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- 2021-10-26 发布
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13.3.2
等边三角形
第十三章 轴对称
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第
1
课时 等边三角形的性质与判定
八年级数学上(RJ)
学习目标
1
.
探索等边三角形的性质和判定.(重点)
2
.
能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
明.(难点)
小明想制作一个三角形的相框,他有四根木条长度分别为
10cm
,
10cm
,
10cm
,
6cm
,
你能帮他设计出几种形状的三角形?
问题引入
导入新课
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是
底与腰
相等,即三角形的三边相等,我们把三条边都相等的三角形叫作
等边三角形
.
名称
图 形
定 义
性 质
判 定
等
腰
三
角
形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
等边三角形的性质
一
讲授新课
类比探究
A
B
C
A
B
C
问题
1
等边三角形的三个内角之间有什么关系?
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和为
180
°
=60
°
结论:
等边三角形的三个内角都相等,并且每一 个角都等于
60
°
.
已知:
AB=AC=BC
,
求证:∠
A= ∠ B=∠C=
60°.
证明:
∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(
等边对等角
)
同理 ∠
A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
A
B
C
A
B
C
问题
2
等边三角形有“三线合一”的性质吗
?
等边三角形有几条对称轴?
结论
:
等边三角形
每条边上的中线
,
高和所对角的平分线
都“三线合一”
.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
图形
等腰三角形
性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等,
对称
轴
(
3
条)
等边三角形
对称
轴
(
1
条)
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是
60º
两条边相等
三条边都相等
知识要点
例
1
如图,
△
ABC
是等边三角形,
E
是
AC
上一点,
D
是
BC
延长线上一点,连接
BE
,
DE
,若
∠
ABE
=
40°
,
BE
=
DE
,求
∠
CED
的度数.
解:
∵△
ABC
是等边三角形,
∴∠
ABC
=
∠
ACB
=
60°.
∵∠
ABE
=
40°
,
∴∠
EBC
=
∠
ABC
-
∠
ABE
=
60°
-
40°
=
20°.
∵
BE
=
DE
,
∴∠
D
=
∠
EBC
=
20°
,
∴∠
CED
=
∠
ACB
-
∠
D
=
40°.
典例精析
方法总结:
等边三角形是特殊的三角形,它的三个内角都是
60°
,这个性质常应用在求三角形角度的问题上,一般需结合
“
等边对等角
”
、三角形的内角和与外角的性质
.
变式训练:
如图,
△ABC
是等边三角形,
BD
平分
∠ABC
,延长
BC
到
E
,使得
CE=CD
.求证:
BD=DE
.
证明:∵△ABC是等边三角形,BD是角平分线,
∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°.
又∵CE=CD,
∴∠CDE=∠CED.
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED,
∴∠CDE=∠CED=30°.
∴∠DBC=∠DEC.
∴DB=DE(等角对等边).
例
2
△
ABC
为正三角形,点
M
是
BC
边上任意一点,点
N
是
CA
边上任意一点,且
BM
=
CN
,
BN
与
AM
相交于
Q
点,
∠
BQM
等于多少度?
解:
∵△
ABC
为正三角形,
∴∠
ABC
=
∠
C
=
∠
BAC
=
60°
,
AB
=
BC
.
又
∵BM
=
CN
,
∴△
AMB
≌
△
BNC
(SAS)
,
∴∠
BAM
=
∠
CBN
,
∴∠
BQM
=
∠
ABQ
+
∠
BAM
=
∠
ABQ
+
∠
CBN
=
∠
ABC
=
60°.
方法总结:
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用,一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等,而后利用全等及等边三角形的性质,求角度或证明边相等
.
类比探究
等边三角形的判定
二
图形
等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看:
两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看:
两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法
“
两条边相等且有一个角是
60
°
的三角形也是等边三角形
”
,你同意吗?
等边三角形的判定方法:
有一个角是
60°
的等腰三角形是等边三角形
.
辩一辩:
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形
.
(
1
)
(
2
)
(
6
)
(
5
)
不
是
是
是
是
是
(
4
)
(
3
)
不一定
是
例
3
如图
,
在等边三角形
ABC
中,
DE
∥
BC
,
求证:
△
ADE
是等边三角形
.
A
C
B
D
E
典例精析
证明:
∵
△
ABC
是等边三角形,
∴
∠
A
=
∠
B
=
∠
C
.
∵
DE//BC
,
∴
∠
ADE
=
∠
B
,
∠
AED
=
∠
C
.
∴
∠
A
=
∠
ADE
=
∠
AED.
∴
△
ADE
是等边三角形
.
想一想:
本题还有其他证法吗?
证明:
∵
△
ABC
是等边三角形,
∴
∠
A
=∠
ABC
=∠
ACB
=60°
.
∵
DE∥BC
,
∴
∠
ABC
=∠
ADE
,
∠
ACB
=∠
AED
.
∴
∠
A
=∠
ADE
=∠
AED
.
∴
△
ADE
是等边三角形
.
变式
1
若点
D
、
E
在边
AB
、
AC
的延长线上,且
DE∥BC
,结论还成立吗?
A
D
E
B
C
变式
2
若点
D
、
E
在边
AB
、
AC
的反向延长线上,
且
DE∥BC
,结论依然成立吗?
