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- 2021-10-25 发布
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人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:实数
知识网络
重难突破
知识点一 实数的分类
实数概念:有理数和无理数统称为实数
实数的分类:
1.按属性分类: 2.按符号分类
【典型例题】
1.(2020·南阳市期末)给出下列数:,其中无理数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2019·成都市七中育才学校初二期末)下列各数中,(相邻两个3之间2的个数逐次增加1),无理数有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
3.(2020·保定市期末)下列各数中,能化为无限不循环小数的是( )
A. B. C. D.
4.(2020·鼓楼区期末)在 3.14、 、 0、、1.6这 5个数中,无理数的个数有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
5.(2020·郑州市期末)下列各数3.14,,,,2.131 331 333
1…(相邻两个1之间3的个数逐次多1),,,其中无理数的个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.(2020·沈阳市第七中学初二期末)下列说法:①实数和数轴上的点是一一对应的;②无理数是开方开不尽的数;③负数没有立方根;④16的平方根是,用式子表示是.其中错误的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
知识点二 实数和数轴上的点的对应关系(重点):
实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示一个实数.
的画法:画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况:
1.尺规可作的无理数,如
2.尺规不可作的无理数 ,只能近似地表示,如π,1.010010001……
【典型例题】
1.(2020·梅州市期末)下列说法中,不正确的是( )
A.﹣的绝对值是﹣ B.﹣的相反数是﹣
C.的立方根是2 D.﹣3的倒数是﹣
2.(2020·河三门峡市期末)如图,是数轴上的四个点,这四个点中最适合表示的是 ( )
A.点 B.点 C.点 D.点
3.(2020·青岛市期末)如图,在数轴上,两点分别对应实数、,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.(2020·保定市期末)若将,,,四个无理数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是( )
A. B. C. D.
5.(2020·济南市期末)如图,数轴上A,B,C,D四点中,与-对应的点距离最近的是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
6.(2018·永昌县期中)如图,数轴上的A、B、C、D四点中,与数﹣表示的点最接近的是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
知识点三 实数比较大小
实数大小比较的方法(常用):1)平方法2)根号法3)求差法
实数的三个非负性及性质:
1.在实数范围内,正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0;
②任何一个实数a的平方是非负数,即≥0;
③任何非负数的算术平方根是非负数,即≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零;
②非负数之和仍是非负数;
③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0
【典型例题】
1.(2018·大石桥市期中)如图,数轴上的点分别表示数-1,1,2,3,则表示的点应在( )
A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段上
2.(2020·唐山市期末)如图,圆的直径为1个单位长度,圆上的点A与数轴上表示-1的点重合,将该圆沿数轴滚动一周,点A到达的位置,则点表示的数是( )
A. B. C. D.
3.(2020·日照市期末)在实数|﹣3|,﹣2,0,π中,最小的数是( )
A.|﹣3| B.﹣2 C.0 D.π
4.(2020·海口市期中)若m=-3,则m的范围是( )
A.1 < m < 2 B.2 < m < 3 C.3 < m < 4 D.4 < m < 5
5.(2019·玉林市期末)下列实数中,比大的数是( )
A.0 B.4 C. D.
6.(2019·成都市期末)比较2,,的大小,正确的是( )
A. B.
C. D.
7.(2020·余杭区期末)在 ,-82 ,, 四个数中,最大的是( )
A. B.-82 C. D.
8.(2020·湖南雅礼中学初三期末)下列实数:,其中最大的实数是( )
A.-2020 B. C. D.
9.(2020·延边市期末)估计的值在( )
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
10.(2019·温州市期末)下列实数中,介于与之间的是( )
A. B. C. D.
知识点四 实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,又增加了非负数的开平方运算,任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时,有理数的运算法则及性质等同样适用。
实数的运算顺序:
(1)先算乘方和开方;
(2)再算乘除,最后算加;
(3)如果遇到括号,则先进行括号里的运算.
【典型例题】
1.(2020·长沙市期末)如图是一个的方阵,其中每行、每列的两数和相等,则可以是( )
A.-2 B. C.0 D.
2.(2020·吉林前郭县一中初二期末)计算:__________.
3.(2019·重庆巴川中学校初一期中)计算:____.
4.(2019·苏州市期末)化简的结果为_____.
5(2019·齐齐哈尔市期末)(1).
(2).
