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  • 2021-10-25 发布

2020-2021初二数学上册同步练习:角平分线的性质

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专题 12.3 角平分线的性质 典例体系 一、知识点 1.角的平分线的作法; 2.角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等; 3.证明一个几何中的命题,一般步骤: ①明确命题中的已知和求证; ②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; ③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程; 4.性质定理的逆定理:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上; 二、考点点拨与训练 考点 1:角平分线性质定理及其应用 典例:(2020·河北省初二期末)如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的点(不与点 B,C 重合),连结 AD (1)如图 1,当点 D 是 BC 边上的中点时,则 S△ABD:S△ACD=_________(直接写出答案) (2)如图 2,当 AD 是∠BAC 的平分线时,若 AB=m,AC=n,S△ABD:S△ACD=_________ (用含 m,n 的代数式 表示). (3)如图 3,AD 平分∠BAC,延长 AD 到 E,使得 AD=DE,连结 BE,如果 AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC 的面积. 【答案】(1)1:1;( 2)m∶n;( 3)9 【解析】 解:(1)过 A 作 AE⊥BC 于 E, ∵点 D 是 BC 边上的中点, ∴BD=DC, ∴SABD:S△ACD=( 1 2 ×BD×AE):( ×CD×AE)=1:1, 故答案为:1:1; (2)过 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F, ∵AD 为∠BAC 的角平分线, ∴DE=DF, ∵AB=m,AC=n, ∴SABD:S△ACD=( ×AB×DE):( ×AC×DF)=m:n; (3)∵AD=DE, ∴由(1)知:S△ABD:S△EBD=1:1, ∵S△BDE=6, ∴S△ABD=6, ∵AC=2,AB=4,AD 平分∠CAB, ∴由(2)知:S△ABD:S△ACD=AB:AC=4:2=2:1, ∴S△ACD=3, ∴S△ABC=3+6=9, 故答案为:9. 方法或规律点拨 本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式,能根据(1)( 2)得出规律是解此题的关键. 巩固练习 1.( 2019·广东省深圳外国语学校初一期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AD 平分 ∠CAB 交 BC 于 D 点,E,F 分别是 AD,AC 上的动点,则 CE+EF 的最小值为( ) A. 15 2 B. 20 3 C.3 D. 12 5 【答案】D 【解析】解:在 AB 上取一点 G,使 AG=AF ∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4 ∴AB=5, ∵∠CAD=∠BAD,AE=AE ∴△AEF≌△AEG(SAS) ∴FE=FG ∴CE+EF=CE+EG 则最小值时 CG 垂直 AB 时,CG 的长度 CG= 故选 D. 2.( 2020·山东省济南外国语学校初二期中)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为用 A、 B.下列结论中不一定成立的是( ) A.PA=PE B.PO 平分∠APB C.AB 垂直平分 OP D.OA=OB 【答案】C 【解析】解:∵OP 平分 A O B , P A O A , P B O B ∴ PA PB ,选项 A 正确; 在 Rt△AOP 和 Rt△BOP 中, P O P O P A P B    , ∴Rt△AOP  Rt△BOP ∴ APOBPO  ,OA=OB,选项 D 正确; ∴PO 平分∠APB,选项 B 正确; 由等腰三角形三线合一的性质,OP 垂直平分 AB,AB 不一定垂直平分 OP,选项 C 错误. 故选:C. 3.( 2020·辽宁省初三其他)如图,在 RtABC 中, 90C ,以顶点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分 别交 AC , AB 于点 M , N ,再分别以点 , 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P , 作射线 AP 交边 BC 于点 D ,若 4CD  , 15AB  ,则 ABD 的面积是 ( ) A.15 B.30 C.45 D.60 【答案】B 【解析】解:作 DE⊥AB 于 E, 由基本尺规作图可知,AD 是△ABC 的角平分线, ∵∠C=90°,DE⊥AB, ∴DE=CD=4, ∴△ABD 的面积= 1 2 AB×DE= ×15×4=30, 故选:B. 4.