2020-2021初二数学上册同步练习：多边形及其内角和 20页

专题 11.3 多边形及其内角和 典例体系 一、知识点 1、 n 边形的内角和=  2180  n ； 2、 边形的外角和= 360 。 3、一个 边形的对角线有   2 3nn 条，过 边形一个顶点能作出 3n 条对角线，把 边形分成了 2n 个三角形。 4、各角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形，边数为 n 的正多边形，也叫作正 n 边形. 5、多边形的镶嵌（密铺）问题. 二、考点点拨与训练 考点 1：与多边形内角有关的计算 典例：（2020·安徽省初三三模）如图，在五边形 ABC DE 中， 280ABEEDCBCD  ， 、 的 平分线 D P C P、 相交于 P 点，则 P 的度数是（ ） A． 40 B． 45 C． 50  D． 55 【答案】C 【解析】 ∵五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°，∠A+∠B+∠E=280°， ∴∠BCD+∠CDE=540°一 280°=260°， ∵∠BCD，∠CDE 的平分线在五边形内相交于点 O， ∴∠PDC+∠PCD= 1 2 (∠CDE+∠BCD)=130°， ∴∠P=180°-130°=50°， 故选：C． 方法或规律点拨 本题考查了多边形的内角和，角平分线的性质，求出五边形内角和是解题关键． 巩固练习 1．（2020·福建省初三月考）若一个凸多边形的内角和为 720°，则这个多边形的边数为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】 设这个多边形的边数为 n，由多边形的内角和是 720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解 得 n=6.故选 C. 2．（ 2020·福建省初三二模）已知一个多边形的内角和是540 ，则这个多边形是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】B 【解析】 根据多边形内角和定理，n 边形的内角和公式为  n 2 180，因此， 由  n2180540 得 n=5．故选 B． 3．（ 2020·偃师市实验中学初一月考）如果一个多边形的边数增加 1 倍，它的内角和是 2160°，那么原来的 多边形的边数是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】 设多边形原有边数为 x， 则(2x−2)×180=2160， 2x−2=12，解得 x=7， 故本题选 C. 4．（ 2020·江苏省初一月考）一个多边形的每个内角都等于 135°，则这个多边形的边数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 ∵一个多边形的每个内角都等于 135°， ∴这个多边形的每个外角都等于 180°-135°=45°， ∵多边形的外角和为 360 度， ∴这个多边形的边数为：360÷45=8， 故选 D. 5．（ 2020·北京初三二模）如图，四边形 ABCD中，过点 A 的直线 l 将该四边形分割成两个多边形，若这两 个多边形的内角和分别为  和  ，则 的度数是（ ） A． 360 B． 540 C． 720 D． 900 【答案】B 【解析】 直线 l 将四边形 ABCD 分成两部分，左边为四边形，其内角和为   360°，右边为三角形，其内角和为   180°，因此 360180540  故选：B． 6．（ 2019·河南省初一期末）下列选项可能是多边形的内角和的是( ) A．580° B．1240° C．1080° D．2010° 【答案】C 【解析】 解：判断哪个度数可能是多边形的内角和，看它是否能被 180°整除． 580÷180=3...40， 1240÷180=6...160， 1080÷180=6， 2010÷180=11...30， 只有 1080°能被 180°整除． 故选：C． 7．（ 2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）一个多边形的每个内角都是 120°，这个多边形是( ) A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【答案】B 【解析】 解：外角是 180°-120°=60°， 360÷60=6，则这个多边形是六边形． 故选：B． 8．（ 2020·江苏省初一月考）一个正多边形的每个内角度数均为 135°，则它的边数为____． 【答案】8 【解析】 设该正多边形的边数为 n 由题意得： ( 2) 180?n n  =135° 解得：n=8 故答案为 8. 考点 2：与多边形外角有关的计算 典例：（2020·陕西省初二期末）如果一个多边形的内角和与外角和之比是 13：2，求这个多边形的边数． 【答案】15. 【解析】 解：设这个多边形的边数为 n ，依题意得： 13(2) 180360 2n   ， 解得 15n  ，  这个多边形的边数为 15． 方法或规律点拨 考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于 360 度． 巩固练习 1．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是（ ） A．八 B．九 C．十 D．十一 【答案】B 【解析】 根据题意，得： （n-2）•180°=3×360°+180°， 解得：n=9， 则这个多边形的边数是 9． 故选 B． 2．（ 2020·福建省初一期末）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（ ） A．增加 180° B．不变 C．增加 360° D．减少 180° 【答案】B 【解析】 根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于 360º，与边数多少无关， 故选 B. 3．（ 2020·广东省初三一模）已知一个正多边形的每个外角都等于 72°，则这个正多边形是( ) A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】A 【解析】 这个正多边形的边数：360°÷72°＝5． 故选 A． 4．（ 2020·江苏省初一月考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】 解：设多边形的边数为 n． 根据题意得：（n-2）×180°=360°， 解得：n=4． 故选：B． 5．（ 2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）正十边形的外角和为（ ） A．180° B．360° C．720° D．