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  • 2021-10-26 发布

2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题08 全等三角形 热考题型

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‎2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题08 全等三角形 热考题型 考查题型 ‎(本专题勾股定理部分的习题选做)‎ 勾股定理概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;‎ 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,,斜边为,那么 变式:‎ ‎1)a²=c²- b²‎ ‎2)b²=c²- a²‎ 适用范围:勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形。‎ 知识点一 三角形全等 l 题型一 已知两边,找夹角SAS 典例1(2018春 南通市期中)如图,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC,‎ ‎(1)求证:△ABE≌△ACF;‎ ‎(2)若∠BAE=30°,则∠ADC=   °.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)75.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠ACF,‎ 在△ABE和△ACF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△ACF(SAS);‎ ‎(2)∵△ABE≌△ACF,∠BAE=30°,‎ ‎∴∠CAF=∠BAE=30°,‎ ‎∵AD=AC,‎ ‎∴∠ADC=∠ACD,‎ ‎∴∠ADC==75°,‎ 故答案为:75.‎ 典例2(2019·四川中考模拟)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【详解】‎ ‎∵BE=CF,‎ ‎∴BE+EF=CF+EF,‎ ‎∴BF=CE,‎ 在△ABF和△DCE中 ‎,‎ ‎∴△ABF≌△DCE(SAS),‎ ‎∴∠GEF=∠GFE,‎ ‎∴EG=FG.‎ 典例3(2018春 赣州市期末)已知,点P是等边三角形△ABC中一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ、QC.‎ ‎(1)求证:PB=QC;‎ ‎(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,求PC的长度.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)5.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,‎ ‎∴AP=AQ,∠PAQ=60°,‎ ‎∴△APQ是等边三角形,∠PAC+∠CAQ=60°,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠BAP+∠PAC=60°,AB=AC,‎ ‎∴∠BAP=∠CAQ,‎ 在△BAP和△CAQ中 ‎,‎ ‎∴△BAP≌△CAQ(SAS),‎ ‎∴PB=QC;‎ ‎(2)解:∵由(1)得△APQ是等边三角形,‎ ‎∴AP=PQ=3,∠AQP=60°,‎ ‎∵∠APB=150°,‎ ‎∴∠PQC=150°﹣60°=90°,‎ ‎∵PB=QC,‎ ‎∴QC=4,‎ ‎∴△PQC是直角三角形,‎ ‎∴PC===5.‎ l 题型二 已知两边,找直角HL 典例1(2017春 孝南区期中)如图,BD=CF,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BE=CD,若∠AFD=145°,则∠EDF的度数为( )‎ A.45° B.55° C.35° D.65°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵∠DFC+∠AFD=180°,∠AFD=145°,‎ ‎∴∠DFC=35°,‎ ‎∵DE⊥AB,DF⊥BC,‎ ‎∴∠BED=∠CDF=90°.‎ ‎∵在Rt△BDE与Rt△CFD中BE=CD,BD=CF,‎ ‎∴Rt△BDE≌△Rt△CFD,‎ ‎∴∠BDE=∠CFD=35°.‎ ‎∵∠EDF+∠BDE=90°,‎ ‎∴∠EDF=55°.‎ 故选B.‎ 典例2(2018春 南昌市期末)如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=( )‎ A.40° B.50°‎ C.60° D.75°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 详解:∵∠B=∠D=90°‎ 在Rt△ABC和Rt△ADC中 ‎,‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)‎ ‎∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°.‎ 故选:B.‎ 典例3(2017春 西城区期中)如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为(  )‎ A.4 B.6 C.16 D.55‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,‎ ‎∴∠ACB=∠DEC,∵∠ABC=∠CDE,AC=CE,‎ ‎∴△ABC≌△CDE,∴BC=DE.