( 2020·南通市八一中学初一月考)如图,a、b、c 三条公路的位置相交成三角形,现决定在三条公路之 间建一购物超市,使超市到三条公路的距离相等,则超市应建在( ) A.三角形两边高线的交点处 B.三角形两边中线的交点处 C.∠α 的平分线上 D.∠α 和∠β 的平分线的交点处 【答案】D 【解析】∵如图,要建一超市到 a、b、c 三条公路的距离相等, ∴该超市是△ABC 的内心, ∴超市应该建在∠α 和∠β 的平分线的交点处. 故选:D. 5.( 2020·河南省初三二模)如图,在 RtABC 中, 90B ∠ ,以点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别 交 ABAC、 于点 ,DE,再分别以点 DE、 为圆心,大于 1 2 DE 为半径画弧,两弧交于点 F ,作射线 AF 交 边 BC 于点 1, 4BG AC,则 ACG 的面积是( ) A.1 B. 3 2 C. 2 D. 5 2 【答案】C 【解析】解:由作法得 AG 平分 BAC , G 点到 AC 的距离等于 BG 的长,即 G 点到 的距离为1, 所以 A C G 的面积 1 4 1 22    . 故选:C. 6.( 2020·黑龙江省初二期末)如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE⊥AB 于点 D,如 果 AC=3cm,那么 AE+DE 等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 【答案】B 【解析】解:∵△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE⊥AB 于点 D, ∴EC=DE, ∴AE+DE=AE+EC=3cm. 故选:B. 7.( 2019·内蒙古自治区初二期中)如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG,△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39,则△EDF 的面积为( ) A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 【答案】B 【解析】作 DM=DE 交 AC 于 M,作 DN⊥AC, ∵DE=DG, ∴DM=DE, ∵AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB, ∴DE=DN, ∴△DEF≌△DNM, ∵△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39, ∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11, S△DNM=S△DEF= S△MDG= 1 112  =5.5 8.( 2019·陕西省交大附中分校初一期末)如图,在△ABC 中,E 为 AC 的中点,AD 平分∠BAC,BA:CA=2: 3,AD 与 BE 相交于点 O,若△OAE 的面积比△BOD 的面积大 1,则△ABC 的面积是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【解析】解:作 DM⊥AC 于 M,DN⊥AB 于 N. ∵AD 平分∠BAC,DM⊥AC 于 M,DN⊥AB 于 N, ∴DM=DN, ∴S△ABD:S△ADC=BD:DC= 1 2 •AB•DN: •AC•DM=AB:AC=2:3, 设△ABC 的面积为 S.则 S△ADC= 3 5 S,S△BEC= 1 2 S, ∵△OAE 的面积比△BOD 的面积大 1, ∴△ADC 的面积比△BEC 的面积大 1, ∴ 3 5 S- 1 2 S=1, ∴S=10, 故选 C. 9.( 2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,BC=8,AC=6.点 I 为△ABC 三条角平分线的交点,则点 I 到边 AB 的距离为__________ 【答案】2 【解析】∵在△ABC 中,∠C=90°,BC=8,CA=6,AB=10, ∵点 I 为△ABC 的三条角平分线的交点, ∴IE=IF=ID, 设 IE=x, ∵S△ABC=S△IAB+S△IAC+S△ICB, ∴ 1 2 ×6×8= IF×10+ IE×6+ ID×8, ∴5x+3x+4x=24, ∴x=2, ∴点 I 到 AB 的距离等于 2. 故答案为:2. 10.( 2019·湖北省初二期中)如图,∠B=∠C=90°,DM 平分∠ADC,AM 平分∠DAB,CB=8,则点 M 到 BC 的距离_______. 