- 781.00 KB
- 2021-10-26 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题08 全等三角形 热考题型
考查题型
(本专题勾股定理部分的习题选做)
勾股定理概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,,斜边为,那么
变式:
1)a²=c²- b²
2)b²=c²- a²
适用范围:勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形。
知识点一 三角形全等
l 题型一 已知两边,找夹角SAS
典例1(2018春 南通市期中)如图,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC,
(1)求证:△ABE≌△ACF;
(2)若∠BAE=30°,则∠ADC= °.
【答案】(1)证明见解析;(2)75.
【详解】
(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠ACF,
在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF(SAS);
(2)∵△ABE≌△ACF,∠BAE=30°,
∴∠CAF=∠BAE=30°,
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD,
∴∠ADC==75°,
故答案为:75.
典例2(2019·四川中考模拟)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.
【答案】证明见解析.
【详解】
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=CE,
在△ABF和△DCE中
,
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴∠GEF=∠GFE,
∴EG=FG.
典例3(2018春 赣州市期末)已知,点P是等边三角形△ABC中一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ、QC.
(1)求证:PB=QC;
(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,求PC的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)5.
【详解】
(1)证明:∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,
∴AP=AQ,∠PAQ=60°,
∴△APQ是等边三角形,∠PAC+∠CAQ=60°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAP+∠PAC=60°,AB=AC,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△BAP和△CAQ中
,
∴△BAP≌△CAQ(SAS),
∴PB=QC;
(2)解:∵由(1)得△APQ是等边三角形,
∴AP=PQ=3,∠AQP=60°,
∵∠APB=150°,
∴∠PQC=150°﹣60°=90°,
∵PB=QC,
∴QC=4,
∴△PQC是直角三角形,
∴PC===5.
l 题型二 已知两边,找直角HL
典例1(2017春 孝南区期中)如图,BD=CF,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BE=CD,若∠AFD=145°,则∠EDF的度数为( )
A.45° B.55° C.35° D.65°
【答案】B
【解析】
∵∠DFC+∠AFD=180°,∠AFD=145°,
∴∠DFC=35°,
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠BED=∠CDF=90°.
∵在Rt△BDE与Rt△CFD中BE=CD,BD=CF,
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD,
∴∠BDE=∠CFD=35°.
∵∠EDF+∠BDE=90°,
∴∠EDF=55°.
故选B.
典例2(2018春 南昌市期末)如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=( )
A.40° B.50°
C.60° D.75°
【答案】B
【解析】
详解:∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°.
故选:B.
典例3(2017春 西城区期中)如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为( )
A.4 B.6 C.16 D.55
【答案】C
【解析】
∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,
∴∠ACB=∠DEC,∵∠ABC=∠CDE,AC=CE,
∴△ABC≌△CDE,∴BC=DE.
∴(如上图),根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,
∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16.
故选C.
题型三 已知两边,找第三边SSS
典例1 (2019春 眉山市期末)如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?( )
A.115 B.120 C.125 D.130
【答案】C
【解析】
详解:∵三角形ACD为正三角形,
∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°,
∵AB=DE,BC=AE,
∴△ABC≌△DEA,
∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠EAD,∠BAC=∠ADE,
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°,
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°,
故选:C.
典例2(2018春 小店区期末)在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点,根据图中标示的各点位置,与△ABC全等的是( )
A.△ACF B.△ACE C.△ABD D.△CEF
【答案】C
【详解】
在△ABC中,AB==,BC==,AC=2,
A、在△ACF中,AF==≠,≠,≠2,则△ACF与△ABC不全等,故不符合题意;
B、在△ACE中,AE=3≠,3≠,3≠2,则△ACE与△ABC不全等,故不符合题意;
C、在△ABD中,AB=AB,AD==BC,BD=2=AC,则由SSS可证明△ACE与△ABC全等,故符合题意;
D、在△CEF中,CF=3≠,3≠,3≠2,则△CEF与△ABC不全等,故不符合题意,
故选C.
典例3(2018春 杭州市期末)如图,OA=OB,OC=OD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【详解】
解:∵OA=OB,OC=OD,AD=BC,
∴△DOA≌△COB(SSS);
∵OA=OB,OC=OD,
∴AC=BD,
∵AB=AB,AD=BC,
∴△ABD≌△BAC(SSS);
∵AD=BC,AC=BD,DC=CD
∴△ADC≌△BCD(SSS).
故选:C.