‎ ‎∴(如上图),根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,‎ ‎∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16.‎ 故选C.‎ 题型三 已知两边,找第三边SSS 典例1 (2019春 眉山市期末)如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?(  )‎ A.115 B.120 C.125 D.130‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 详解:∵三角形ACD为正三角形,‎ ‎∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°,‎ ‎∵AB=DE,BC=AE,‎ ‎∴△ABC≌△DEA,‎ ‎∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠EAD,∠BAC=∠ADE,‎ ‎∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°,‎ ‎∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°,‎ 故选:C.‎ 典例2(2018春 小店区期末)在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点,根据图中标示的各点位置,与△ABC全等的是(  )‎ A.△ACF     B.△ACE     C.△ABD    D.△CEF ‎【答案】C ‎【详解】‎ 在△ABC中,AB==,BC==,AC=2,‎ A、在△ACF中,AF==≠,≠,≠2,则△ACF与△ABC不全等,故不符合题意; ‎ B、在△ACE中,AE=3≠,3≠,3≠2,则△ACE与△ABC不全等,故不符合题意; ‎ C、在△ABD中,AB=AB,AD==BC,BD=2=AC,则由SSS可证明△ACE与△ABC全等,故符合题意; ‎ D、在△CEF中,CF=3≠,3≠,3≠2,则△CEF与△ABC不全等,故不符合题意,‎ 故选C.‎ 典例3(2018春 杭州市期末)如图,OA=OB,OC=OD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有( )‎ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解:∵OA=OB,OC=OD,AD=BC, ∴△DOA≌△COB(SSS); ∵OA=OB,OC=OD, ∴AC=BD, ∵AB=AB,AD=BC, ∴△ABD≌△BAC(SSS); ∵AD=BC,AC=BD,DC=CD ∴△ADC≌△BCD(SSS). 故选:C.‎ 典例4(2018·富顺县期中)如图,点三点在同一直线上,且;若,则的度数为( )‎ A.49° B.47° C.45° D.43°‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 在△ABC和△ADE中,‎ ‎∴△ABC≌△ADE(SSS),‎ ‎∴∠ABC=∠1,∠BAC=∠2,‎ 在△ABC中,由三角形的外角性质得,∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2,‎ ‎∵∠1+∠2+∠3=94°,‎ ‎∴2∠3=94°,‎ ‎∴∠3=47°.‎ 故选B.‎ l 题型四 已知一边一角(若边为角的对边,找任意角AAS)‎ 典例1 如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.‎ ‎(1)求证:EF=DF﹣BE;‎ ‎(2)若△ADF的周长为,求EF的长.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 详解:(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,‎ ‎∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,‎ ‎∴∠DAF=∠ABE,‎ 在△ADF和△BAE中,∠DAF=∠ABE,∠DFA=∠AEB,AD=AB,‎ ‎∴△ADF≌△BAE(AAS),‎ ‎∴AF=BE,DF=AE,‎ ‎∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;‎ ‎(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,‎ 即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,‎ ‎∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣,∴a﹣b=,即EF=.‎ 典例2 如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.‎ ‎(1)求证:AC=CD;‎ ‎(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)112.5°.