【答案】4 【解析】如图,过点 M 作 ME⊥AD 于 E, ∵AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC,∠B=∠C=90°, ∴BM=ME,CM=EM, ∴BM=CM, ∵BC=8, ∴ 1 842BM  , ∴ME=4, 即点 M 到 AD 的距离为 4. 故答案为:4. 11.( 2020·上饶市广信区第七中学初二月考)如图, ABC 的三边 ABBCCA、 、 的长分别为 405060、 、 , 其三条角平分线交于点 O ,则 ::ABO BCO CAOS S S =______. 【答案】 4:5: 6 【解析】解:过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,作 OE⊥AC 于点 E,作 OF⊥BC 于点 F, ∵OA,OB,OC 是△ABC 的三条角平分线, ∴OD=OE=OF, ∵△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60, ∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=( 1 2 AB•OD):( BC•OF):( AC•OE) =AB:BC:AC=40:50:60= 4:5: 6 . 故答案为: . 12.( 2019·眉山东辰国际学校初一期末)如图,BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于 E,DF⊥BC 于 F,AB=6,BC =8.若 S△ABC=21,则 DE=________. 【答案】3 【解析】∵BD 平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DE=DF, ∵S△ABC=21,AB=6,BC=8, ∴ 1 2 ×6×DE+ ×8×DF=21, 即 7DE=21, ∴DE=3. 故答案为:3. 13.( 2019·深圳市明德外语实验学校初二期中)如图:在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于 E,F 在 AC 上,BD=DF. (1)求证:CF=EB. (2)若 AF=2,EB=1,求 AB 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)4 【解析】(1)证明:∵ AD 是∠BAC 的平分线,∠C=90°,DE⊥AB, ∴ DC=DE, ∵ BD=DF, ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL), ∴CF=EB; (2)由(1)知 CF=EB=1, ∴AC=AF+FC=3, 又∵∠C=∠AED=90°,∠CAD=∠EAD,AD=AD, ∴△ACD≌△AED(AAS) ∴AC=AE=3, ∴AB=AE+EB=3+1=4. 14.( 2020·凌海市石山镇初级中学初一月考)已知OM 是 AOB 的平分线,点 P 是射线 上一点,点 C、 D 分别在射线OA 、OB 上,连接 PC、PD. (1)发现问题 如图①,当 PC OA , P D O B 时,则 PC 与 PD 的数量关系是________. (2)探究问题 如图②,点 C、D 在射线 OA、OB 上滑动,且∠AOB=90°,∠OCP+∠ODP=180°,当 P C P D 时,PC 与 PD 在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由. 【答案】(1)PC=PD;( 2)PC=PD 仍然成立.理由见解析. 【解析】解:(1)∵OM 是∠AOB 的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB, ∴PC=PD, 故答案为:PC=PD; (2)PC=PD 仍然成立.理由如下: 过 P 分别作 PE⊥OB 于 E,PF⊥OA 于 F, ∴∠CFP=∠DEP=90°, ∵OM 是∠AOB 的平分线,∴PE=PF. ∵∠OCP+∠ODP=180°,又∠ODP+∠PDE=180°, ∴∠OCP=∠PDE,即∠FCP=∠PDE, 在△CFP 和△DEP 中, CFP DEP FCP PDE PF PE         , ∴△CFP≌△DEP(AAS), ∴PC=PD. 考点 2:角平分线性质定理的逆定理及其应用 典例:(2020·四川省初二期中)如图,在△ABC 中,∠BAC 的平分线与 BC 的中垂线 DE 交于点 E,过点 E 作 AC 边的垂线,垂足为 N,过点 E 作 AB 延长线的垂线,垂足为 M. (1)求证:BM=CN; (2)若,AB=2,AC=8,求 BM 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)3. 【解析】证明:连接 BE,CE,如图, ∴DE 是 BC 的垂直平分线, ∴BE=CE, ∵AE 是∠BAC 的平分线,EM⊥AB,EN⊥AC, ∴EM=EN, 在 Rt△BME 和 Rt△CNE 中, {퐵퐸=퐶퐸 퐸푀=퐸푁 , ∴Rt△BME≌Rt△CNE(HL), ∴BM=CN (2)由(1)得:EM=EN, 在 Rt△AME 和 Rt△ANE 中, {퐴퐸=퐴퐸 퐸푀=퐸푁 , ∴Rt△AME≌Rt△ANE(HL), ∴AM=AN,又∵AM= AB+BM, AN= AC-CN ∴AB+BM=AC-CN ∴2+ BM=8-CN, 又∵BM=CN ∴BM=CN =3 方法或规律点拨 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质,解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用. 