证明:
∵
△
ABC
是等边三角形,
∴
∠
BAC
=∠
B
=∠
C
=60°
.
∵
DE∥BC
,
∴
∠
B
=∠
D
,
∠
C
=∠
E
.
∴
∠
EAD
=∠
D
=∠
E
.
∴
△
ADE
是等边三角形.
A
D
E
B
C
变式
3
:
上题中
,
若将条件
DE
∥
BC
改为
AD=AE
,
△
ADE
还是等边三角形吗
?
试说明理由
.
A
C
B
D
E
证明:
∵
△
ABC
是等边三角形,
∴
∠
A
=
∠
B
=
∠
C
.
∵
AD=AE
,
∴
∠
ADE
=
∠
B
,
∠
AED
=
∠
C
.
∴
∠
A
=
∠
ADE
=
∠
AED.
∴
△
ADE
是等边三角形
.
例
4
等边
△
ABC
中,点
P
在
△
ABC
内,点
Q
在
△
ABC
外,且
∠
ABP
=
∠
ACQ
,
BP
=
CQ
,问
△
APQ
是什么形状的三角形?试证明你的结论.
解:
△
APQ
为等边三角形.
证明如下:
∵△
ABC
为等边三角形,
∴
AB
=
AC
.
∵BP
=
CQ
,
∠ABP
=
∠ACQ
,
∴△
ABP
≌
△
ACQ
(SAS)
,
∴
AP
=
AQ
,
∠
BAP
=
∠
CAQ
.
∵∠
BAC
=
∠
BAP
+
∠
PAC
=
60°
,
∴∠
PAQ
=
∠
CAQ
+
∠
PAC
=
60°
,
∴△
APQ
是等边三角形.
方法总结:判定一个三角形是等边三角形有以下方法:一是证明三角形三条边相等;二是证明三角形三个内角相等;三是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于
60°.
针对训练:
如图,等边△ABC中,D、E、F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.
求证:△DEF是等边三角形.
证明:∵△ABC为等边三角形,且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE,∠A=∠B=∠C=60°,
∴△ADF
≌
△BED
≌
△CFE(SAS),
∴DF=ED=EF,
∴△DEF是等边三角形.
当堂练习
2.
如图,等边三角形
ABC
的三条角平分线交于点
O
,
DE∥BC
,则这个图形中的等腰三角形共有( )
A. 4
个
B. 5
个
C. 6
个
D. 7
个
D
A
C
B
D
E
O
1.
等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是( )
A.105° B.120° C.135° D.150°
B
3.
在等边△ABC中,BD平分∠ABC,BD=BF,则∠CDF的度数是( )
A.10° B.15°
C.20° D.25°
4.
如图
,
△
ABC
和
△
ADE
都是等边三角形,已知
△
ABC
的周长为
18cm,
EC
=2cm
,
则
△
ADE
的周长是
cm.
A
C
B
D
E
12
B
5.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以AB为边在△ABC外作等边△ABD,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.求证:△AEF
≌
△BEC.
证明:∵△ABD是等边三角形,
∴∠DAB=60°,
∵∠CAB=30°,∠ACB=90°,
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°,
∴∠FAE=∠EBC.
∵E为AB的中点,
∴AE=BE.
又
∵
∠
AE
F=∠BEC,
∴△AEF
≌
△BEC(ASA).
6.
如图,
A
、
O
、
D
三点共线,
△
OAB
和
△
OCD
是两个全等的等边三角形,求
∠
AEB
的大小
.
C
B
O
D
A
E
解:
∵
△
OAB
和
△
OCD
是两个全等的等边三角形
.
∴
AO
=
BO
,
CO
=
DO
, ∠AOB=∠COD=60°.
∵
A
、
O
、
D
三点共线,
∴
∠
DOB
=∠
COA
=120°
,
∴
△
COA
≌
△
DOB
(SAS).
∴
∠
DBO
=∠
CAO.
设
OB
与
EA
相交于点
F
,
∵
∠
EFB
=∠
AFO
,
∴
∠
AEB
=∠
AOB
=60°.
F
7.
图
①
、图
②
中,点
C
为线段
AB
上一点,
△
ACM
与
△
CBN
都是等边三角形.
(1)
如图
①
,线段
AN
与线段
BM
是否相等?请说明理由;
(2)
如图
②
,
AN
与
MC
交于点
E
,
BM
与
CN
交于点
F
,探究
△
CEF
的形状,并证明你的结论.
拓展提升:
图
①
图
②
解:
(1)
AN
=
BM
.
理由:
∵△
ACM
与
△
CBN
都是等边三角形,
∴
AC
=
MC
,
CN
=
CB
,
∠
ACM
=
∠
BCN
=
60°.
∴∠
ACN
=
∠
MCB
.
∴△
ACN
≌
△
MCB
(SAS)
.
∴
AN
=
BM
.
图
①
(2)△
CEF
是等边三角形.
证明:
∵∠ACE
=
∠FCM=60
°,
∴∠ECF=60
°
.
∵△
ACN
≌
△
MCB
,
∴∠
CAE
=
∠
CMB
.
∵AC
=
MC
,
∴△
ACE
≌
△
MCF
(ASA)
,
∴
CE
=
CF
.
∴△
CEF
是等边三角形.
图
②
课堂小结
等边
三角形
定义
底
=
腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于
60 °
轴对称性
轴对称图形,每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
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