2018_2019学年八年级数学上册第七章平行线的证明5三角形内角和定理教学课件（新版）北师大版 31页

教学课件数学八年级上册北师大版 第七章平行线的证明5三角形内角和定理 内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？ 1.知识目标（1）三角形的内角和定理的证明.（2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题.（3）理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.2.教学重点（1）三角形内角和定理的证明.（2）三角形内角和定理的推论.3.教学难点（1）三角形内角和定理的证明方法.（2）三角形的外角、三角形内角和定理的推论. 我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?112ABD23C(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°. 已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则ABC∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).PQ231 根据下面的图形,写出相应的证明.你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(2)ABCPQRM试一试TSN(3)ABCPQRM 三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°–∠C.∠B+∠C=180°–∠A.∠A+∠C=180°–∠B.这里的结论,以后可以直接运用.ABC 观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？BCA1DACB1DACB1D外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三个特征:1.∠1的顶点在三角形的一个顶点上;2.∠1的一条边是三角形的一条边;3.∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线. 大家一起画一画想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？3、这些外角中有几个外角相等？4、三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系?画一个三角形，再画出它所有的外角. ABDEFC外角ABDEFC外角 归纳：1、每一个三角形都有６个外角;2、每一个顶点相对应的外角都有２个;4、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.3、这6个外角中有3个外角相等. 探究:你能用推理的方法来论证∠ACD=∠B+∠A吗？你能用几种方法呢？相信你一定能行！DABC DABC方法一:∵∠ACD+∠ACB=180°又∵∠A+∠B+∠ACB=180°∴∠A+∠B=∠ACD解：∴∠ACD=180°－∠ACB∴∠A+∠B=180°－∠ACB（邻补角的定义）（三角形内角和180°） 方法二：擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1（作CE//BA）由平行线的性质把两个内角转换可得AECBD 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.DACB∵∠ACD=∠A+∠B∴∠ACD﹥∠A∠ACD﹥∠B结论：3.三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系? 三角形外角的性质：性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.∠B+∠C=∠CAD性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.∠CAD>∠B，∠CAD>∠CABCD 证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∠B=∠C(已知)∴∠B=∠EAC(等式性质)ACDBE··例1已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC.∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAE=∠EAC(角平分线的定义)∴∠DAE=∠B(等量代换)∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证实. 例2已知：如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1>∠2.证明：∵∠1是△ABC的一个外角(已知)∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义)∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠1>∠2(不等式的性质)CABF1345ED2 跟踪练习1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定C2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°FEDCBAB 3.如图，把△ACB沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，∠DAE与∠1,∠2之间有一种数量关系保持不变，这一规律是（）A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=2（∠1+∠2）BDAACE12B 4.如图所示,∠1=_______.140°80°1120°5.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为.30或75°6.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.DCBA120° 7.已知：如图，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.求：∠B和∠ACB的大小.ABCD解:∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知),∴∠B=∠DCA-∠A=100°-45°=55°又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角=180°).∴∠ACB=80°(等式的性质).100°45°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 已知:国旗上的正五角星形如图所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).又∵∠2是△EHC的一个外角(外角的意义),ABCDEF1H2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°(等式性质).拔尖自助餐 1.(1)如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.(2)把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？AEABCDAE(甲)EBCDDCB(乙)(丙)相等，也可凑到一个三角形中. 当堂检测1.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.一个三角形至少有（）A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角BB 证明：∵∠1+∠4=180°∠2+∠5=180°∠3+∠6=180°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=3×180°=540°又∵∠4+∠5+∠6=180°(三角形内角和定理)∴∠1+∠2+∠3=540°-180°=360°3.已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角．求证：∠1+∠2+∠3=360°.CAB312645 4.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数.解：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C∴∠B=∠C=50°ABC 5.已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数.解：设三个内角度数分别为：x,3x,5x.列出方程x+3x+5x=180°x=20°答：三个内角度数分别为20°,60°,100°. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.小结