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2019-2020学年山东省济南市章丘区八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 若a>b，则下列各式中一定成立的是( )
A.a+2b2 D.−2a>−2b
2. 在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（ ）
A.x2+2x+4＝(x+2)2 B.x2−4＝(x+4)(x−4)
C.x2−4x+4＝(x−2)2 D.x2+4＝(x+2)2
3. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.厨余垃圾FoodWaste
B.可回收物Recyclable
C.其他垃圾ResidualWaste
D.有害垃圾HazardousWaste
4. 若式子x−1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A.x≥1且x≠2 B.x≤1 C.x>1且x≠2 D.x<1
5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2, 1)，点B(3, −1)．平移线段AB，使点A落在点A1(−2, 2)处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A.(−1, −1) B.(−1, 0) C.(1, 0) D.(3, 0)
6. 如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A.在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
7. 直线l1:y＝k1x+b与直线l2:y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为（ ）
A.x>−1 B.x<−1 C.x<−2 D.x>−2
8. 下列说法不正确的是（ ）
A.平行四边形的对边平行且相等
B.平行四边形对角线互相平分
C.平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
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9. 若不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式2x+m<1成立，则m的取值范围是（ ）
A.m<−35 B.m≤−35 C.m>−35 D.m≥−35
10. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90∘得到相应的△ADE，若点D恰在线段BC的延长线上，则下列选项中错误的是（ ）
A.∠BAD＝∠CAE B.∠ACB＝120∘
C.∠ABC＝45∘ D.∠CDE＝90∘
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90∘，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
12. 已知x+1x=6，则x2+1x2=( )
A.38 B.36 C.34 D.32
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
分解因式：3ax2−12a＝________．
关于x的方程3x+a＝1的解是非负数，则a的取值范围是________．
若一个多边形的内角和与外角和之和是900∘，则该多边形的边数是________．
当m=________时，解分式方程x−5x−3=m3−x会出现增根．
我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45∘，那么该等腰三角形的顶角等于________．
如图，在▱ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题（本大题共9小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
解不等式组4(x+1)≤2x+6x−3<x−53 ，并写出它的所有非负整数解．
先化简，再求值：(x+1x−2−1)÷x2−2xx2−4x+4，其中x=3．
如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F，连结BE、DF，求证：四边形BEDF是平行四边形．
如图，在△ABC中，∠ACB＝45∘，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD．
（1）求证：△ABD≅△CED；
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（2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数．
阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2−4y2−2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2−4y2−2x+4y
＝(x2−4y2)−(2x−4y)
＝(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)
＝(x−2y)(x+2y−2)
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2−2xy+y2−4；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2−ab−ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A(−2, 2)，B(0, 5)，C(0, 2)．
（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则B1的坐标为________；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(−4, −6)，画出平移后对应的△A2B2C2，则B2的坐标为________；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为________．
复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的键子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90∘，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝4，请直接写出△PMN面积的最大值．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A (1, 1)，B (3, 2)．
（1）如图1，在y轴上是否存在一点P，使PA+PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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（2）如图2，点C坐标为(4, 1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形；
（3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标．
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参考答案与试题解析
2019-2020学年山东省济南市章丘区八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出四个选项中只有一项符合题目要求）
1.
【答案】
C
【考点】
不等式的性质
【解析】
根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】
解：A，a+2>b+2，故A错误；
B，a−2>b−2，故B错误；
C，a2>b2，故C正确；
D，−2a<−2b，故D错误.
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】
A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝(x+2)(x−2)，不符合题意；
C、原式＝(x−2)2，符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
3.
【答案】
D
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
4.
【答案】
A
【考点】
分式有意义、无意义的条件
二次根式有意义的条件
【解析】
分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：式子x−1x−2在实数范围内有意义，得
x−1≥0且x−2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
坐标与图形变化-平移
【解析】
利用平移变换的性质画出图形解决问题即可．
【解答】
如图，B1(−1, 0)，
6.
【答案】
C
【考点】
角平分线的性质
【解析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．
7.