典例4(2018·富顺县期中)如图,点三点在同一直线上,且;若,则的度数为( )
A.49° B.47° C.45° D.43°
【答案】B
【详解】
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SSS),
∴∠ABC=∠1,∠BAC=∠2,
在△ABC中,由三角形的外角性质得,∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2,
∵∠1+∠2+∠3=94°,
∴2∠3=94°,
∴∠3=47°.
故选B.
l 题型四 已知一边一角(若边为角的对边,找任意角AAS)
典例1 如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.
(1)求证:EF=DF﹣BE;
(2)若△ADF的周长为,求EF的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
详解:(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,
∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,
∴∠DAF=∠ABE,
在△ADF和△BAE中,∠DAF=∠ABE,∠DFA=∠AEB,AD=AB,
∴△ADF≌△BAE(AAS),
∴AF=BE,DF=AE,
∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;
(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,
即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,
∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣,∴a﹣b=,即EF=.
典例2 如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.
(1)求证:AC=CD;
(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)112.5°.
【详解】
证明:
在△ABC和△DEC中,,
(2)∵∠ACD=90°,AC=CD,
∴∠1=∠D=45°,
∵AE=AC,
∴∠3=∠5=67.5°,
∴∠DEC=180°-∠5=112.5°.
典例3(2017春 南阳市期中)如图所示,在△ABC中,AB =AC,E为AB上一点,F为AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于D,求证:DE=DF.
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析:
证明:过点E作EG∥AF交BC于点G,
∴∠DEG=∠F,∠BGE=∠BCA.
∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,
∴∠B=∠BGE,∴BE=GE,
∵BE=CF,∴GE=CF.
在△DEG和△DFC中,
∴△DEG≌△DFC,
∴DE=DF.
l 题型五 已知一边一角(边为角的邻边(找已知角的另一边SAS))
典例1 (2017春 南京市期末)如图,线段AD、BE相交与点C,且△ABC≌△DEC,点M、N分别为线段AC、CD的中点.求证:
(1)ME=BN;
(2)ME∥BN.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)∵△ABC≌△DEC,∴AC=DC,BC=CE.
∵点M、N分别为线段AC、CD的中点, ∴CM=CN.
在△BCN和△ECM中
∵AC=DC, ∠BCN=∠ECM,BC=CE
∴△BCN≌△ECM(SAS)
∴ME=BN.
(2)∵△BCN≌△ECM,
∴∠CBN=∠CEM,
∴ME∥BN.
典例2(2019春 连云港市期末)已知:如图:△ABC是等边三角形,点D、E分别是边BC、CA上的点,且BD=CE,AD、BE相交于点O.
(1)求证:△ACD≌△BAE;(2)求∠AOB的度数.
【答案】(1)证明见解析(2)120°
【解析】
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,BC=AC,
∵BD=CE,
∴BC-BD=AC-CE,
∴AE=CD,
在△ACD和△BAE中
∴△ACD≌△BAE(SAS);
(2)∵△ACD≌△BAE,
∴∠CAD=∠ABE,
∴∠AOE=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°,
∴∠AOB=180°-60°=120°.
典例3 (2019春 济南市期中)如图,点E,F在AC上,AD//CB,AD=CB,AF=CE.求证:∠D=∠B.
【答案】详见解析
【详解】
证明:∵AF=CE
∴AF+EF=EF+CE
∴AE=CF
,
.
l 题型六 已知一边一角(边为角的邻边(找已知边的对角AAS))
典例1(2019春 白云区期末)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,且AD=CD,
(1)求证:△ABD≌△CFD;
(2)已知BC=7,AD=5,求AF的长。
【答案】(1)证明见解析;(2)3.
【详解】
(1)证明:∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°,
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°,
∴∠BAD=∠OCD,
在△ABD和CFD中,
,
∴△ABD≌△CFD(AAS),
(2)∵△ABD≌△CFD,
∴BD=DF,
∵BC=7,AD=DC=5,
∴BD=BC﹣CD=2,
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3.
典例2 (2017 江宁区月考)如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=CF;
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
【答案】详见解析.
【解析】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DF,
∴∠BAE=∠F,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
在△AEB和△FEC中,
,
∴△AEB≌△FEC(AAS),
∴AB=CF;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∵AB=CF,DF=DC+CF ,
∴DF=2CF,
∴DF=2AB,
∵AD=2AB,
∴AD=DF,
∵△AEB≌△FEC,
∴AE=EF,
∴ED⊥AF
典例3(2018春 宿迁市期末)如图,点A、F、C、D在同一条直线上,已知AF=DC,∠A=∠D,BC∥EF,求证:AB=DE.