巩固练习 1.( 2020·福州四十中金山分校初二月考)小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全 相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线 OB,另一把直尺压住射线 OA 并 且与第一把直尺交于点 P,小明说:“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线.”他这样做的依据是( ) A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.以上均不正确 【答案】A 【解析】如图所示:过两把直尺的交点 C 作 CF⊥BO 与点 F,由题意得 CE⊥AO, ∵两把完全相同的长方形直尺, ∴CE=CF, ∴OP 平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上), 故选 A. 2.( 2020·湖北省中考真题)如图,已知 ABC 和 ADE 都是等腰三角形, 90BACDAE , ,B D C E 交于点 F,连接 AF ,下列结论:① B D C E ;② B F C F ;③ 平分 CAD ;④ 45AFE   .其 中正确结论的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 【解析】解:∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD 和△CAE 中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确; ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠BGA=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确; 分别过 A 作 AM⊥BD、AN⊥CE 垂足分别为 M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ 11 22BDAMCEAN ∵BD=CE ∴AM=AN ∴ AF 平分∠BFE,无法证明 AF 平分∠CAD. 故③错误; ∵ 平分∠BFE, BFCF ∴ 45AFE   故④正确. 故答案为 C. 3.( 2020·四川省正兴中学初二二模)已知,如图, ABC 中, 90C   ,点 O 为 的三条角平分 线的交点,OD 垂直 BC ,O E A C ,O F A B ,点 D 、E 、F 分别是垂足,且 1 0 c mAB  , 8 c mBC  , 6 c mCA  ,则 OF  __________. 【答案】2cm 【解析】解:连接 OA 、 OB 、 OC ,如图, 点 为 ABC 的三条角平分线的交点, 垂直 , , , ODOEOF , 设 O F x ,则ODOEx, AOCBOCAOBACBSSSS  ,  1 1 1 16 8 10 6 82 2 2 2x x x     ,解得 2x  , 即 OF 的长为 2cm . 故答案为: . 4.( 2020·甘肃省平川区四中初二期中)如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,点 D 为斜边 BC 上一点,且 BD=BA, 过点 D 作 BC 的垂线交 AC 于点 E.求证:点 E 在∠ABC 的角平分线上. 【答案】证明见解析. 【解析】证明:连接 BE, ∵ED⊥BC, ∴∠BDE=∠A=90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△DBE 中 ∵ B E B E{B A B D = = , ∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL). ∴∠ABE=∠DBE. ∴点 E 在∠ABC 的角平分线上. 5.( 2020·甘州区南关学校初二月考)如图,已知 AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F,且 BC=CD. (1)求证:△BCE≌△DCF; (2)求证:AB+AD=2AE. 【答案】详见解析 【解析】(1)证明:∵AC 是角平分线,CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F, ∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°, 在 Rt△BCE 和 Rt△DCF 中, BC DC CE CF    ∴△BCE≌△DCF; (2)解:∵CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F, ∴∠F=∠CEA=90°, 在 Rt△FAC 和 Rt△EAC 中, AC AC CE CF    , ∴Rt△FAC≌Rt△EAC, ∴AF=AE, ∵△BCE≌△DCF, ∴BE=DF, ∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE. 6.