巩固训练
一、 选择题(共10小题)
1.(2019·石家庄市期中)四个数0,1,中,无理数的是( )
A. B.1 C. D.0
2.(2018·通化市期中)与最接近的整数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(2020·沈阳市期末)计算下列各式,值最小的是( )
A.2×0+1-9 B.2+0×1-9
C.2+0-1×9 D.
4.(2018·天水市期末)下列说法:①带根号的数是无理数;②不含根号的数一定是有理数;③无理数是开方开不尽的数;④无限小数是无理数;⑤π是无理数,其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
5.(2018·万州区期末)3+ 的结果在下列哪两个整数之间( )
A.6和7 B.5和6 C.4和5 D.3和4
6.(2018·新乡市期末)在下列实数中:﹣0.6,,,,,0.010010001……,3.14,无理数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7.(2019·广东深圳实验学校初三期中)在实数,有理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.(2020·烟台市期末)如图,数轴上A,B,C,D四点中,与-对应的点距离最近的是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
9.(2018·余杭区期末)计算+的结果是( )
A. B.0 C.4 D.8
10.(2018·万州区期末)估计2﹣3的值在( )
A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间
二、 填空题(共5小题)
11.(2019·保定市期中)比较实数的大小:3_____(填“>”、“<”或“=”).
12.(2020·南京市期中)写出一个负无理数________.
13.(2019·洛阳市期中)﹣2的绝对值是_____.
14.(2019·哈尔滨市期末)把无理数, , ,-表示在数轴上,在这四个无理数中,被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是_____.
15.(2018·洛阳市期末)已知,且为连续整数,则_______.
一、 解答题(共2小题)
16.(2018·汕头市期末)计算
17.(2018·肃宁县期中)计算:
(1)5+|-2018|-+(-1)2018;
(2)-+|1-|
人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:实数
知识网络
重难突破
知识点一 实数的分类
实数概念:有理数和无理数统称为实数
实数的分类:
1.按属性分类: 2.按符号分类
【典型例题】
1.(2020·南阳市期末)给出下列数:,其中无理数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【详解】
根据无理数的定义:无理数是无限不循环小数,不能表示为两个整数的比.
由此可得,中, 是无理数
故答案为:B.
2.(2019·成都市七中育才学校初二期末)下列各数中,(相邻两个3之间2的个数逐次增加1),无理数有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
【答案】C
【详解】
(相邻两个3之间2的个数逐次增加1)中
只有,2.32232223…(相邻两个3之间的2的个数逐次增加1)共2个是无理数.
故选:C.
3.(2020·保定市期末)下列各数中,能化为无限不循环小数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
解:A.属于无限循环小数;
B. 属于有限小数;
C. 属于无限循环小数;
D.属于无限不循环小数.
故选D.
4.(2020·鼓楼区期末)在 3.14、 、 0、、1.6这 5个数中,无理数的个数有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】A
【详解】
解:在 3.14、 、 0、、1.6这 5个数中,为无理数,共1个.
故选:A.
5.(2020·郑州市期末)下列各数3.14,,,,2.131 331 333 1…(相邻两个1之间3的个数逐次多1),,,其中无理数的个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【详解】
无理数有:,2.131 331 333 1…(相邻两个1之间3的个数逐次多1),,共3个;
故选:B.
6.(2020·沈阳市第七中学初二期末)下列说法:①实数和数轴上的点是一一对应的;②无理数是开方开不尽的数;③负数没有立方根;④16的平方根是,用式子表示是.其中错误的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【详解】
①实数和数轴上的点是一一对应的,正确;
②无理数是开方开不尽的数,错误,无理数是无限不循环小数;
③负数没有立方根,错误,负数有立方根;
④16的平方根是±4,用式子表示是:,故此选项错误。
故选:D.
知识点二 实数和数轴上的点的对应关系(重点):
实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示一个实数.
的画法:画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况:
1.尺规可作的无理数,如
2.尺规不可作的无理数 ,只能近似地表示,如π,1.010010001……
【典型例题】
1.(2020·梅州市期末)下列说法中,不正确的是( )
A.﹣的绝对值是﹣ B.﹣的相反数是﹣
C.的立方根是2 D.﹣3的倒数是﹣
【答案】A
【详解】
解:A、﹣的绝对值不是﹣,故A选项不正确,所以本选项符合题意;
B、﹣的相反数是﹣,正确,所以本选项不符合题意;
C、=8,所以的立方根是2,正确,所以本选项不符合题意;
D、﹣3的倒数是﹣,正确,所以本选项不符合题意.
故选:A.