1440° 【答案】B 【解析】 解：因为任意多边形的外角和都等于 360°， 所以正十边形的外角和等于 360°，． 故选：B． 6．（ 2020·重庆西南大学附中初三月考）一个正多边形的外角为 45°，则这个正多边形的内角和是（ ） A．540° B．720° C．900° D．1080° 【答案】D 【解析】 ∵正多边形的一个外角是 45°， ∴360°÷45°=8 ∴这个正多边形是正八边形 ∴该正多边形的内角和为：180°×（8-2）=1080°. 故答案选：D. 7．（ 2020·陕西省初三一模）已知一个多边形的内角和与外角和之比是 3：2，则这个多边形的边数为____． 【答案】5 【解析】 解：设这个多边形的边数为 n，依题意得： （n−2）180°＝ 3 2 ×360°， 解得：n＝5． 故这个多边形的边数为 5． 故答案为：5． 8．（ 2020·河南省初二期末）如图的七边形 ABCDEFG 中，AB，ED 的延长线相交于 O 点，若图中∠1，∠2， ∠3，∠4 的外角的角度和为 220°，则∠BOD 的度数为何？( ) A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【解析】 解：∵∠1、∠2、∠3、∠4 的外角的角度和为 220°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°， ∵五边形 OAGFE 内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°， 故答案为 A. 考点 3：正多边形的角度计算 典例：（2019·吉林省第二实验学校初三二模）如图，以正六边形 A B C E D F 的边 AB 为直角边作等腰直角三 角形 ABG ，使点 G 在其内部，且 90BAG ，连接 FG ，则 EFGÐ 的大小是__________度． 【答案】45 【解析】 解：在正六边形 ABCDEF 中， ∵∠AFE=∠BAF= (62)180 120,6   ∵∠BAG=90°， ∴∠FAG=120°-90°=30°， 又∵AF=AB=AG， ∴∠AFG=180 30 75 ,2     ∴∠EFG=∠AFE-∠AFG=120°-75°=45°， 故答案为：45． 方法或规律点拨 本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题方法或规律点拨 巩固练习 1．（ 2019·江苏省初一期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为 1 m 的圆形喷水池，则这六个 喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留 π）为（ ） A． 2m B． 2 C． 4 D． n 【答案】B 【解析】 ∵六边形的内角和为： 62180720() ， ∴六个阴影部分所对的圆心角的和为：720°， ∴阴影部分的面积相当于两个圆的面积之和， ∴阴影部分的面积为：2π×12=2π（ 2m ） 故选 B． 2．（ 2018·内蒙古自治区初二期末）有公共顶点 A，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接 AC 交正六边形于点 D，则∠ADE 的度数为（ ） A．144° B．84° C．74° D．54° 【答案】B 【解析】正五边形的内角是∠ABC=  52180 5  =108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ ABE=∠E=  62180 6  =120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°， 故选 B． 3．（ 2020·广东省初三其他）如图，在正六边形 ABCDEF 的外侧，作正方形 EFGH，则 ∠DFH 的度数为____． 【答案】75° 【解析】 观察图形可知，△EFH 是等腰直角三角形，则∠EFH=45°，△DEF 是等腰三角形，∵∠DEF=120°， ∴∠EFD=（180°﹣120°）÷2=30°， ∴∠DFH=45°+30°=75°． 4．（ 2020·陕西省西北工业大学附属中学初三月考）如果一个正多边形的内角和等于 1440  ，那么这个正多 边形的每一个外角的度数为______． 【答案】 36 o 【解析】 正多边形的内角和等于   21801440n  解得： 10n  多边形的外角和为360 ，且正多边形的每一个外角均相等 这个正多边形的每一个外角的度数为 3 6 0 1 0 3 6 故答案是： 5．（ 2020·上海初三二模）我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为 3 的 正多边形的边数为__________ 【答案】8 【解析】 设正多边形的边数为 n， ∵内角和为(2)180n ，外角和为 360°， ∴一个内角度数为 (2)180n n  ，一个外角度数为 360 n ， ∴ = 3603 n ， 解得 n=8， 经检验 n=8 是方程的解且符合题意， 故答案为：8. 6．（ 2020·山东省初三一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 【答案】140°． 【解析】 解：该正九边形内角和  180921260 ， 则每个内角的度数 1260 1409  ． 故答案为：140°． 7．（ 2020·江苏省泰兴市实验初级中学初一期中）如图，在五边形 ABCDE 中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，点 F 在边 AB 上，∠AFE＝45°，则∠AEF 与∠AED 的度数的比值是_______． 【答案】1:4 【解析】 解：设∠AEF=x， ∵∠AFE＝45°， ∴∠A=180°－∠AFE－∠AEF=135°－x ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D=135°－x ∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠AED=180°×（5－2）=540° ∴∠AED=540°－4（135°－x）=4x ∴∠AEF：∠AED=1:4 故答案为：1:4． 8．（ 2020·常州市第二十四中学初一期中）一机器人以 0.3m/s 的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该 机器人从开始到停止所需时间为__s． 【答案】160. 【解析】解：360÷45=8， 则所走的路程是：6×8=48m， 则所用时间是：48÷0.3=160s． 9．（ 2020·江西省石城二中初三其他）两个完全相同的正五边形都有一边在直线 l 上，且有一个公共顶点 O， 其摆放方式如图所示，则∠AOB 等于 ______ 度． 