巩固练05一次函数-2020年【衔接教材·暑假作业】八年级数学（人教版）（解析版） (7) 9页

巩固练02 勾股定理 勾股定理的内容：在直角三角形中， 两直角边的平方的和等于斜边的平方 ‎ ‎ 。如图：在中，∠C=90°，则 。‎ 变形公式： ； ； 。‎ 勾股定理的证明：如下图，图中的三角形都是全等的直角三角形。请写出相应的勾股定理的证明过程。‎ 图形 证明过程 证明： ∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 证明：‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 即：‎ 证明：‎ ‎ ∴‎ ‎ 即：‎ 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 定理的定义：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。‎ 互逆命题的定义：明天有题设和结论。我们把 题设 、 结论 正好相反的两个命题叫做互逆命题。‎ 互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题也是正确的，则它也是一个定理。我们把这两个定理称之为 互逆定理 。‎ 勾股定理的逆定理：在任意三角形中，若三角形的三边分别是，且满足 （答案不唯一），则这个三角形一定是 直角三角形 。且直角边是 ，斜边 。‎ 勾股数：满足 的三个整数叫做勾股数。例如： 3、4、5（答案不唯一） 。‎ 直角三角形的判定方法：①三角形中有一个角是 直角 的三角形是直角三角形。‎ ‎ ②三角形中有两个角的和是 90° 的三角形是直角三角形。‎ ‎ ③三角形的三边满足 勾股定理 的三角形是直角三角形。‎ ‎1．下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．‎ ‎【解答】解：A、32+42＝52，△ABC是直角三角形；‎ B、AB2﹣BC2＝AC2，AB2＝BC2+AC2，△ABC是直角三角形；‎ C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，‎ 设∠A、∠B、∠C分别为x、2x、3x，‎ 则x+2x+3x＝180°，‎ 解得x＝30°，‎ 则∠A、∠B、∠C分别为30°，60°，90°，‎ ‎△ABC是直角三角形；‎ D、12+22≠32，△ABC不是直角三角形．故选：D．‎ 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎2．已知△ABC的三边为，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．‎ ‎【解答】解：A、∵72+242＝252，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；‎ B、∵42+52＝（）2，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；‎ C、∵，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；‎ D、∵402+502≠602，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎3．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（　　）‎ A．6平方厘米 B．12平方厘米 C．24平方厘米 D．3平方厘米 ‎【分析】根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．‎ ‎【解答】解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：（厘米），‎ 可得这个直角三角形的面积为：（平方厘米）．‎ 故选：A．‎ 4. 如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．‎ 若S1＝36，S2＝64，则S3＝（　　）‎ A．8 B．10 C．80 D．100‎ ‎【分析】由正方形的面积公式可知S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，由此可求S3．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，‎ 又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，‎ ‎∴S3＝S1+S2＝36+64＝100． 故选：D．‎ 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎5．在Rt△ABC中，，则AB的长是（　　）‎ A． B．2 C．1 D．‎ ‎【分析】根据在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°和勾股定理，可以求得AB的长．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，‎ ‎∴, 故选：D．‎ ‎6. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．‎ ‎【解答】解：，‎ 则，‎ ‎∵A点表示﹣1，‎ ‎∴M点表示， 故选：A．‎ ‎7．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．‎ ‎【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，‎ ‎∴BC＝12cm．‎ ‎①当BP＝BA＝13时，∴．‎ ‎②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，∴t＝12s．‎ ‎③当PB＝PA时，PB＝PA＝t cm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5 cm，‎ 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，‎ 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得．‎ 综上，当△ABP为等腰三角形时，或12s或， 故选：C．‎ ‎8．如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝，CD＝，AD＝4，∠A＝90°，则∠ADC的度数为（　　）‎ A．120° B．105° C．135° D．125°‎ ‎【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB＝45°，根据勾股定理得BC2＝BD2+CD2，根据勾股定理逆定理得△BDC是直角三角形，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：在△ABD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝4，‎ ‎∴∠ADB＝45°，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴BC2＝BD2+CD2＝40，‎ 根据勾股定理逆定理得△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°，‎ ‎∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°． 故选：C．‎ 9． 若点P（a，﹣3）在第四象限，且到原点的距离是5，则a＝　 　．‎ ‎【分析】由勾股定理列出方程a2+32＝52，根据第四象限内点的坐标特征求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵点P（a，﹣3）到原点的距离是5，‎ ‎∴a2+32＝52．