【答案】
B
【考点】
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一次函数与一元一次不等式
【解析】
根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解．
【解答】
由图象知：x的不等式k1x+b>k2x的解集为x<−1，
8.
【答案】
C
【考点】
轴对称图形
中心对称图形
平行四边形的性质与判定
【解析】
分别根据平行四边形的性质与定义逐一判断即可．
【解答】
A．平行四边形的对边平行且相等，说法正确，故本选项不合题意；
B．平行四边形对角线互相平分，说法正确，故本选项不合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故原说法错误，故本选项符合题意；
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形说法正确，故本选项不合题意．
9.
【答案】
A
【考点】
解一元一次不等式
【解析】
求出不等式2x+53−1≤2−x的解，求出不等式3(x−1)+5>5x+2(m+x)的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解答】
解不等式2x+53−1≤2−x得：x≤45，
∵ 不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式2x+m<1成立，
∴ x<1−m2，
∴ 1−m2>45，
解得：m<−35，
10.
【答案】
B
【考点】
旋转的性质
【解析】
根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】
∵ 将△ABC绕点A逆时针旋转90∘得到相应的△ADE，
∴ ∠BAD＝∠CAE＝90∘，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，
∴ ∠ABC＝∠ADB＝45∘，
∴ ∠ADE＝45∘，
∴ ∠CDE＝90∘，
得不到∠ACB＝120∘，
故A，C，D正确，B错误，
11.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的判定与性质
勾股定理
三角形中位线定理
【解析】
根据三角形中位线定理求出DE，得到DF // BM，再证明EC＝EF=12AC，由此即可解决问题．
【解答】
解：在RT△ABC中，∵ ∠ABC＝90∘，AB＝8，BC＝6，
∴ AC=AB2+BC2=82+62=10，
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DF // BM，DE=12BC＝3，
∴ ∠EFC＝∠FCM，
∵ ∠FCE＝∠FCM，
∴ ∠EFC＝∠ECF，
∴ EC＝EF=12AC＝5，
∴ DF＝DE+EF＝3+5＝8．
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
完全平方公式
【解析】
此题考查了完全平方公式．
【解答】
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解：把x+1x=6两边平方得：(x+1x)2=x2+1x2+2=36，
则x2+1x2=34，
故选C．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
【答案】
3a(x+2)(x−2)
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
原式＝3a(x2−4)
＝3a(x+2)(x−2)．
【答案】
a≤1
【考点】
解一元一次不等式
一元一次方程的解
【解析】
首先要解这个关于x的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于a的不等式，最后求出a的取值范围．
【解答】
方程3x+a＝1，
解得：x=1−a3，
∵ 关于x的方程3x+a＝1的解是非负数，
∴ 1−a3≥0，
解得：a≤1．
【答案】
5
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360∘，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【解答】
∵ 多边形的内角和与外角和的总和为900∘，多边形的外角和是360∘，
∴ 多边形的内角和是900−360＝540∘，
∴ 多边形的边数是：540∘÷180∘+2＝3+2＝5．
【答案】
2
【考点】
分式方程的增根
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：分式方程可化为：x−5=−m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3−5=−m，解得m=2，
故答案为：2．
【答案】
90∘或30∘
【考点】
等腰三角形的性质
【解析】
本题主要考查了等腰三角形的性质．
【解答】
解：设最小角为x，则最大角为x+45∘，
当最小角是顶角时，则x+x+45∘+x+45∘＝180∘，
解得x＝30∘，
当最大角为顶角时，x+x+45∘+x＝180∘，
解得x＝45∘，
即等腰三角形的顶角为30∘或90∘，
故答案为：30∘或90∘．
【答案】
①②④
【考点】
平行四边形的性质
直角三角形斜边上的中线
全等三角形的性质与判定
【解析】
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定，即可得出△AEF≅△DMF(ASA)，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】
①∵ F是AD的中点，
∴ AF＝FD，
∵ 在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴ AF＝FD＝CD，
∴ ∠DFC＝∠DCF，
∵ AD // BC，
∴ ∠DFC＝∠FCB，
∴ ∠DCF＝∠BCF，