【答案】108 【解析】 ∵五边形是正五边形， ∴每一个内角都是 108°， ∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°， ∴∠COD=36°， ∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°. 故答案为 108 考点 4：多边形对角线问题 典例：（2020·上蔡县思源实验学校初一月考）一个多边形的外角和是它内角和的 1 4 ，求： （1）这个多边形的边数； （2）这个多边形共有多少条对角线． 【答案】（1）边数为 10；（ 2）35 条 【解析】 解：设这个多边形的边数为 n，由题意得： 180(n-2)× =360， 解得：n=10， 答：这个多边形的边数为 10； （2）10×(10-3)÷2=35（条）． 方法或规律点拨 本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对 角线的条数公式． 巩固练习 1．（ 2020·全国初一）下列多边形中，对角线是 5 条的多边形是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】B 【解析】 n 边形对角线条数为 ( 3) 2 nn ∴A. 四边形有 2 条对角线，故错误； B. 五边形有 5 条对角线，正确； C. 六边形有 9 条对角线，故错误； D. 七边形有 14 条对角线，故错误； 故选 B. 2．（2020·全国初一）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ） A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 【答案】D 【解析】如图 ，或者根据八边形内一点，和任意一边的两端点均可构成三角形，所以可求得三角形的个数为 8. 故选：D． 3．（ 2020·全国初一）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片 的边数不可能是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 如图可知，原来多边形的边数可能是 5，6，7．不可能是 8． 故选： D ． 4．（ 2020·温州外国语学校初二月考）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（ ）条 A．9 条 B．10 条 C．11 条 D．12 条 【答案】A 【解析】 解：从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线的条数是  12 3 9条． 故选：A． 5．（ 2019·北京初三其他）若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有 3 条，则这个多边形的内角和为（ ） A．360° B．540° C．720° D．1080° 【答案】C 【解析】 从一个顶点出发的对角线共有 3 条 这个多边形是一个六边形 则这个多边形的内角和为180(62)720 故选：C． 6．（ 2019·北京市第四十一中学初二期中）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点， 可以把一个七边形分割成( )个三角形． A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】B 【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成 7-2=5 个三角形． 故选 B． 7．（ 2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为 2100°则这个多边 形的对角线共有（ ） A．104 条 B．90 条 C．77 条 D．65 条 【答案】C 【解析】 解： 2210018011 3 ，则正多边形的边数是 11+2+1=14． ∴这个多边形的对角线共有    314143==7722 nn条． 故选：C． 考点 5：多边形的镶嵌问题 典例：40．（ 2020·长春市第四十七中学初一期中）如图所示的图形中，能够用一个图形镶嵌整个平面的有 （ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 解：等腰三角形的内角和是 180°，能被 360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面； 四边形的内角和是 360°，能被 360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面； 正六边形的每个内角是 120°，能被 360°整除，能够用一种图形镶嵌整个平面； 正五边形的每个内角是 108°，不能被 360°整除，放在同一顶点处不能够用一种图形镶嵌整个平面； 圆不能够用一种图形镶嵌整个平面； 综上所述，能够用一种图形镶嵌整个平面的有 3 个． 故选：C． 方法或规律点拨 本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握几何图形镶嵌成整个平面的关键是解题的钥匙． 巩固练习 1．（ 2020·偃师市实验中学初一月考）用下列边长相同的正多边形组合，能够铺满地面不留缝隙的是（ ） A．正八边形和正三角形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正六边形和正五边形 【答案】C 【解析】A、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角 60°．135m+60n=360°，n=6- 9 4 m，显然 m 取任何正整数时，n 不能得正整数，故不能铺满； B、正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°， m 取任何正整数时，n 不能得正整数，故不能铺满； C、正六边形的每个内角是 120°，正三角形的每个内角是 60 度．∵2×120°+2×60°=360°，或 120°+4×60°=360 度，能铺满； D、正六边形的每个内角是 120°，正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m 取任何正 整数时，n 不能得正整数，故不能铺满． 故选 C． 2．（ 2019·山西省初一月考）用若干个某种正多边形瓷砖可以铺满地面，这种正多边形瓷砖不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A.正三角形，其单个内角为 60°，360° 60°=6，A 选项满足条件； B.正方形，其单个内角为 90°，360° 90°=4，B 选项满足条件； C.