( 2019·云龙县第三中学初二期中)如图,BE⊥AC、CF⊥AB 于点 E、F,BE 与 CF 交于点 D,DE=DF, 连接 AD. 求证:(1)∠FAD=∠EAD; (2)BD=CD. 【答案】(1)证明见解析;证明见解析. 【解析】证明:(1)∵BE⊥AC、CF⊥AB,DE=DF, ∴AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠FAD=∠EAD; (2)∵△ADF 与△ADE 是直角三角形,DE=DF,AD=AD, ∴Rt△ADF≌Rt△ADE, ∴∠ADF=∠ADE, ∵∠BDF=∠CDE, ∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE, 即∠ADB=∠ADC, 在△ABD≌△ACD 中, { FAD EAD AD AD ADB ADC        , ∴△ABD≌△ACD, ∴BD=CD. 7.( 2018·江苏省初二期中)已知:如图 BAC 中, B F A C , C E A B ,垂足分别为 F、E,BF 交 CE 于点 D, B D C D ,求证:D 点在 的平分线上. 【答案】证明见解析 【解析】 证明:连接 AD, ∵ , , ∴∠BED=∠CFD=90°, 在△BDE 与△CDF 中, BED CFD BDE CDF BD CD         , ∴△BDE≌△CDF(AAS), ∴DE=DF, ∴AD 是∠BAC 的角平分线, ∴D 点在 的平分线上. 考点 3:与角平分线有关的尺规作图 典例:(2020·河北省中考真题)如图 1,已知 ABC ,用尺规作它的角平分线. 如图 2,步骤如下, 第一步:以 B 为圆心,以 a 为半径画弧,分别交射线 BA , BC 于点 D , E ; 第二步:分别以 D , E 为圆心,以 b 为半径画弧,两弧在 ABC 内部交于点 P ; 第三步:画射线 BP .射线 即为所求. 下列正确的是( ) A. a , 均无限制 B. 0a  , 1 2b D E 的长 C. 有最小限制, 无限制 D. 0a  , 1 2b DE 的长 【答案】B 【解析】第一步:以 B 为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线 BA , BC 于点 , ; ∴ 0a  ; 第二步:分别以 , 为圆心,大于 1 2 DE 的长为半径画弧,两弧在 内部交于点 ; ∴ 1 2b DE 的长; 第三步:画射线 .射线 即为所求. 综上,答案为: ; 的长, 故选:B. 方法或规律点拨 本题主要考查了基本作图,解决问题的关键是掌握作角平分线的方法. 巩固练习 1.( 2020·广西壮族自治区初三其他)如图尺规作业, OC 为 AOB 的平分线,这样的作法依据是( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】连接 CE、CD, 在△OEC 和△ODC 中, CE CD OC OC OE OD      , ∴△OEC≌△ODC(SSS), 故选:A. 2.( 2020·河南省初二月考)如图,△ABC 中,点 E,F,G 分别在 BC,AC,AB 上,AE 与 BF 交于点 O, 且点 O 在 CG 上,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是( ) A.AE,BF 是△ABC 的角平分线 B.点 O 到△ABC 三边的距离相等 C.CG 也是△ABC 的一条角平分线 D.AO=BO=CO 【答案】D 【解析】A、由尺规作图的痕迹可知:AE、BF 是△ABC 的内角平分线,正确; B、因为角平分线的点到角两边的距离相等得:点 O 到△ABC 三边的距离相等,正确; C、根据三角形三条角平分线交于一点,且点 O 在 CG 上,所以 CG 也是△ABC 的一条内角平分线,正确 D、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等,所以选项 D 不正确; 故选 D. 3.( 2020·新疆维吾尔自治区初三其他)如图,在 AOB 中,尺规作图如下:在射线 OA 、 OB 上,分别截 取 OD 、OE ,使ODOE ;分别以点 D 和点 E 为圆心、大于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧相交于点 C ; 作射线 OC ,连结CE 、CD .下列结论不一定...成立的是( ) A. O E E C B. C E C D C. O E C O D C   D. E C O D C O   【答案】A 【解析】解:根据题意,得:OE=OD,CE=CD,OC=OC,∴△OEC≌△ODC(SSS), ∴ , ,∴B、C、D 三项是正确的,而 不一定成立. 