∴a＝±4．‎ ‎∵点P（a，﹣3）在第四象限，∴a＝4． 故答案为：4．‎ ‎10．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为　 　．‎ ‎【分析】根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵正方形的边长为，‎ ‎∴此正方形的面积为62＝36，‎ 故答案为：36． ‎ ‎11．已知一个直角三角形的两条直角边的长分别是cm和cm 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎，则这个直角三角形的周长为　 　．‎ ‎【分析】先利用勾股定理计算出斜边长，然后利用三角形周长的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长为，‎ 故这个直角三角形的周长为（cm）．‎ 故答案为：cm．‎ ‎12．三角形两边分别是6和8，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是　 　．‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理分类讨论进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵一个三角形的两边分别是6和8，‎ ‎∴可设第三边为x，‎ ‎∵此三角形是直角三角形，‎ ‎∴当x是斜边时，x2＝62+82，解得x＝10；‎ 当8是斜边时，x2+62＝82，解得．‎ 故答案为：10或．‎ ‎13．如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚3m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚　 　．‎ ‎【分析】根据题意直接利用勾股定理得出梯子顶端离墙角的距离．‎ ‎【解答】解：由题意可得：梯子顶端离墙角有（m）．‎ 故答案为：m．‎ ‎14．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为　 　．‎ ‎【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．‎ ‎【解答】解：3﹣2＝1，‎ ‎1×1＝1．‎ 故图2中小正方形ABCD的面积为1．‎ 故答案为：1．‎ ‎15．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎，则吸管露出在杯外面的最短长度为　 　cm．‎ ‎【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．‎ ‎【解答】解：设在杯里部分长为xcm，‎ 则有：x2＝32+42，‎ 解得：x＝5，‎ 所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，‎ 故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，‎ 故答案为：2．‎ ‎16．如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯　 　（填“能”或“否”）到达墙的顶端．‎ ‎【分析】根据已知得出斜边与直角边再利用勾股定理求出即可．‎ ‎【解答】解：设这把梯子能够到达的墙的最大高度是h米，则：‎ 根据勾股定理h＝（米）‎ ‎∵h＝12＞11.7‎ ‎∴一个长为15米的云梯能够到达墙的顶端． 故答案为：能 ‎17．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．‎ ‎（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；‎ ‎（2）求原来的路线BC的长．‎ ‎【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB，根据垂线段最短可得答案；‎ ‎（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．‎ ‎【解答】解：（1）是，‎ 理由：∵62+2.52＝6.52，‎ ‎∴CD2+AD2＝AC2，‎ 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∴△ADC为直角三角形，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴CD是从村庄C到河边最近的路；‎ ‎（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴62+（x﹣2.5）2＝x2，‎ 解得：x＝8.45，‎ 答：路线BC的长为8.45千米．‎ ‎18．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．‎ ‎【分析】设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：设旗杆的高度为x米，‎ 根据勾股定理，得x2+92＝（x+3）2，‎ 解得：x＝12；‎ 答：旗杆的高度为12米 ‎19．如图，在四边形ACBD中，AC＝6，BC＝8，AD＝，BD＝，DE是△ABD的边AB上的高，且DE＝4，求△ABC的边AB上的高．‎ ‎【分析】先根据勾股定理求出AE和BE，求出AB，根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，再求出面积，进一步得到△ABC的边AB上的高即可．‎ ‎【解答】解：∵DE是AB边上的高，‎ ‎∴∠AED＝∠BED＝90°，‎ 在Rt△ADE中，‎ 由勾股定理，得．‎ 同理：在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝8，‎ ‎∴AB＝2+8＝10，‎ 在△ABC中，由AB＝10，AC＝6，BC＝8，‎ 得：AB2＝AC2+BC2，‎ 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∴△ABC是直角三角形，‎ 设△ABC的AB边上的高为h，‎ 则，即：10h＝6×8，‎ ‎∴h＝4.8，‎ ‎∴△ABC的边AB上的高为4.8．‎ ‎20．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在左侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在右侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝．‎ ‎（1）求梯子的长度；‎ ‎（2）求BC和CE的长度．‎ ‎【分析】（1）在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度；‎ ‎（2）利用勾股定理求得AC的长，从而求得线段CE的长，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△DAE中，‎ ‎∵∠DAE＝45°，‎ ‎∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝m，‎ ‎∴AD2＝AE2+DE2＝64，‎ ‎∴AD＝8，即梯子的总长为8m．‎ ‎（2）由（1）可得：AB＝AD＝8m．‎ 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，‎ ‎∴∠ABC＝30°，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎∴BC2＝AB2﹣AC2＝82﹣42＝48，‎ ‎∴， ‎ ‎∴点B到地面的垂直距离BC的大小m．‎ 9‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