正六边形，其单个内角为 120°，360° 120°=3，C 选项满足条件； D.正八边形，其单个内角为 135°，360° 135° 2 . 7 ，D 选项不满足条件． 故选：D． 3．（ 2020·哈尔滨市中实学校初一期中）能够铺满地面的正多边形组合是（ ） A．正六边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正方形和正八边形 D．正三角形和正十边形 【答案】C 【解析】 A、正六边形的每个内角是 120°，正方形的每个内角是 90°，120m+90n=360°，显然 n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满； B、正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为 135 度，135m+108n=360°，显然 n 取任何 正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满； C、正方形的每个内角为 90°，正八边形的每个内角为 135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面； D、正三角形每个内角为 60 度，正十边形每个内角为 144 度，60m+144n=360°，显然 n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满． 故选 C． 4．（ 2020·四川省初二期末）只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（ ） A．正六角形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形 【答案】B 【解析】 解：A、正六边形的每个内角是 120°，能整除 360°，能密铺； B、正五边形每个内角是 108°，不能整除 360°，不能密铺； C、正四边形的每个内角是 90°，能整除 360°，能密铺； D、正三边形的每个内角是 60°，能整除 360°，能密铺． 故选：B． 5．（ 2019·雷州市第二中学初三一模）在下列四种边长均为 a 的正多边形中，能与边长为 的正三角形作平 面镶嵌的正多边形有（ ） ①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形 A． 4 种 B． 3 种 C． 2 种 D． 1 种 【答案】C 【解析】 解：正三角形的一个内角度数为180360360 ， ①正方形的一个内角度数为180 360 4 90    ，3 60 2 90 360     ，那么 3 个正三角形和 2 个正方形可作 平面镶嵌； ②正五边形的一个内角度数为180 360 5 108   ，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌； ③正六边形的一个内角度数为180 360 6 120    ，2602120360 或 460120360 ，可作平面镶 嵌； ④正八边形的一个内角度数为180 360 8 135   ，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌； 能镶嵌的只有 2 种正多边形．故选C ． 考点 6：多边形的去（多）角问题 典例：（2019·江苏省初一期中）小李同学在计算一个 n 边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角 之和是 1380 度，则这个多边形的边数 n 的值是_______． 【答案】9 【解析】 设多边形的边数为 n，多加的内角度数为 α，则 （n-2）•180°=1380°-α， ∵1380°=7×180°+120°，内角和应是 180°的倍数， ∴n-2=7，n=9； 故答案为：9. 方法或规律点拨 本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是 180°的倍数是解 题的关键． 巩固练习 1．（ 2020·全国初一）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【解析】 当截线为经过四边形对角 2 个顶点的直线时，剩余图形为三角形； 当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形； 当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形； ∴剩余图形不可能是六边形， 故选 A. 2．（ 2019·云南省初三二模）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得 800°，这个多 边形应该是（ ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】B 【解析】 解：设多边形的边数是 n． 依题意有（n﹣2）•180°≥800°， 解得：n≥6 4 9 ， 则多边形的边数 n＝7； 故选：B． 3．（ 2019·浙江省初二学业考试）一个四边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和是（ ） A．180° B．360°或 540° C．540° D．180°或 360°或 540° 【答案】D 【解析】 解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形， ∴内角和可能是 180°，或(4-2) ×180°=540°，或(5-2) ×180°=540°． 故选：D． 4．（ 2018·山西省初一期末） 若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为 2570°，则这个内角的度数 为( ) A．90° B．105° C．130° D．120° 【答案】C 【解析】 解：∵2570°÷180°=14…50°， 又 130°+50°=180° ∴这个内角度数为 130° 故选 C 5．（ 2020·偃师市实验中学初一月考）多边形的所有内角与它的一个外角的和为 600°，这个多边形的边数是 _____ 【答案】5 【解析】 解：设边数为 n，一个外角为 α， 则（n－2）×180°＋α＝600°， ∴n＝ 600 180   ＋2， ∵0°＜α＜180°，n 为正整数， ∴当 α＝60°时， 为正整数， 此时 n＝5，内角和为（n－2）×180º＝540°． 故多边形的边数为 5． 6．（ 2019·山西省初一月考）如图，有一张正方形桌面，它的 4 个内角的和为 360°，现在锯掉它的一个角， 残余桌面所有的内角的和是_____________ 【答案】540° 【解析】 解：由题意得，残余桌面为五边形， ∴残余桌面所有的内角的和为（5-3）×180°=540° 故答案为：540°．