人教版七年级数学上册期末考试复习第三章一元二次方程复习教学课件 35页

第三章 一元一次方程 人教版 七年级数学上册 要点梳理 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数，未 知数的次数都是____，等号两边都是______，这 样的方程叫做一元一次方程． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的 值叫做方程的解． 4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程． 一 1 整式 1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或 式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± ＝ b±c. 2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一 个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac ＝ ___；如果 a = b (c≠0)，那么 ＝____． 二、等式的性质 bc c a c b c 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数， 别漏乘． (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常 数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax ＝ b (a≠0)的形式． (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式. 三、一元一次方程的解法 1. 列方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数，设其中某个未知量为x. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． 四、实际问题与一元一次方程 审题是基础，找 等量关系是关键. 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． (2) 工程问题中基本量之间的关系： ① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效 率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看 做1. (3) 销售问题中基本量之间的关系： ① 商品利润 = 商品售价－商品进价； ② 利润率 = ；％商品进价 商品利润 100 ③ 商品售价 = 标价× ；10 折扣数 ④ 商品售价 = 商品进价+商品利润 = 商品进价+商品进价×利润率 = 商品进价×(1+利润率). 例1 如果 x = 2是方程 的解，那么 a 的 值是 ( ) A. 0 B. 2 C. －2 D. －6 考点讲练 考点一 方程的有关概念 解析：将 x＝2 代入方程得1＋a＝－1，解得a＝－2. C 12 1  ax 方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方 程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程， 解方程即可得字母参数的值. 1. 若 (m＋3) x| m|－2＋2＝1 是关于 x 的一元一次方程， 则 m的值为___．3 针对训练 注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值， 需谨记未知数的系数不为0. 考点二 等式的基本性质 例2 下列说法正确的是 ( ) A. x +1 = 2+2x 变形得到 1= x B. 2x = 3x 变形得到 2 = 3 C. 将方程 系数化为1，得 D. 将方程 3x = 4x－4 变形得到 x = 4 2 32 x 3 4x D 方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号 问题，同时一定要谨记，利用等式性质2变形， 等式两边同时除以一个数时，该数不能为0. 2. 下列运用等式的性质，变形正确的是 ( ) A. 若 x = y，则 x－5 = y+5 B. 若 a = b，则 ac = bc C. 若 ，则 2a = 3b D. 若 x = y，则 c b c a  a y a x  B a可能为0 针对训练 考点三 一元一次方程的解法 例3 解下列方程： (1) ； 12 11014 12  xxx 解：去分母，得 3(2x+1)－12 = 12x－(10x+1). 去括号，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1. 移项，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12. 合并同类项，得 4x = 8. 系数化为1，得 x = 2. 提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较 容易． (2) .2 384 1 2 1 3 4 4 3 xx           解：去括号，得 1 1 36 .2 4 2x x   移项，得 1 3 1 6.2 2 4x x   合并同类项，得 16 .4x  系数化为1，得 16 .4x   3. 解方程： .2 325 2  xx 解：去分母，得 2(x－2) = 20－5(x＋3). 去括号，得 2x－4 = 20－5x－15. 移项，得 2x＋5x = 20－15＋4. 合并同类项，得 7x = 9. 系数化为1，得 9.7x  针对训练 考点四 实际问题与一元一次方程 例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静 水中速度为7 km/h，水流速度为2 km/h，往返一次共 用28 h，求甲、乙两码头之间的距离． 解：设甲、乙两码头之间的距离是 x km. 由顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共 用时间，得 28.7 2 7 2 x x   解得 x = 90. 答：甲、乙两码头之间的距离是 90 km. 4. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米， 可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟， 则他家到学校的路程是多少千米？ 解：设他家到学校的路程是 x 千米， 依题意得 10 5 .15 60 12 60 x x   解得 x =15. 答：他家到学校的路程是15 千米. 针对训练 例5 抗洪救灾小组在甲地有28人，乙地有15人，现在 又调来17人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地人 数与乙地人数之比为3:2，求应调至甲地和乙地各多 少人？ 解：设应调至甲地 x 人，则调至乙地的人数为 (17－x) 人，根据调配后甲乙两地人数的数 量关系得   228 15 (17 ).3x x     解得 x = 8. 则17-x=9. 答：应调至甲地 8 人，乙地 9 人. 5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件， 由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件， 调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、 乙两商场原来各自有该品牌服装的数量． 解：设甲商城原来有该品牌服装x件，则乙商城原来有 该品牌服装（450-x）件， 根据题意,得x+50=2[（450-x）-50]， 解得x=250，则450-x=200． 