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  • 2021-10-25 发布

2020-2021初二数学上册同步练习:多边形及其内角和

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专题 11.3 多边形及其内角和 典例体系 一、知识点 1、 n 边形的内角和=  2180  n ; 2、 边形的外角和= 360 。 3、一个 边形的对角线有   2 3nn 条,过 边形一个顶点能作出 3n 条对角线,把 边形分成了 2n 个三角形。 4、各角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形,边数为 n 的正多边形,也叫作正 n 边形. 5、多边形的镶嵌(密铺)问题. 二、考点点拨与训练 考点 1:与多边形内角有关的计算 典例:(2020·安徽省初三三模)如图,在五边形 ABC DE 中, 280ABEEDCBCD  , 、 的 平分线 D P C P、 相交于 P 点,则 P 的度数是( ) A. 40 B. 45 C. 50  D. 55 【答案】C 【解析】 ∵五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°,∠A+∠B+∠E=280°, ∴∠BCD+∠CDE=540°一 280°=260°, ∵∠BCD,∠CDE 的平分线在五边形内相交于点 O, ∴∠PDC+∠PCD= 1 2 (∠CDE+∠BCD)=130°, ∴∠P=180°-130°=50°, 故选:C. 方法或规律点拨 本题考查了多边形的内角和,角平分线的性质,求出五边形内角和是解题关键. 巩固练习 1.(2020·福建省初三月考)若一个凸多边形的内角和为 720°,则这个多边形的边数为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】 设这个多边形的边数为 n,由多边形的内角和是 720°,根据多边形的内角和定理得(n-2)180°=720°.解 得 n=6.故选 C. 2.( 2020·福建省初三二模)已知一个多边形的内角和是540 ,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 【答案】B 【解析】 根据多边形内角和定理,n 边形的内角和公式为  n 2 180,因此, 由  n2180540 得 n=5.故选 B. 3.( 2020·偃师市实验中学初一月考)如果一个多边形的边数增加 1 倍,它的内角和是 2160°,那么原来的 多边形的边数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】 设多边形原有边数为 x, 则(2x−2)×180=2160, 2x−2=12,解得 x=7, 故本题选 C. 4.( 2020·江苏省初一月考)一个多边形的每个内角都等于 135°,则这个多边形的边数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】 ∵一个多边形的每个内角都等于 135°, ∴这个多边形的每个外角都等于 180°-135°=45°, ∵多边形的外角和为 360 度, ∴这个多边形的边数为:360÷45=8, 故选 D. 5.( 2020·北京初三二模)如图,四边形 ABCD中,过点 A 的直线 l 将该四边形分割成两个多边形,若这两 个多边形的内角和分别为  和  ,则 的度数是( ) A. 360 B. 540 C. 720 D. 900 【答案】B 【解析】 直线 l 将四边形 ABCD 分成两部分,左边为四边形,其内角和为   360°,右边为三角形,其内角和为   180°,因此 360180540  故选:B. 6.( 2019·河南省初一期末)下列选项可能是多边形的内角和的是( ) A.580° B.1240° C.1080° D.2010° 【答案】C 【解析】 解:判断哪个度数可能是多边形的内角和,看它是否能被 180°整除. 580÷180=3...40, 1240÷180=6...160, 1080÷180=6, 2010÷180=11...30, 只有 1080°能被 180°整除. 故选:C. 7.( 2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中)一个多边形的每个内角都是 120°,这个多边形是( ) A.四边形 B.六边形 C.八边形 D.十边形 【答案】B 【解析】 解:外角是 180°-120°=60°, 360÷60=6,则这个多边形是六边形. 故选:B. 8.( 2020·江苏省初一月考)一个正多边形的每个内角度数均为 135°,则它的边数为____. 【答案】8 【解析】 设该正多边形的边数为 n 由题意得: ( 2) 180?n n  =135° 解得:n=8 故答案为 8. 考点 2:与多边形外角有关的计算 典例:(2020·陕西省初二期末)如果一个多边形的内角和与外角和之比是 13:2,求这个多边形的边数. 【答案】15. 【解析】 解:设这个多边形的边数为 n ,依题意得: 13(2) 180360 2n   , 解得 15n  ,  这个多边形的边数为 15. 方法或规律点拨 考查了多边形内角与外角,根据外角和的大小与多边形的边数无关,多边形的外角和等于 360 度. 