2.(2020·河三门峡市期末)如图,是数轴上的四个点,这四个点中最适合表示的是 ( )
A.点 B.点 C.点 D.点
【答案】A
【详解】
∵
∴
∴点最适合表示
故答案为:A.
3.(2020·青岛市期末)如图,在数轴上,两点分别对应实数、,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
解:∵由图可知,a<-1<0<b<1,
∴ab<0,故A错误;
a-b<0,故B错误;
a+b<0,故C错误;
,故D正确.
故选:D.
4.(2020·保定市期末)若将,,,四个无理数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
是负数,在原点的左侧,不符合题意;
,所以23,符合题意;
是负数,在原点的左侧,不符合题意;
,即3,在墨迹覆盖处的右边,不符合题意.
故选:B.
5.(2020·济南市期末)如图,数轴上A,B,C,D四点中,与-对应的点距离最近的是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】B
【详解】
解:∵<<,即1<<2,
∴﹣2<<﹣1,
∴由数轴知,与对应的点距离最近的是点B,
故选:B.
6.(2018·永昌县期中)如图,数轴上的A、B、C、D四点中,与数﹣表示的点最接近的是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】B
【详解】
,
,
,
,
因为0.268<0.732<1.268,
所以 表示的点与点B最接近,
故选B.
知识点三 实数比较大小
实数大小比较的方法(常用):1)平方法2)根号法3)求差法
实数的三个非负性及性质:
1.在实数范围内,正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0;
②任何一个实数a的平方是非负数,即≥0;
③任何非负数的算术平方根是非负数,即≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零;
②非负数之和仍是非负数;
③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0
【典型例题】
1.(2018·大石桥市期中)如图,数轴上的点分别表示数-1,1,2,3,则表示的点应在( )
A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段上
【答案】D
【详解】
∵
∴ , 即
∴点P在线段AO上
故选:D
2.(2020·唐山市期末)如图,圆的直径为1个单位长度,圆上的点A与数轴上表示-1的点重合,将该圆沿数轴滚动一周,点A到达的位置,则点表示的数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
∵圆的直径为1个单位长度,
∴此圆的周长=π,
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是-π-1;
当圆向右滚动时点A′表示的数是π-1.
故选:D.
3.(2020·日照市期末)在实数|﹣3|,﹣2,0,π中,最小的数是( )
A.|﹣3| B.﹣2 C.0 D.π
【答案】B
【详解】
在实数|-3|,-2,0,π中,
|-3|=3,则-2<0<|-3|<π,
故最小的数是:-2.
故选B.
4.(2020·海口市期中)若m=-3,则m的范围是( )
A.1 < m < 2 B.2 < m < 3 C.3 < m < 4 D.4 < m < 5
【答案】B
【详解】
解:∵<<
即5<<6
∴5-3<-3<6-3
∴2<m<3
故选B.
5.(2019·玉林市期末)下列实数中,比大的数是( )
A.0 B.4 C. D.
【答案】C
【详解】
由题意得:,∴排除A、B选项,
∵,∴,
故,
故选:C.
6.(2019·成都市期末)比较2,,的大小,正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
解:∵26=64,,,而49<64<125
∴
∴
故选C.
7.(2020·余杭区期末)在 ,-82 ,, 四个数中,最大的是( )
A. B.-82 C. D.
【答案】C
【详解】
解:∵ ,
∴ ,
故答案为:C.
8.(2020·湖南雅礼中学初三期末)下列实数:,其中最大的实数是( )
A.-2020 B. C. D.
【答案】C
【详解】
∵=-2020,=-2020,=2020,=,
∴,
故选C.
9.(2020·延边市期末)估计的值在( )
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
【答案】B
【详解】
∵4 < 6 < 9 ,
∴,即,
∴,
故选B.
10.(2019·温州市期末)下列实数中,介于与之间的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
解:由已知0.67,1.5,
∵因为,,,>3
∴介于与之间
故选:A.
知识点四 实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,又增加了非负数的开平方运算,任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时,有理数的运算法则及性质等同样适用。
实数的运算顺序:
(1)先算乘方和开方;
(2)再算乘除,最后算加;
(3)如果遇到括号,则先进行括号里的运算.
【典型例题】
1.(2020·长沙市期末)如图是一个的方阵,其中每行、每列的两数和相等,则可以是( )
A.-2 B. C.0 D.
【答案】B
【详解】
解:由题意可得:a+|-2|=
则a+2=3,
解得:a=1,
故a可以是.