【答案】见解析
【详解】
∵AF=CD,
∴AC=DF,
∵BC∥EF,
∴∠ACB=∠DFE,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(ASA),
∴AB=DE.
l 题型七 已知一边一角(边为角的邻边(找已知边的另一角ASA))
典例1 (2018春 保定市期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.
求证:BC=DE.
【答案】证明见解析.
【解析】
(1)∵∠1=∠2,
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中,
,
∴△ADE≌△ABC(ASA)
∴BC=DE,
典例2 (2018春 桑植县期末)已知:如下图,点A,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,AB=CD,∠B=∠D.求证:⊿ABE≌⊿CDF.
【答案】详见解析.
【详解】
证明:∵AB∥DC,
∴∠A=∠C
在⊿ABE和⊿CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA)
典例3 如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在 AC 边上,∠1=∠2,AE和BD 相交于点O.求证:△AEC≌△BED;
【答案】见解析
【详解】
∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中,
∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED(ASA).
l 题型八 已知两角,找两角的夹边ASA
典例1 如图,点B、F、C、E在同一条直线上,点A、D在直线BE的两侧,AB∥DE,AC∥DF,BF=CE,求证:AC=DF.
【答案】详见解析.
【详解】
证明:∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∵BF+FC=EC+CF,BF=CE,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴AC=DF.
典例2 (2018·云南中考模拟)如图,在△DAE和△ABC中,D是AC上一点,AD=AB,DE∥AB,∠E=∠C.
求证:AE=BC.
【答案】见解析
【详解】
证明:∵DE∥AB,
∴∠ADE=∠BAC.
在△ADE和△BAC中,
,
∴△ADE≌△BAC(AAS),
∴AE=BC.
l 题型九 已知两角,找任意一边AAS
典例1 (2018春 西湖区期末)已知:如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,∠A=∠D,∠BED=∠AFC,AF 与 DE交于点 O.求证:OA=OD.
【答案】见解析
【解析】
解:∵BE=CF,∠BED=∠AFC,
∴BF=CE,∠AFB=∠CED,
又∵∠A=∠D,
∴△ABF≌△DCE(AAS),
∴AF=DE,
∵∠AFB=∠CED,∴OE=OF,
∴AF-OF=DE-OE,
即 OA=OD.
典例2
(2017·重庆中考模拟)如图AF//DE,点B、C在线段AD上,连接FC、EB,且∠E=∠F,延长EB交AF于点G.
(1)求证:BE//CF
(2)若CF=BE,求证:AB=CD
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析
【解析】
(1)∵AF//DE
∴∠AGB=∠E
又∠E=∠F
∴∠AGB=∠F,
∴BE//CF
(2)∵BE//CF
∴∠DBE=∠ACF
∵∠E=∠F, CF=BE,
∴ΔACF≌ΔDBE,
∴AC=BD,
∴AB=CD.
典例3 (2019春 锦州市期末)如图,已知,,,在同一直线上,,,.试说明:.
【答案】见解析;
【详解】
证明∵,
∴
∵,
∴,即.
在和中,
,
∴(AAS)
知识点二 角平分线的应用
l 题型一 图中有角平分线,向两边作垂线
典例1 (2019·襄樊市月考)在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.
【答案】证明见解析.
【详解】
过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
即∠EMD=∠FND=90°,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN(角平分线性质),
∵∠EAF+∠EDF=180°,
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°,
∵∠AFD+∠NFD=180°,
∴∠MED=∠NFD,
在△EMD和△FND中
,
∴△EMD≌△FND(AAS),
∴DE=DF.
典例2 (2019·襄樊市月考)在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.
【答案】证明见解析.
【详解】
过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
即∠EMD=∠FND=90°,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN(角平分线性质),
∵∠EAF+∠EDF=180°,
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°,
∵∠AFD+∠NFD=180°,
∴∠MED=∠NFD,
在△EMD和△FND中
,
∴△EMD≌△FND(AAS),
∴DE=DF.
l 题型二 角平分线加垂线,三线合一试试看
典例1如图,已知AE⊥FE,垂足为E,且E是DC的中点.
