  + = − ① ② 2 3 x m y m = +  = − 2 0 3 0 m m + ≥  − > 2 1 3 2 1 x y m x y m + = +  + = − x+y<0 m m m m 10 / 26 把方程组 的两式相加,得 3x+3y=2+2m 两边同时除以 3,得 x+y= 所以 <0 即 m<-1.故选 C 变式 5-2(2019·安岳县期中)已知实数 x,y,m 满足 ,且 y 为负数,则 m 的取值 范围是( ) A.m>6 B.m<6 C.m>﹣6 D.m<﹣6 【答案】A 【解析】 根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值,然后根据 y 是负数即可得到一个关于 m 的不等式,从而求得 m 的范围: 根据算术平方根和绝对值的非负数性质,得: ,解得: . ∵y 为负数,∴6﹣m<0,解得:m>6. 故选 A. 变式 5-3(2019·合肥县期中)关于 , 的方程组 的解满足 ,则 的取值范 围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 ①-②,得 2x+3y=3m+6 ∵2x+3y>7 ∴3m+6>7 ∴m> 变式 5-4(2018·合肥市期中)若关于 的二元一次方程组 的解满足 ,则 的 2 1 3 2 1 x y m x y m + = +  + = − 2 2 3 m + 2 2 3 m + x 2 | 3x y m | 0+ + + + = x 2{y 6 m = − = − x y 3 2 4 5 1 x y m x y m + = +  − = − 2 3 7x y+ > m 1 4m < − 0m < 1 3m > 7m > 3 2 4 5 1 x y m x y m + = +  − = − ① ② 1 3 x y、 3 1 3 1 x y a x y + = +  + = 505x y+ < a 11 / 26 取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 两式相加得 , , ∵ x+y<505, ∴ , 解得 . 故选: . 变式 5-5(2018·重庆市期末)关于 的方程 的解为正数,且关于 的不等式组 有解,则符合题意的整数 有(  )个. A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【详解】 ∵关于 x 的方程 的解为正数, ∴2-(x+m)=2(x-2), 解得:x= , 则 6-m>0, 故 m<6, ∵关于 y 的不等式组 有解, ∴m+2≤y≤3m+4, 且 m+2≤3m+4, 解得:m≥-1, 故 m 的取值范围是:-1≤m<6, 2018a > 2018a < 505a > 505a < 4( ) 2x y a+ = + 2 4 ax y ++ = 2 5054 a+ < 2018a < B x 2 22 2 x m x x ++ =− − y ( ) 2 2 2 y m y m m − ≥  − ≤ + m 2 22 2 x m x x ++ =− − 6 3 m- 2 2( 2) y m y m m − ≥  − ≤ + 12 / 26 ∵x-2≠0, ∴x≠2, ∴ , m≠0, 则符合题意的整数 m 有:-1,1,2,3,4,5,共 6 个. 故选 C.. 知识点二 列一元一次不等式(组)解应用题 列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤: (1)审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题中不等关系,要抓住题设中的关键“字眼”, 如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. (2)设:设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式. (4)解:解出所列不等式的解集. (5)验:检验答案是否符合题意. (6)答:写出答案. 在以上步骤中,审题是基础,根据题意找出不等关系是关键,而根据不等关系列出不等式又是解题难 点.以上过程可简单表述为: . 【考查题型汇总】 考查题型六 列一元一次不等式组 典例 6(2019·安陆市期末)如果点 P(2x+6,x-4)在平面直角坐标系的第四象限内,那么 x 的取值范围 在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 由点 P(2x+6,x-4)在平面直角坐标系的第四象限内,得 . 解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分:同 大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了(无解).因此, 6 23 m− ≠ → →分析 求解 抽象 检验问题 不等式 解答 2x 6>0 x 4<0 +  − 13 / 26 . 变式 6-1(2019·青岛市期末)如图,天平右盘中的每个砝码的质量都是 ,则物体 的质量 的取值 范围,在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵由图可知,1g0 x> 3 3 1 5 1 3 x x − <  + > x-1 5 x+1 3 <  > 21 / 26 的解集为( ) A.x≥﹣1 B.x<2 C.﹣1≤x≤2 D.﹣1≤x<2 【答案】D 【解析】 由数轴可知,该不等式组的解集为﹣1≤x<2 ,故选 D. 6.