巩固练习 1.(2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中)一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°,则它的边数是( ) A.八 B.九 C.十 D.十一 【答案】B 【解析】 根据题意,得: (n-2)•180°=3×360°+180°, 解得:n=9, 则这个多边形的边数是 9. 故选 B. 2.( 2020·福建省初一期末)若多边形的边数增加一条,则它的外角和( ) A.增加 180° B.不变 C.增加 360° D.减少 180° 【答案】B 【解析】 根据多边形的外角和定理:多边形的外角和都等于 360º,与边数多少无关, 故选 B. 3.( 2020·广东省初三一模)已知一个正多边形的每个外角都等于 72°,则这个正多边形是( ) A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 【答案】A 【解析】 这个正多边形的边数:360°÷72°=5. 故选 A. 4.( 2020·江苏省初一月考)若一个多边形的外角和与它的内角和相等,则这个多边形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【答案】B 【解析】 解:设多边形的边数为 n. 根据题意得:(n-2)×180°=360°, 解得:n=4. 故选:B. 5.( 2020·山东省济宁学院附属中学初三二模)正十边形的外角和为( ) A.180° B.360° C.720° D.1440° 【答案】B 【解析】 解:因为任意多边形的外角和都等于 360°, 所以正十边形的外角和等于 360°,. 故选:B. 6.( 2020·重庆西南大学附中初三月考)一个正多边形的外角为 45°,则这个正多边形的内角和是( ) A.540° B.720° C.900° D.1080° 【答案】D 【解析】 ∵正多边形的一个外角是 45°, ∴360°÷45°=8 ∴这个正多边形是正八边形 ∴该正多边形的内角和为:180°×(8-2)=1080°. 故答案选:D. 7.( 2020·陕西省初三一模)已知一个多边形的内角和与外角和之比是 3:2,则这个多边形的边数为____. 【答案】5 【解析】 解:设这个多边形的边数为 n,依题意得: (n−2)180°= 3 2 ×360°, 解得:n=5. 故这个多边形的边数为 5. 故答案为:5. 8.( 2020·河南省初二期末)如图的七边形 ABCDEFG 中,AB,ED 的延长线相交于 O 点,若图中∠1,∠2, ∠3,∠4 的外角的角度和为 220°,则∠BOD 的度数为何?( ) A.40° B.45° C.50° D.60° 【答案】A 【解析】 解:∵∠1、∠2、∠3、∠4 的外角的角度和为 220°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°, ∵五边形 OAGFE 内角和=(5﹣2)×180°=540°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°, ∴∠BOD=540°﹣500°=40°, 故答案为 A. 考点 3:正多边形的角度计算 典例:(2019·吉林省第二实验学校初三二模)如图,以正六边形 A B C E D F 的边 AB 为直角边作等腰直角三 角形 ABG ,使点 G 在其内部,且 90BAG ,连接 FG ,则 EFGÐ 的大小是__________度. 【答案】45 【解析】 解:在正六边形 ABCDEF 中, ∵∠AFE=∠BAF= (62)180 120,6   ∵∠BAG=90°, ∴∠FAG=120°-90°=30°, 又∵AF=AB=AG, ∴∠AFG=180 30 75 ,2     ∴∠EFG=∠AFE-∠AFG=120°-75°=45°, 故答案为:45. 方法或规律点拨 本题考查了多边形的内角与外角,等腰三角形的性质,熟记多边形的内角和公式是解题方法或规律点拨 巩固练习 1.( 2019·江苏省初一期中)如图,一块六边形绿化园地,六角都做有半径为 1 m 的圆形喷水池,则这六个 喷水池占去的绿化园地的面积(结果保留 π)为( ) A. 2m B. 2 C. 4 D. n 【答案】B 【解析】 ∵六边形的内角和为: 62180720() , ∴六个阴影部分所对的圆心角的和为:720°, ∴阴影部分的面积相当于两个圆的面积之和, ∴阴影部分的面积为:2π×12=2π( 2m ) 故选 B. 2.( 2018·内蒙古自治区初二期末)有公共顶点 A,B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接 AC 交正六边形于点 D,则∠ADE 的度数为( ) A.144° B.84° C.74° D.54° 【答案】B 【解析】正五边形的内角是∠ABC=  52180 5  =108°,∵AB=BC,∴∠CAB=36°,正六边形的内角是∠ ABE=∠E=  62180 6  =120°,∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°,∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°, 故选 B. 3.