(1)如图①,如果FC⊥DC,AD⊥DC,垂足分别为C,D,且AD=DC,判断AE是∠FAD的角平分线吗?(不必说明理由)
(2)如图②,如果(1)中的条件“AD=DC”去掉,其余条件不变,(1)中的结论仍成立吗?请说明理由;
(3)如图③,如果(1)中的条件改为“AD∥FC”,(1)中的结论仍成立吗?请说明理由.
【答案】(1)AE是∠FAD的角平分线(2)成立(3)成立
【详解】
(1)AE是∠FAD的角平分线;
(2)成立,如图,延长FE交AD于点B,
∵E是DC的中点,
∴EC=ED,
∵FC⊥DC,AD⊥DC,
∴∠FCE=∠EDB=90°,
在△FCE和△BDE中,
,
∴△FCE≌△BDE,
∴EF=EB,
∵AE⊥FE,
∴AF=AB,
∴AE是∠FAD的角平分线;
(3)成立,如图,延长FE交AD于点B,
∵AD=DC,
∴∠FCE=∠EDB,
在△FCE和△BDE中,
,
∴△FCE≌△BDE,
∴EF=EB,
∵AE⊥FE,
∴AF=AB,
∴AE是∠FAD的角平分线.
l 题型三 角平分线平行线,等腰三角形来填
典例1 (2017春 赣州市期末)如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE//BC,分别交AB,AC于点D,E,若AB=4,AC=3,则△ADE的周长是_______________。
【答案】7
【解析】
解:∵BO平分∠ABC,
∴∠DBO=∠CBO,
∵DE∥BC,
∴∠CBO=∠DOB,
∴∠DBO=∠DOB,
∴BD=DO,
同理OE=EC,
∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7.
故答案为:7.
典例2 (2018·江苏中考模拟)如图,AB∥CD,CB平分∠ACD,∠ABC=35°,则∠BAE=__________度.
【答案】70
【详解】∵AB∥CD,∠ABC=35°,
∴∠BCD=∠B=35°,
∵CB平分∠ACD,
∴∠BAE=2∠BCD=70°
故正确答案为:70.
l 题型四 图形对折问题
典例1 (2017 丹阳市月考)如图a是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是____________°.
【答案】105°
【解析】
由图a知,∠EFC=155°.
图b中,∠EFC=155°,则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中,∠GFC=130°,则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为:105°.
典例2 (2019 道外区期末)如图a是长方形纸带(提示:AD∥BC),将纸带沿EF折叠成图b,再沿GF折叠成图c.
(1)若∠DEF=20°,则图b中∠EGB=______,∠CFG=______;
(2)若∠DEF=20°,则图c中∠EFC=______;
(3)若∠DEF=α,把图c中∠EFC用α表示为______;
(4)若继续按EF折叠成图d,按此操作,最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG,整个过程共折叠了9次,问图a中∠DEF的度数是多少.
【答案】(1)40°,140°;(2)120°;(3)180°﹣3α;(4)18°.
【详解】
(1)∵长方形的对边是平行的,
∴∠BFE=∠DEF=20°,
∴∠EGB=∠BFE+∠DEF=40°,
∴∠FGD=∠EGB=40°,
∴∠CFG=180°﹣∠FGD=140°;
故答案为:40°,140°;
(2)∵长方形的对边是平行的,
∴∠BFE=∠DEF=20°,
∴图a、b中的∠CFE=180°﹣∠BFE,以下每折叠一次,减少一个∠BFE,
∴图c中的∠EFC度数是120°;
故答案为:120°;
(3)由(2)中的规律,可得∠CFE=180°﹣3α.
故答案为:180°﹣3α;
(4)设图a中∠DEF的度数是x°,
由(2)中的规律,可得180﹣(9+1)x=0.
解得:x=18.
故答案为:18°.
相关文档
- 北师大版七年级下数学期中测试卷2021-10-263页
- 初中历史部编版七年级上册期中测试2021-10-265页
- 2020秋初中道德与法治七年级上册期2021-10-2633页
- 部编版《道德与法治》七年级(上册)期2021-10-2613页
- 部编版语文七年级(上册)期中测试卷(附2021-10-2613页
- 部编版七年级历史(上册)期中测试卷(附2021-10-2612页
- 部编版七年级历史(上册)期中测试卷(附2021-10-2613页
- 商务星球版七年级地理(下册)期中测试2021-10-2617页
- 2018-2019山东省济南市槐荫区下学2021-10-2510页
- 初中道德与法治部编版八年级上册期2021-10-256页