(2018·静宁县期末)若不等式组 3<x≤a 的整数解恰有 4 个,则 a 的取值范围是(  ) A.a>7 B.7<a<8 C.7≤a<8 D.7<a≤8 【答案】C 【详解】 解:不等式组 3<x≤a 的整数解恰有 4 个,则整数解是: 4,5,6,7. 故 7≤a<8. 故选:C. 7.(2018·长沙市期末)不等式组 的解集是(  ) A.1<x<3 B.x>3 C.x>1 D.x<1 【答案】B 【详解】 解不等式①得:x>3, 解不等式②得:x>1,在数轴上表示两个不等式的解集得: , ∴原不等式组的解集为 x>3 故选 B. 8.(2018·大连市期末)把不等式组 的解集表示在数轴上,正确的是( ) A. B. 1 2 1 x x − >  > 22 / 26 C. D. 【答案】D 【详解】 解: 解不等式①得:x>-1, 解不等式②得:x≤1, 所以不等组的解集为:-1<x≤1, 在数轴上表示为: , 故选 D. 9.(2017·无锡市期中)晓明家到学校的路程是 3 500 米,晓明每天早上 7∶30 离家步行去上学,在 8∶10 (含 8∶10)至 8∶20(含 8∶20)之间到达学校。如果设晓明步行的速度为 x 米/分,则晓明步行的速度范 围是(   ) A.70≤x≤87.5 B.x≤70 或 x≥87.5 C.x≤70 D.. x≥87.5 【答案】A 【解析】依题意得:晓明到学校所用的时间为 40 分到 50 分之间,路程为 3500 米,设晓明步行的速度为 x 米/分, ,解得:70≤x≤87.5; 故选 A。 10.(2018·池州市期中)某学校组织员工去公园划船,报名人数不足 50 人,在安排乘船时发现,每只船坐 6 人,剩下 18 人无船可乘;每只船坐 10 人,那么其余的船坐满后,有一只船不空也不满,参加划船的员工 共有(  ) A.48 人 B.45 人 C.44 人 D.42 人 【答案】A 【分析】 假设共安排 x 艘船.根据报名人数不足 50 人,在安排乘船时发现,每只船坐 6 人,就剩下 18 人无船可乘, 3500 3500 50 40x≤ ≤ 23 / 26 则可知划船报名人数是 6x+18 且 6x+18<50; 若每只船坐 10 人,那么其余的船坐满后有一只船不空也不满,则 10(x−1)+1≤6x+18<10x,解得 x 代 入 6x+18 即是划船的员工数. 【详解】 设共安排 x 艘船. 根据题意得 6x+18<50① 10(x−1)+1≤6x+18<10x② 由①得 x< ③ 由②得 < x≤ ④ 由③④得 x=5 划船人数为 48 故选:A. 二、 填空题(共 5 小题) 11.(2018·长沙市期末)已知不等式组 的解集是 2<x<3,则 a+b 的值是_____. 【答案】3 【分析】 根据不等式组的解集即可得出关于 a、b 而愿意方程组,解方程组即可得出 a、b 值,将其代入计算可得. 【详解】 解不等式 x+1<2a,得:x<2a-1, 解不等式 x-b>1,得:x>b+1, 所以不等式组的解集为 b+1<x<2a-1, ∵不等式组的解集为 2<x<3, ∴b+1=2、2a-1=3, 解得:a=2、b=1, ∴a+b=3, 故答案为 3. 12.(2019·北京市期中)在平面直角坐标系中,点(-7+m,2m+1) 在第三象限,则 m 的取值范围是_________. 16 3 9 2 27 4 1 2 1 x a x b + <  − > 24 / 26 【答案】-0.5  < − 3x < m 4m≥ 9 4 1 x x x m + >  < − ① ② 2 0, 3 0 x x − <  − ≥ 2 0, 3 0 x x − <  − ≥ 0 3 x x >  ≤ 25 / 26 15.(2019·济南市期末)不等式组 的解集为__________. 【答案】 【解析】 由①得:x>2, 由②得:x<6, 所以不等式组的解集为 2 − < 2 6x< < 6 2 {1 32 x x x − > − < ① ② 1 2 02 51 12 x x x  + ≥ + − < − − 1 2 02 51 12 x x x  + ≥ + − − − ① < ② 4 1x− ≤ < 26 / 26 17.(2019·济南市期末)某校九年级举行数学竞赛,学校准备购买甲、乙、丙三种笔记本奖励给获奖学生, 已知甲种笔记本单价比乙种笔记本单价高 10 元,丙种笔记本单价是甲种笔记本单价的一半,单价和为 80 元. (1)甲、乙、丙三种笔记本的单价分别是多少元? (2)学校计划拿出不超过 950 元的资金购买三种笔记本 40 本,要求购买丙种笔记本 20 本,甲种笔记本超 过 5 本,有哪几种购买方案? 【答案】(1) 甲种笔记本的单价为 36 元,乙种为 26 元,丙种为 18 元 ;(2)见解析. 【分析】 (1)设甲种笔记本的单价为 x 元,乙种为(x-10)元,丙种为 元,根据“单价和为 80 元”列出方程并解答; (2)设购买甲种笔记本 y 本,根据“不超过 950 元的资金购买三种笔记本 40 本,要求购买丙种笔记本 20 本,甲种笔记本超过 5 本”列出不等式组并解答. 【详解】 解:(1)设甲种笔记本的单价为 x 元,乙种为(x﹣10)元,丙种为 元,根据题意得 x+(x﹣10)+ =80,解得 x=36, 乙种单价为 x﹣10=36﹣10=26 元,丙种为 = =18 元. 答:甲种笔记本的单价为 36 元,乙种为 26 元,丙种为 18 元. (2)设购买甲种笔记本 y 本,由题意得 解得 5<y≤7, 因为 y 是整数, 所以 y=6 或 y=7 则乙种笔记本购买 14 本或 13 本, 所以,方案有 2 种: 方案一:购买甲种笔记本 6 本,乙种笔记本 14 本,丙种笔记本 20 本; 方案二:购买甲种笔记本 7 本,乙种笔记本 13 本,丙种笔记本 20 本. 2 x x 2 x 2 x 2 36 2 36y 26 20 y 18 20 950 y>5 ( )+ − + × ≤  