( 2020·广东省初三其他)如图,在正六边形 ABCDEF 的外侧,作正方形 EFGH,则 ∠DFH 的度数为____. 【答案】75° 【解析】 观察图形可知,△EFH 是等腰直角三角形,则∠EFH=45°,△DEF 是等腰三角形,∵∠DEF=120°, ∴∠EFD=(180°﹣120°)÷2=30°, ∴∠DFH=45°+30°=75°. 4.( 2020·陕西省西北工业大学附属中学初三月考)如果一个正多边形的内角和等于 1440  ,那么这个正多 边形的每一个外角的度数为______. 【答案】 36 o 【解析】 正多边形的内角和等于   21801440n  解得: 10n  多边形的外角和为360 ,且正多边形的每一个外角均相等 这个正多边形的每一个外角的度数为 3 6 0 1 0 3 6 故答案是: 5.( 2020·上海初三二模)我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比,内外比为 3 的 正多边形的边数为__________ 【答案】8 【解析】 设正多边形的边数为 n, ∵内角和为(2)180n ,外角和为 360°, ∴一个内角度数为 (2)180n n  ,一个外角度数为 360 n , ∴ = 3603 n , 解得 n=8, 经检验 n=8 是方程的解且符合题意, 故答案为:8. 6.( 2020·山东省初三一模)如图,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____. 【答案】140°. 【解析】 解:该正九边形内角和  180921260 , 则每个内角的度数 1260 1409  . 故答案为:140°. 7.( 2020·江苏省泰兴市实验初级中学初一期中)如图,在五边形 ABCDE 中,∠A=∠B=∠C=∠D,点 F 在边 AB 上,∠AFE=45°,则∠AEF 与∠AED 的度数的比值是_______. 【答案】1:4 【解析】 解:设∠AEF=x, ∵∠AFE=45°, ∴∠A=180°-∠AFE-∠AEF=135°-x ∴∠A=∠B=∠C=∠D=135°-x ∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠AED=180°×(5-2)=540° ∴∠AED=540°-4(135°-x)=4x ∴∠AEF:∠AED=1:4 故答案为:1:4. 8.( 2020·常州市第二十四中学初一期中)一机器人以 0.3m/s 的速度在平地上按下图中的步骤行走,那么该 机器人从开始到停止所需时间为__s. 【答案】160. 【解析】解:360÷45=8, 则所走的路程是:6×8=48m, 则所用时间是:48÷0.3=160s. 9.( 2020·江西省石城二中初三其他)两个完全相同的正五边形都有一边在直线 l 上,且有一个公共顶点 O, 其摆放方式如图所示,则∠AOB 等于 ______ 度. 【答案】108 【解析】 ∵五边形是正五边形, ∴每一个内角都是 108°, ∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°, ∴∠COD=36°, ∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°. 故答案为 108 考点 4:多边形对角线问题 典例:(2020·上蔡县思源实验学校初一月考)一个多边形的外角和是它内角和的 1 4 ,求: (1)这个多边形的边数; (2)这个多边形共有多少条对角线. 【答案】(1)边数为 10;( 2)35 条 【解析】 解:设这个多边形的边数为 n,由题意得: 180(n-2)× =360, 解得:n=10, 答:这个多边形的边数为 10; (2)10×(10-3)÷2=35(条). 方法或规律点拨 本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想.关键是记住内角和的公式与外角和的特征,及多边形对 角线的条数公式. 巩固练习 1.( 2020·全国初一)下列多边形中,对角线是 5 条的多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 【答案】B 【解析】 n 边形对角线条数为 ( 3) 2 nn ∴A. 四边形有 2 条对角线,故错误; B. 五边形有 5 条对角线,正确; C. 六边形有 9 条对角线,故错误; D. 七边形有 14 条对角线,故错误; 故选 B. 2.(2020·全国初一)在八边形内任取一点,把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 【答案】D 【解析】如图 ,或者根据八边形内一点,和任意一边的两端点均可构成三角形,所以可求得三角形的个数为 8. 故选:D. 3.( 2020·全国初一)将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后,变成一个六边形,则原多边形纸片 的边数不可能是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】 如图可知,原来多边形的边数可能是 5,6,7.不可能是 8. 故选: D . 4.