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- 2022-04-01 发布
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第三章图形的平移与旋转专题四本章重要考点专练——图形的旋转
一、选择题1.(2019湘潭)如图Z3-16,将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置.若∠AOB=40°,则∠AOD=()A.45°B.40°C.35°D.30°D
2.(2019内江)如图Z3-17,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,CD的长为()A.1.6B.1.8C.2D.2.6A
3.(2019吉林)把如图Z3-18所示的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为()A.30°B.90°C.120°D.180°C
4.(2019天津)如图Z3-19,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE.下列结论一定正确的是()A.AC=ADB.AB⊥EBC.BC=DED.∠A=∠EBCD
二、填空题5.(2019哈尔滨)如图Z3-20,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,其中点A′与A是对应点,点B′与B是对应点,点B′落在边AC上,连接A′B.若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A′B的长为______.
6.(2019新疆)如图Z3-21,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为_________.
7.(2019益阳)在如图Z3-22所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′,使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是______.90°
8.(2019海南)如图Z3-23,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=______.
三、解答题9.如图Z3-24,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:BC=EF;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
(1)证明:∵∠CAF=∠BAE,∴∠BAC=∠EAF.∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置,∴AC=AF.在△ABC与△AEF中,AB=AE,∠BAC=∠EAF,AC=AF,∴△ABC≌△AEF(SAS).∴BC=EF.
(2)解:∵AB=AE,∠ABC=65°,∴∠BAE=180°-65°×2=50°.∴∠FAG=∠BAE=50°.∵△ABC≌△AEF,∴∠F=∠ACB=28°.∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°.
10.(2018南宁)如图Z3-25,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.
解:(1)如答图Z3-6,△A1B1C1即为所求.(2)如答图Z3-6,△A2B2C2即为所求.(3)∵OB=OA1=,A1B==,即OB2+OA12=A1B2,∴三角形的形状为等腰直角三角形.
11.如图Z3-26,已知AC⊥BC,垂足为点C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=______;(2)求线段DB的长度.4
(2)如答图Z3-7,作DE⊥BC于点E.由题意知△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°.∵AC⊥BC,∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°.∴在Rt△CDE中,DE=DC=2,CE=2.∴BE=BC-CE=.∴在Rt△BDE中,BD==.
12.(1)如图Z3-27①,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<∠ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针方向旋转,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处),连接DE′.求证:DE=DE′;(2)如图Z3-27②,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<45°).求证:DE2=AD2+EC2.
证明:(1)∵∠DBE=∠ABC,∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC.∵△ABE′由△CBE旋转而成,∴BE′=BE,∠ABE′=∠CBE.∴∠DBE′=∠DBE.在△DBE和△DBE′中,BE=BE′,∠DBE=∠DBE′,BD=BD,∴△DBE≌△DBE′(SAS).∴DE=DE′.
(2)如答图Z3-8,把△CBE逆时针旋转90°,连接DE′.∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠BCE=45°.∴图形旋转后点C与点A重合,CE与AE′重合.∴AE′=CE,∠E′AB=∠BCE=45°.∴∠DAE′=90°.在Rt△ADE′中,DE′2=AE′2+AD2.∵AE′=EC,∴DE′2=EC2+AD2.同(1)可得DE=DE′,∴DE2=AD2+EC2.
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