‎ ‎【详解】‎ 证明:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在△ABC和△DEC中,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)∵∠ACD=90°,AC=CD,‎ ‎∴∠1=∠D=45°,‎ ‎∵AE=AC,‎ ‎∴∠3=∠5=67.5°,‎ ‎∴∠DEC=180°-∠5=112.5°.‎ 典例3(2017春 南阳市期中)如图所示,在△ABC中,AB =AC,E为AB上一点,F为AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于D,求证:DE=DF.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析:‎ 证明:过点E作EG∥AF交BC于点G,‎ ‎∴∠DEG=∠F,∠BGE=∠BCA.‎ ‎∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,‎ ‎∴∠B=∠BGE,∴BE=GE,‎ ‎∵BE=CF,∴GE=CF.‎ 在△DEG和△DFC中,‎ ‎∴△DEG≌△DFC,‎ ‎∴DE=DF.‎ l 题型五 已知一边一角(边为角的邻边(找已知角的另一边SAS))‎ 典例1 (2017春 南京市期末)如图,线段AD、BE相交与点C,且△ABC≌△DEC,点M、N分别为线段AC、CD的中点.求证:‎ ‎(1)ME=BN; ‎ ‎(2)ME∥BN.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵△ABC≌△DEC,∴AC=DC,BC=CE.‎ ‎∵点M、N分别为线段AC、CD的中点, ∴CM=CN.‎ 在△BCN和△ECM中 ‎∵AC=DC, ∠BCN=∠ECM,BC=CE ‎∴△BCN≌△ECM(SAS)‎ ‎∴ME=BN.‎ ‎(2)∵△BCN≌△ECM,‎ ‎∴∠CBN=∠CEM,‎ ‎∴ME∥BN.‎ 典例2(2019春 连云港市期末)已知:如图:△ABC是等边三角形,点D、E分别是边BC、CA上的点,且BD=CE,AD、BE相交于点O.‎ ‎(1)求证:△ACD≌△BAE;(2)求∠AOB的度数.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)120°‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠BAC=∠C=60°,BC=AC,‎ ‎∵BD=CE,‎ ‎∴BC-BD=AC-CE,‎ ‎∴AE=CD,‎ 在△ACD和△BAE中 ‎ ‎ ‎∴△ACD≌△BAE(SAS);‎ ‎(2)∵△ACD≌△BAE,‎ ‎∴∠CAD=∠ABE,‎ ‎∴∠AOE=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°,‎ ‎∴∠AOB=180°-60°=120°.‎ 典例3 (2019春 济南市期中)如图,点E,F在AC上,AD//CB,AD=CB,AF=CE.求证:∠D=∠B.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【详解】‎ 证明:∵AF=CE ‎∴AF+EF=EF+CE ‎∴AE=CF ‎ ‎ ‎,‎ ‎.‎ l 题型六 已知一边一角(边为角的邻边(找已知边的对角AAS))‎ 典例1(2019春 白云区期末)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,且AD=CD,‎ ‎(1)求证:△ABD≌△CFD;‎ ‎(2)已知BC=7,AD=5,求AF的长。‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)3.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:∵AD⊥BC,CE⊥AB,‎ ‎∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°,‎ ‎∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°,‎ ‎∴∠BAD=∠OCD,‎ 在△ABD和CFD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△CFD(AAS),‎ ‎(2)∵△ABD≌△CFD,‎ ‎∴BD=DF,‎ ‎∵BC=7,AD=DC=5,‎ ‎∴BD=BC﹣CD=2,‎ ‎∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3.‎ 典例2 (2017 江宁区月考)如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:AB=CF;‎ ‎(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥DF,‎ ‎∴∠BAE=∠F,‎ ‎∵E是BC的中点,‎ ‎∴BE=CE,‎ 在△AEB和△FEC中,‎ ‎ ,‎ ‎∴△AEB≌△FEC(AAS), ‎ ‎∴AB=CF; ‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,‎ ‎∵AB=CF,DF=DC+CF ,‎ ‎∴DF=2CF,‎ ‎∴DF=2AB,‎ ‎∵AD=2AB, ‎ ‎∴AD=DF,‎ ‎∵△AEB≌△FEC,‎ ‎∴AE=EF,‎ ‎∴ED⊥AF 典例3(2018春 宿迁市期末)如图,点A、F、C、D在同一条直线上,已知AF=DC,∠A=∠D,BC∥EF,求证:AB=DE.‎ ‎【答案】见解析 ‎【详解】‎ ‎∵AF=CD,‎ ‎∴AC=DF,‎ ‎∵BC∥EF,‎ ‎∴∠ACB=∠DFE,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA),‎ ‎∴AB=DE.