( 2020·温州外国语学校初二月考)从十二边形的一个顶点出发,可引出对角线( )条 A.9 条 B.10 条 C.11 条 D.12 条 【答案】A 【解析】 解:从十二边形的一个顶点出发,可引出对角线的条数是  12 3 9条. 故选:A. 5.( 2019·北京初三其他)若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有 3 条,则这个多边形的内角和为( ) A.360° B.540° C.720° D.1080° 【答案】C 【解析】 从一个顶点出发的对角线共有 3 条 这个多边形是一个六边形 则这个多边形的内角和为180(62)720 故选:C. 6.( 2019·北京市第四十一中学初二期中)从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点, 可以把一个七边形分割成( )个三角形. A.6 B.5 C.8 D.7 【答案】B 【解析】从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成 7-2=5 个三角形. 故选 B. 7.( 2019·重庆市凤鸣山中学初一期中)一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为 2100°则这个多边 形的对角线共有( ) A.104 条 B.90 条 C.77 条 D.65 条 【答案】C 【解析】 解: 2210018011 3 ,则正多边形的边数是 11+2+1=14. ∴这个多边形的对角线共有    314143==7722 nn条. 故选:C. 考点 5:多边形的镶嵌问题 典例:40.( 2020·长春市第四十七中学初一期中)如图所示的图形中,能够用一个图形镶嵌整个平面的有 ( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 解:等腰三角形的内角和是 180°,能被 360°整除,放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面; 四边形的内角和是 360°,能被 360°整除,放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面; 正六边形的每个内角是 120°,能被 360°整除,能够用一种图形镶嵌整个平面; 正五边形的每个内角是 108°,不能被 360°整除,放在同一顶点处不能够用一种图形镶嵌整个平面; 圆不能够用一种图形镶嵌整个平面; 综上所述,能够用一种图形镶嵌整个平面的有 3 个. 故选:C. 方法或规律点拨 本题考查了平面镶嵌(密铺),掌握几何图形镶嵌成整个平面的关键是解题的钥匙. 巩固练习 1.( 2020·偃师市实验中学初一月考)用下列边长相同的正多边形组合,能够铺满地面不留缝隙的是( ) A.正八边形和正三角形 B.正五边形和正八边形 C.正六边形和正三角形 D.正六边形和正五边形 【答案】C 【解析】A、正八边形的每个内角为:180°-360°÷8=135°,正三角形的每个内角 60°.135m+60n=360°,n=6- 9 4 m,显然 m 取任何正整数时,n 不能得正整数,故不能铺满; B、正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°,正八边形的每个内角为:180°-360°÷8=135°,108m+135n=360°, m 取任何正整数时,n 不能得正整数,故不能铺满; C、正六边形的每个内角是 120°,正三角形的每个内角是 60 度.∵2×120°+2×60°=360°,或 120°+4×60°=360 度,能铺满; D、正六边形的每个内角是 120°,正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°,120m+108n=360°,m 取任何正 整数时,n 不能得正整数,故不能铺满. 故选 C. 2.( 2019·山西省初一月考)用若干个某种正多边形瓷砖可以铺满地面,这种正多边形瓷砖不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 A.正三角形,其单个内角为 60°,360° 60°=6,A 选项满足条件; B.正方形,其单个内角为 90°,360° 90°=4,B 选项满足条件; C.正六边形,其单个内角为 120°,360° 120°=3,C 选项满足条件; D.正八边形,其单个内角为 135°,360° 135° 2 . 7 ,D 选项不满足条件. 故选:D. 3.( 2020·哈尔滨市中实学校初一期中)能够铺满地面的正多边形组合是( ) A.正六边形和正方形 B.正五边形和正八边形 C.正方形和正八边形 D.正三角形和正十边形 【答案】C 【解析】 A、正六边形的每个内角是 120°,正方形的每个内角是 90°,120m+90n=360°,显然 n 取任何正整数时,m 不能得正整数,故不能铺满; B、正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°,正八边形每个内角为 135 度,135m+108n=360°,显然 n 取任何 正整数时,m 不能得正整数,故不能铺满; C、正方形的每个内角为 90°,正八边形的每个内角为 135°,两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面; D、正三角形每个内角为 60 度,正十边形每个内角为 144 度,60m+144n=360°,显然 n 取任何正整数时,m 不能得正整数,故不能铺满. 