答：甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该 品牌服装200件. 针对训练 例6 一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完 成，丙单独做24天完成．现甲、乙合作3天后，甲 因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才 能完成这项工作？ 解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、 乙合作 3 天的工作量+乙、丙合作的工作量=1， 得 1 1 1 13 1.8 12 12 24 x              解得 x = 3. 答：乙、丙还要3天才能完成这项工作 6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ， 第二天耕了剩余部分的 ，还剩下42公顷，则这 片地共有 公顷. 2 31 3 解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得 2 1 2 42.3 3 3x x x x       解得 x =189. 189 针对训练 例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 40% 后作 为标价. 如果商家要想保住 12% 的利润率搞促销活 动，请你计算一下广告上可写出最多打几折? 提示：提价 40％ 后，商品标价为 500×(1+40％)，要 保住 12％ 的利润率，商品的售价应为500×(1+12％)， 根据 可列方程.商品售价 = 标价× 10 折扣数 解：设最多可以打 x 折，根据题意得    500 1 40 500 1 12 .10 x     ％ ％ 解得 x = 8. 答：广告上可写出最多打 8 折. 7. 一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假 日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件 仍可获利24元，问这件商品的进价是多少元？ 解：设这件商品的进价是 x 元，根据题意得   81 40 24.10x x   ％ 解得 x = 200. 答：这件商品的进价是 200 元. 针对训练 (1) 当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市 实付款分别是多少？ 例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息： 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场 8.8 折 不超过 200 元，不予优惠； 满 200 元而不超过 500 元，打九折； 满 500 元，其中 500 元的部分优惠 10 ％，超过 500 元的部分打八折 假设两家超市相同商品的标价都一样. 解：当一次性购物标价总额是300元时， 甲超市实付款：300×0.88=264 (元)， 乙超市实付款：300×0.9=270 (元). (2) 当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ 解：设当标价总额是 x 元时，甲、乙超市实付款一 样．由题意知，当 x ≤ 500 时，甲超市的促销力度大于 乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付 款始终小于乙超市实付款，所以 x＞500． 根据题意得 0.88x = 500×(1－10％) + 0.8(x－500)， 解得 x = 625． 答：当标价总额是 625 元时，甲、乙超市实付款一样. (3) 小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若 他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多 少元？ 分析：由题目信息可知，在乙超市购物： ① 不超过200元，不予优惠； ②大于等于200元小于500元，实付款大于等于180元， 小于450元； ③大于等于500元，实付款大于等于450元. 解：由题意知： ① 购物标价总额不超过200元，不予优惠； ② 大于等于200元小于 500 元，实付款大于等于 200×0.9 =180 (元)，小于 500×0.9 = 450 (元)； ③大于等于500元，实付款大于等于450元. 小王第一次购物付款 198 元＜200元，购物标价可 能是 198 元，也可能是198÷0.9=220 (元)， 第二次购物付款 466 元＞450 元，所以购物标价 大于500元，为 (466－450)÷0.8+500 = 520 (元)， 所以，小王两次购物标价之和为 198+520 = 718 (元)， 或 220+520 = 740 (元)． 若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为 500×0.9 + 0.8(718－500) = 624.4 (元)，或 500×0.9 + 0.8(740-500) = 642 (元)， 可以节省 198+466－624.4 = 39.6 (元)，或 198+466－642 = 22 (元)． 答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以 节省 39.6 元或 22 元． 8. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为 了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市 累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后， 超出部分按原价 8.5 折优惠．设顾客累计购物 x 元 (x＞300)． (1) 请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物 所付的费用； 针对训练 解：顾客在甲超市购物所付的费用为： 300+0.8(x－300) = (0.8x+60) 元 (x＞300)； 顾客在乙超市购物所付的费用为： 200+0.85(x－200) = (0.85x+30) 元 (x＞300)． (2) 李明准备购买 500 元的商品，你认为他应该去哪 家超市？请说明理由． 答：他应该去乙超市，理由如下： 当 x =500 时，在甲超市购物所付的费用为： 0.8×500+60 = 460 (元)； 在乙超市购物所付的费用为： 0.85×500+30 = 455 (元). ∵460＞455， ∴他去乙超市划算． (3) 计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超 市购物所付的费用一样？ 解：由题意得 0.8x+60 = 0.85x+30. 解得 x = 600. 答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物 所付的费用一样． 9. 为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标 准作如下规定：每户每月用电如果不超过 100 度， 那么每度按 0.50 元收费；如果超过 100 度不超过 200 度，那么超过的部分每度按 0.65 元收费；如果 超过200度，那么超过的部分每度按 0.75 元收费． (1) 若居民甲在 6 月份用电 100 度，则他这个月应缴 纳电费 元； 若居民乙在 7 月份用电 200 度，则他这个月应缴 纳电费 元； 若居民丙在 8 月份用电 300 度，则他这个月应缴 纳电费 元； 50 115 190 (2) 若某户居民在9月份缴纳电费310元，那么他这个 月用电多少度？ 解：设他这个月用电 x 度，根据题意得： 0.50×100+0.65×(200－100)+0.75×(x－200) = 310， 解得 x = 460． 答：他这个月用电 460 度．