‎ l 题型七 已知一边一角(边为角的邻边(找已知边的另一角ASA))‎ 典例1 (2018春 保定市期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.‎ 求证:BC=DE.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵∠1=∠2,‎ ‎∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC ‎∴∠BAC=∠DAE,‎ 在△ABC和△ADE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADE≌△ABC(ASA)‎ ‎∴BC=DE,‎ 典例2 (2018春 桑植县期末)已知:如下图,点A,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,AB=CD,∠B=∠D.求证:⊿ABE≌⊿CDF.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【详解】‎ 证明:∵AB∥DC,‎ ‎∴∠A=∠C 在⊿ABE和⊿CDF中,‎ ‎ ‎ ‎ ∴△ABE≌△CDF(ASA)‎ 典例3 如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在 AC 边上,∠1=∠2,AE和BD 相交于点O.求证:△AEC≌△BED;‎ ‎【答案】见解析 ‎【详解】‎ ‎∵AE和BD相交于点O, ∴∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中, ∠A=∠B,∴∠BEO=∠2. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠BEO, ∴∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中,‎ ‎ ‎ ‎∴△AEC≌△BED(ASA).‎ l 题型八 已知两角,找两角的夹边ASA 典例1 如图,点B、F、C、E在同一条直线上,点A、D在直线BE的两侧,AB∥DE,AC∥DF,BF=CE,求证:AC=DF.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【详解】‎ 证明:∵AB∥DE,AC∥DF, ∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE. ∵BF+FC=EC+CF,BF=CE, 即BC=EF. 在△ABC和△DEF中 ‎ ‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA). ∴AC=DF.‎ 典例2 (2018·云南中考模拟)如图,在△DAE和△ABC中,D是AC上一点,AD=AB,DE∥AB,∠E=∠C.‎ 求证:AE=BC.‎ ‎【答案】见解析 ‎【详解】‎ 证明:∵DE∥AB,‎ ‎∴∠ADE=∠BAC.‎ 在△ADE和△BAC中,‎ ‎ ,‎ ‎∴△ADE≌△BAC(AAS),‎ ‎∴AE=BC.‎ l 题型九 已知两角,找任意一边AAS ‎ 典例1 (2018春 西湖区期末)已知:如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,∠A=∠D,∠BED=∠AFC,AF 与 DE交于点 O.求证:OA=OD.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 解:∵BE=CF,∠BED=∠AFC, ‎ ‎∴BF=CE,∠AFB=∠CED, ‎ 又∵∠A=∠D,‎ ‎∴△ABF≌△DCE(AAS),‎ ‎∴AF=DE,‎ ‎∵∠AFB=∠CED,∴OE=OF,‎ ‎∴AF-OF=DE-OE, ‎ 即 OA=OD.‎ 典例2‎ ‎(2017·重庆中考模拟)如图AF//DE,点B、C在线段AD上,连接FC、EB,且∠E=∠F,延长EB交AF于点G.‎ ‎(1)求证:BE//CF ‎(2)若CF=BE,求证:AB=CD ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)∵AF//DE ‎∴∠AGB=∠E 又∠E=∠F ‎∴∠AGB=∠F,‎ ‎∴BE//CF ‎(2)∵BE//CF ‎∴∠DBE=∠ACF ‎∵∠E=∠F, CF=BE,‎ ‎∴ΔACF≌ΔDBE,‎ ‎∴AC=BD,‎ ‎∴AB=CD.‎ 典例3 (2019春 锦州市期末)如图,已知,,,在同一直线上,,,.试说明:.‎ ‎【答案】见解析;‎ ‎【详解】‎ 证明∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,即.‎ 在和中,‎ ‎,‎ ‎∴(AAS)‎ 知识点二 角平分线的应用 l 题型一 图中有角平分线,向两边作垂线 典例1 (2019·襄樊市月考)在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【详解】‎ 过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,‎ 即∠EMD=∠FND=90°,‎ ‎∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,‎ ‎∴DM=DN(角平分线性质),‎ ‎∵∠EAF+∠EDF=180°,‎ ‎∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°,‎ ‎∵∠AFD+∠NFD=180°,‎ ‎∴∠MED=∠NFD,‎ 在△EMD和△FND中 ‎,‎ ‎∴△EMD≌△FND(AAS),‎ ‎∴DE=DF.