故选 :A. 4.( 2020·广东省仙田外国语学校初一期中)如图所示,已知∠AOB=40°,现按照以下步骤作图: ①在 OA,OB 上分别截取线段 OD,OE,使 OD=OE; ②分别以 D,E 为圆心,以大于 1 2 DE 的长为半径画弧,在∠AOB 内两弧交于点 C; ③作射线 OC. 则∠AOC 的大小为_________. 【答案】20°. 【解析】根据画图的方法可知:OC 是∠AOB 的角平分线, ∴∠AOC=40°÷2=20°. 故答案是:20°. 5.( 2020·内蒙古自治区初二期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以点 A 为圆心,任意长为半径画弧, 分别交 AC、AB 于点 M、N,再分别以 M、N 为圆心,任意长为半径画弧,两弧交于点 O,作射线 AO 交 BC 于点 D,若 CD=3,P 为 AB 上一动点,则 PD 的最小值为_____. 【答案】3 【解析】根据作图的过程可知,AD 是∠BAC 的平分线. 根据角平分线上的点到角的两边距离相等,又因为点到直线的距离,垂线段最短可得 PD 最小=CD=3. 故答案为:3. 6.( 2020·湖南省中考真题)人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角的平分线的方 法: 已知: A O B 求作: 的平分线 做法:(1)以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于点 M,交 OB 于点 N, (2)分别以点 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧在 的内部相交于点 C (3)画射线 OC,射线 OC 即为所求. 请你根据提供的材料完成下面问题: (1)这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号). ① SSS ② SAS ③ AAS ④ ASA (2)请你证明 OC 为 的平分线. 【答案】(1)①;( 2)证明见解析 【解析】(1)根据作图的过程知道:OM=ON,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定理 SSS 可以 证得△EOC≌△DOC,从而得到 OC 为 的平分线; 故答案为:①; (2)如图, 连接 MC、NC. 根据作图的过程知, 在△MOC 与△NOC 中, O M O N O C O C CM CN    = = = , ∴△MOC≌△NOC(SSS), ∠AOC=∠BOC, ∴OC 为 A O B 的平分线. 7.( 2020·云南省初三二模)如图所示,在△ABC 中,按以下步骤作图:①以点 B 为圆心,任意长为半径作 弧,分别交 BA、BC 于点 M、N;再以点 N 为圆心,MN 长为半径作弧交前面的弧于点 F,作射线 BF 交 AC 的延长线于点 E. ②以点 B 为圆心,BA 长为半径作弧交 BE 于点 D,连接 CD. 请你观察图形,解答下列问题: (1)求证:△ABC≌△DBC; (2)若∠A=100°,∠E=50°,求∠ACB 的度数. 【答案】(1)见解析;(2)∠ACB=65°. 【解析】(1)如图所示,连接 MN,NF, 由作图可得,BM=BF,MN=FN,BN=BN, ∴△BMN≌△BFN(SSS), ∴∠ABC=∠DBC, 又∵AB=DB,BC=BC, ∴△ABC≌△DBC(SAS); (2)∵∠A=100°,∠E=50°, ∴∠ABE=30°, ∴∠ABC= 1 2 ∠ABD=15°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-100°-15°=65°. 8.( 2019·广西壮族自治区初一期末)如图,平面内有 A , B , C , D 四点,请按要求完成: (1)尺规作图:连接 AB ,作射线CD ,交 于点 E ,作射线 EF 平分 CEB .须保留作图痕迹,且用 黑色笔将作图痕迹描黑,不写作法和证明. (2)在(1)的条件下,若 100AEC ,求 CEF 的度数. 【答案】(1)作图见解析;(2) 40 .CEF   【解析】解:(1)作线段 ,作射线 , 如图,即为所做图形; (2) 100AEC   ,射线 EF 平分 C E B , 11(180)(180100)22CEFAEC    40 9.( 2020·佛山市南海外国语学校初三月考)如图,已知在 ABC 中,点 D 在边 AC 上,且 AB AD . (1)用尺规作图法,作 BAC 的平分线 AP ,交 BC 于点 P ;(保留作图痕迹,不要求写作法) (2)在(1)的条件下,连接 PD .求证: PDPB . 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】(1)如图,射线 AP 为所求作的图形; (2)∵CP 是∠ACB 的平分线,如图: ∴∠1=∠2, 在△ABP 和△ADP 中, 12 AB AD AP AP        , ∴△ABP  △ADP(SAS), ∴PD=PB.