∴ 2∠DCF＝∠BCD，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，
∴ ∠A＝∠MDF，
∵ F为AD中点，
∴ AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，
∴ △AEF≅△DMF(ASA)，
∴ FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵ CE⊥AB，
∴ ∠AEC＝90∘，
∴ ∠AEC＝∠ECD＝90∘，
∵ FM＝EF，
∴ FC＝FE＝FM，故②正确；
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③∵ EF＝FM，
∴ S△EFC＝S△CFM，
∵ MC>DC，
∴ S△CDF<S△CFM，
故S△CDF＝S△CEF不成立，故③错误；
④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴ ∠DCF＝∠DFC＝90∘−x，
∴ ∠EFC＝180∘−2x，
∴ ∠EFD＝90∘−x+180∘−2x＝270∘−3x，
∵ ∠AEF＝90∘−x，
∴ ∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确．
三、解答题（本大题共9小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
解不等式4(x+1)≤2x+6，得：x≤1，
解不等式x−3<x−53，得：x<2，
则不等式组的解集为x≤1，
所以不等式组的非负整数解为0、1．
【考点】
解一元一次不等式组
一元一次不等式组的整数解
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】
解不等式4(x+1)≤2x+6，得：x≤1，
解不等式x−3<x−53，得：x<2，
则不等式组的解集为x≤1，
所以不等式组的非负整数解为0、1．
【答案】
解：原式=(x+1x−2−x−2x−2)÷x(x−2)(x−2)2
=3x−2⋅x−2x
=3x，
当x=3时，原式=33=3．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】
解：原式=(x+1x−2−x−2x−2)÷x(x−2)(x−2)2
=3x−2⋅x−2x
=3x，
当x=3时，原式=33=3．
【答案】
证明：∵ ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，
∴ OB＝OD，DE // BF，
∴ ∠EDO＝∠FOB，∠EOD＝∠FOB，
∴ △DOE≅△BOF，
∴ OE＝OF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形．
【考点】
平行四边形的性质与判定
【解析】
只要证明OB＝OD，O＝OF即可解决问题．
【解答】
证明：∵ ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，
∴ OB＝OD，DE // BF，
∴ ∠EDO＝∠FOB，∠EOD＝∠FOB，
∴ △DOE≅△BOF，
∴ OE＝OF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形．
【答案】
证明：∵ AD⊥BC，∠ACB＝45∘，
∴ ∠ADB＝∠CDE＝90∘，△ADC是等腰直角三角形，
∴ AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45∘，
在△ABD与△CED中，AD=CD∠ADB=∠CDEBD=ED ，
∴ △ABD≅△CED(SAS)；
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∵ CE为∠ACD的角平分线，
∴ ∠ECD=12∠ACD＝22.5∘，
由（1）得：△ABD≅△CED，
∴ ∠BAD＝∠ECD＝22.5∘，
∴ ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5∘+45∘＝67.5∘．
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
（1）证出△ADC是等腰直角三角形，得出AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45∘，由SAS证明△ABD≅△CED即可；
（2）由角平分线定义得出∠ECD=12∠ACD＝22.5∘，由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠ECD＝22.5∘，即可得出答案．
【解答】
证明：∵ AD⊥BC，∠ACB＝45∘，
∴ ∠ADB＝∠CDE＝90∘，△ADC是等腰直角三角形，
∴ AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45∘，
在△ABD与△CED中，AD=CD∠ADB=∠CDEBD=ED ，
∴ △ABD≅△CED(SAS)；
∵ CE为∠ACD的角平分线，
∴ ∠ECD=12∠ACD＝22.5∘，
由（1）得：△ABD≅△CED，
∴ ∠BAD＝∠ECD＝22.5∘，
∴ ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5∘+45∘＝67.5∘．
【答案】
x2−2xy+y2−4
＝(x−y)2−4
＝(x−y+2)(x−y−2)
∵ a2−ab−ac+bc＝0，
∴ a(a−b)−c(a−b)＝0，
∴ (a−b)(a−c)＝0，
∴ a−b＝0或a−c＝0，
∴ a＝b或a＝c，
∴ △ABC是等腰三角形．
【考点】
因式分解的应用
【解析】
（1）前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可．