故选 C. 4.( 2020·四川省初二期末)只用下列图形不能进行平面镶嵌的是( ) A.正六角形 B.正五边形 C.正四边形 D.正三边形 【答案】B 【解析】 解:A、正六边形的每个内角是 120°,能整除 360°,能密铺; B、正五边形每个内角是 108°,不能整除 360°,不能密铺; C、正四边形的每个内角是 90°,能整除 360°,能密铺; D、正三边形的每个内角是 60°,能整除 360°,能密铺. 故选:B. 5.( 2019·雷州市第二中学初三一模)在下列四种边长均为 a 的正多边形中,能与边长为 的正三角形作平 面镶嵌的正多边形有( ) ①正方形;②正五边形;③正六边形;④正八边形 A. 4 种 B. 3 种 C. 2 种 D. 1 种 【答案】C 【解析】 解:正三角形的一个内角度数为180360360 , ①正方形的一个内角度数为180 360 4 90    ,3 60 2 90 360     ,那么 3 个正三角形和 2 个正方形可作 平面镶嵌; ②正五边形的一个内角度数为180 360 5 108   ,任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌; ③正六边形的一个内角度数为180 360 6 120    ,2602120360 或 460120360 ,可作平面镶 嵌; ④正八边形的一个内角度数为180 360 8 135   ,任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌; 能镶嵌的只有 2 种正多边形.故选C . 考点 6:多边形的去(多)角问题 典例:(2019·江苏省初一期中)小李同学在计算一个 n 边形的内角和时不小心多加了一个内角,得到的内角 之和是 1380 度,则这个多边形的边数 n 的值是_______. 【答案】9 【解析】 设多边形的边数为 n,多加的内角度数为 α,则 (n-2)•180°=1380°-α, ∵1380°=7×180°+120°,内角和应是 180°的倍数, ∴n-2=7,n=9; 故答案为:9. 方法或规律点拨 本题考查了多边形的内角和公式,根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是 180°的倍数是解 题的关键. 巩固练习 1.( 2020·全国初一)将一个四边形截去一个角后,它不可能是( ) A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形 【答案】A 【解析】 当截线为经过四边形对角 2 个顶点的直线时,剩余图形为三角形; 当截线为经过四边形一组对边的直线时,剩余图形是四边形; 当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时,剩余图形是五边形; ∴剩余图形不可能是六边形, 故选 A. 2.( 2019·云南省初三二模)小明在计算一个多边形的内角和时,漏掉了一个内角,结果算得 800°,这个多 边形应该是( ) A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形 【答案】B 【解析】 解:设多边形的边数是 n. 依题意有(n﹣2)•180°≥800°, 解得:n≥6 4 9 , 则多边形的边数 n=7; 故选:B. 3.( 2019·浙江省初二学业考试)一个四边形截去一个角后,形成新的多边形的内角和是( ) A.180° B.360°或 540° C.540° D.180°或 360°或 540° 【答案】D 【解析】 解:∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形,可能是四边形,也可能是五边形, ∴内角和可能是 180°,或(4-2) ×180°=540°,或(5-2) ×180°=540°. 故选:D. 4.( 2018·山西省初一期末) 若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为 2570°,则这个内角的度数 为( ) A.90° B.105° C.130° D.120° 【答案】C 【解析】 解:∵2570°÷180°=14…50°, 又 130°+50°=180° ∴这个内角度数为 130° 故选 C 5.( 2020·偃师市实验中学初一月考)多边形的所有内角与它的一个外角的和为 600°,这个多边形的边数是 _____ 【答案】5 【解析】 解:设边数为 n,一个外角为 α, 则(n-2)×180°+α=600°, ∴n= 600 180   +2, ∵0°<α<180°,n 为正整数, ∴当 α=60°时, 为正整数, 此时 n=5,内角和为(n-2)×180º=540°. 故多边形的边数为 5. 6.( 2019·山西省初一月考)如图,有一张正方形桌面,它的 4 个内角的和为 360°,现在锯掉它的一个角, 残余桌面所有的内角的和是_____________ 【答案】540° 【解析】 解:由题意得,残余桌面为五边形, ∴残余桌面所有的内角的和为(5-3)×180°=540° 故答案为:540°.