‎ 典例2 (2019·襄樊市月考)在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【详解】‎ 过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,‎ 即∠EMD=∠FND=90°,‎ ‎∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,‎ ‎∴DM=DN(角平分线性质),‎ ‎∵∠EAF+∠EDF=180°,‎ ‎∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°,‎ ‎∵∠AFD+∠NFD=180°,‎ ‎∴∠MED=∠NFD,‎ 在△EMD和△FND中 ‎,‎ ‎∴△EMD≌△FND(AAS),‎ ‎∴DE=DF.‎ l 题型二 角平分线加垂线,三线合一试试看 典例1如图,已知AE⊥FE,垂足为E,且E是DC的中点.‎ ‎(1)如图①,如果FC⊥DC,AD⊥DC,垂足分别为C,D,且AD=DC,判断AE是∠FAD的角平分线吗?(不必说明理由)‎ ‎(2)如图②,如果(1)中的条件“AD=DC”去掉,其余条件不变,(1)中的结论仍成立吗?请说明理由;‎ ‎(3)如图③,如果(1)中的条件改为“AD∥FC”,(1)中的结论仍成立吗?请说明理由.‎ ‎【答案】(1)AE是∠FAD的角平分线(2)成立(3)成立 ‎【详解】‎ ‎(1)AE是∠FAD的角平分线;‎ ‎(2)成立,如图,延长FE交AD于点B,‎ ‎∵E是DC的中点,‎ ‎∴EC=ED,‎ ‎∵FC⊥DC,AD⊥DC,‎ ‎∴∠FCE=∠EDB=90°,‎ 在△FCE和△BDE中,‎ ‎,‎ ‎∴△FCE≌△BDE,‎ ‎∴EF=EB,‎ ‎∵AE⊥FE,‎ ‎∴AF=AB,‎ ‎∴AE是∠FAD的角平分线;‎ ‎(3)成立,如图,延长FE交AD于点B,‎ ‎∵AD=DC,‎ ‎∴∠FCE=∠EDB,‎ 在△FCE和△BDE中,‎ ‎,‎ ‎∴△FCE≌△BDE,‎ ‎∴EF=EB,‎ ‎∵AE⊥FE,‎ ‎∴AF=AB,‎ ‎∴AE是∠FAD的角平分线.‎ l 题型三 角平分线平行线,等腰三角形来填 典例1 (2017春 赣州市期末)如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE//BC,分别交AB,AC于点D,E,若AB=4,AC=3,则△ADE的周长是_______________。‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 解:∵BO平分∠ABC,‎ ‎∴∠DBO=∠CBO,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴∠CBO=∠DOB,‎ ‎∴∠DBO=∠DOB,‎ ‎∴BD=DO,‎ 同理OE=EC,‎ ‎∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7.‎ 故答案为:7.‎ 典例2 (2018·江苏中考模拟)如图,AB∥CD,CB平分∠ACD,∠ABC=35°,则∠BAE=__________度.‎ ‎【答案】70‎ ‎【详解】∵AB∥CD,∠ABC=35°,‎ ‎∴∠BCD=∠B=35°,‎ ‎∵CB平分∠ACD,‎ ‎∴∠BAE=2∠BCD=70°‎ 故正确答案为:70.‎ l 题型四 图形对折问题 典例1 (2017 丹阳市月考)如图a是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是____________°.‎ ‎【答案】105°‎ ‎【解析】‎ 由图a知,∠EFC=155°.‎ 图b中,∠EFC=155°,则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.‎ 图c中,∠GFC=130°,则∠CFE=130°-25°=105°. ‎ 故答案为:105°.‎ 典例2 (2019 道外区期末)如图a是长方形纸带(提示:AD∥BC),将纸带沿EF折叠成图b,再沿GF折叠成图c.‎ ‎(1)若∠DEF=20°,则图b中∠EGB=______,∠CFG=______;‎ ‎(2)若∠DEF=20°,则图c中∠EFC=______;‎ ‎(3)若∠DEF=α,把图c中∠EFC用α表示为______;‎ ‎(4)若继续按EF折叠成图d,按此操作,最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG,整个过程共折叠了9次,问图a中∠DEF的度数是多少.‎ ‎【答案】(1)40°,140°;(2)120°;(3)180°﹣3α;(4)18°.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵长方形的对边是平行的,‎ ‎∴∠BFE=∠DEF=20°,‎ ‎∴∠EGB=∠BFE+∠DEF=40°,‎ ‎∴∠FGD=∠EGB=40°,‎ ‎∴∠CFG=180°﹣∠FGD=140°;‎ 故答案为:40°,140°;‎ ‎(2)∵长方形的对边是平行的,‎ ‎∴∠BFE=∠DEF=20°,‎ ‎∴图a、b中的∠CFE=180°﹣∠BFE,以下每折叠一次,减少一个∠BFE,‎ ‎∴图c中的∠EFC度数是120°;‎ 故答案为:120°;‎ ‎(3)由(2)中的规律,可得∠CFE=180°﹣3α.‎ 故答案为:180°﹣3α;‎ ‎(4)设图a中∠DEF的度数是x°,‎ 由(2)中的规律,可得180﹣(9+1)x=0.‎ 解得:x=18.‎ 故答案为:18°.‎