故选:B.
2.(2020·吉林前郭县一中初二期末)计算:__________.
【答案】2020
【详解】
原式=1+2019=2020.
故答案为:2020.
3.(2019·重庆巴川中学校初一期中)计算:____.
【答案】3
【详解】
解:原式=,
故答案为:3.
4.(2019·苏州市期末)化简的结果为_____.
【答案】
【详解】
原式=2+-1+2=
故答案为
5(2019·齐齐哈尔市期末)(1).
(2).
【答案】(1)原式;(2)原式.
【详解】
解:(1)
=
=
(2)
=
=
巩固训练
一、 选择题(共10小题)
1.(2019·石家庄市期中)四个数0,1,中,无理数的是( )
A. B.1 C. D.0
【答案】A
【详解】
0,1,是有理数,是无理数,
故选A.
2.(2018·通化市期中)与最接近的整数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】
试题分析:由可得,又因4比9更接近5,所以更接近整数3.故答案选B.
3.(2020·沈阳市期末)计算下列各式,值最小的是( )
A.2×0+1-9 B.2+0×1-9
C.2+0-1×9 D.
【答案】A
【详解】
根据实数的运算法则可得:A正确,故选A.
4.(2018·天水市期末)下列说法:①带根号的数是无理数;②不含根号的数一定是有理数;③无理数是开方开不尽的数;④无限小数是无理数;⑤π是无理数,其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】D
【解析】
∵ 带根号,但是有理数,故①不正确;
∵π不带根号,但π不是有理数,是无理数,故②不正确;
∵无限小数中的无限不循环小数是无理数,故③不正确;
∵π是无限不循环小数,∴π是无理数,故④正确;
故选D.
5.(2018·万州区期末)3+ 的结果在下列哪两个整数之间( )
A.6和7 B.5和6 C.4和5 D.3和4
【答案】A
【详解】
解:∵3<<4,
∴6<3+ <7,
故选:A.
6.(2018·新乡市期末)在下列实数中:﹣0.6,,,,,0.010010001……,3.14,无理数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【详解】
有理数有﹣0.6,,,3.14.无理数有,,0.010010001…….
7.(2019·广东深圳实验学校初三期中)在实数,有理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】
试题分析:根据有理数是有限小数或无限循环小数,可得答案:
是有理数,故选D.
考点:有理数.
8.(2020·烟台市期末)如图,数轴上A,B,C,D四点中,与-对应的点距离最近的是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】B
【详解】
解:∵<<,即1<<2,
∴﹣2<<﹣1,
∴由数轴知,与对应的点距离最近的是点B,
故选:B.
9.(2018·余杭区期末)计算+的结果是( )
A. B.0 C.4 D.8
【答案】B
【详解】
解:原式=-4+4=0,
故选:B.
10.(2018·万州区期末)估计2﹣3的值在( )
A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间
【答案】B
【详解】
解:∵,
∴4<<5,
∴1<2﹣3<2.
故选:B.
一、 填空题(共5小题)
11.(2019·保定市期中)比较实数的大小:3_____(填“>”、“<”或“=”).
【答案】>
【详解】
将3化成,因为9>5,所以3大于.
12.(2020·南京市期中)写出一个负无理数________.
【答案】(答案不唯一,符合要求即可).
【解析】
试题分析:无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有的数.
答案不唯一,如.
13.(2019·洛阳市期中)﹣2的绝对值是_____.
【答案】2﹣
【详解】
解:=2﹣.
故答案为:2﹣.
14.(2019·哈尔滨市期末)把无理数, , ,-表示在数轴上,在这四个无理数中,被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是_____.
【答案】
【解析】
∵,,,且被墨迹覆盖的数在3至4之间,
∴上述四个数中被墨迹覆盖的数是.
故答案为:.
15.(2018·洛阳市期末)已知,且为连续整数,则_______.
【答案】5
【详解】
∵8<25<27,
∴2<<3,
∴a=2,b=3,
则a+b=5.
故答案为5.
一、 解答题(共2小题)
16.(2018·汕头市期末)计算
【答案】;.
【详解】
解:原式;
原式.
17.(2018·肃宁县期中)计算:
(1)5+|-2018|-+(-1)2018;
(2)-+|1-|
【答案】(1)2022;(2)9+.
【详解】
解:(1)5+|-2018|-+(-1)2018
=5+2018-2+1
=2022;
(2)-+|1-|
=7+3+-1=9+.
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