（2）前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2−ab−ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可．
【解答】
x2−2xy+y2−4
＝(x−y)2−4
＝(x−y+2)(x−y−2)
∵ a2−ab−ac+bc＝0，
∴ a(a−b)−c(a−b)＝0，
∴ (a−b)(a−c)＝0，
∴ a−b＝0或a−c＝0，
∴ a＝b或a＝c，
∴ △ABC是等腰三角形．
【答案】
(0, −1)
(−2, −3)
(−1, −2)
【考点】
作图-相似变换
作图-旋转变换
【解析】
（1）分别作出A，B的对应点A1，B1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）对应点连线段的交点即为旋转中心．
【解答】
如图△A1B1C1即为所求，B1的坐标为(0, −1)．
故答案为(0, −1)．
△A2B2C2即为所求，则B2的坐标为(−2, −3)．
故答案为(−2, −3)．
如图旋转中心为点P，P(−1, −2)．
故答案为(−1, −2)．
【答案】
跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元
当学校购买300根跳绳、100个毽子时，总费用最少
【考点】
分式方程的应用
一元一次不等式组的应用
【解析】
（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+4)元，根据数量＝总价÷单价结合用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的键子数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买毽子m个，则购买跳绳(400−m)根，根据跳绳的数量不少于毽子数量的3倍且跳绳的数量不多于310
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根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，根据总价＝单价×数量可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】
设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+4)元，
依题意，得：1000x+4=800x，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
∴ x+4＝20．
答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元．
设购买毽子m个，则购买跳绳(400−m)根，
依题意，得：400−m≥3m400−m≤310 ，
解得：90≤m≤100．
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，则w＝20×0.8(400−m)+16×0.75m＝−4m+6400．
∵ −4<0，
∴ w随m的增大而减小，
∴ 当m＝100时，w取得最小值，最小值＝−4×100+6400＝6000．
答：当学校购买300根跳绳、100个毽子时，总费用最少．
【答案】
PM＝PN,PM⊥PN
的方法得，PM // CE，
∴ ∠DPM＝∠DCE，
同
的方法得，PN // BD，
∴ ∠PNC＝∠DBC，
∵ ∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴ ∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵ ∠BAC＝90∘，
∴ ∠ACB+∠ABC＝90∘，
∴ ∠MPN＝90∘，
∴ △PMN是等腰直角三角形；
（1）若DE＝2，BC＝4，
在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，
∴ AB=22BC＝22，
同理：AD=2，
由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN=12BD，
∴ PM最大时，△PMN面积最大，
∴ 点D在BA的延长线上，
∴ BD＝AB+AD＝22+2=32，
∴ PM=322，
∴ S△PMN最大=12PM2=12×(322)2=94．
【考点】
几何变换综合题
【解析】
（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN=12BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM // CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≅△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出结论．
【解答】
（1）∵ 点P，N是BC，CD的中点，
∴ PN // BD，PN=12BD，
∵ 点P，M是CD，DE的中点，
∴ PM // CE，PM=12CE，
∵ AB＝AC，AD＝AE，
∴ BD＝CE，
∴ PM＝PN，
∵ PN // BD，
∴ ∠DPN＝∠ADC，
∵ PM // CE，
∴ ∠DPM＝∠DCA，
∵ ∠BAC＝90∘，
∴ ∠ADC+∠ACD＝90∘，
∴ ∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90∘，
∴ PM⊥PN，
【答案】
存在，理由：
作点A关于y轴的对称点A′(−1, 1)，连接A′B交y轴于点P，则点P为所求点，
则PA+PB＝PA′+PB＝A′B
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为最小，
设直线A′B的表达式为y＝kx+b，则1=−k+b2=3k+b ，解得k=14b=54 ，
故直线A′B的表达式为y=14x+54，
当x＝0时，y=54，
故点P的坐标为(0, 54)；
由点B、C的坐标同理可得，直线BC的表达式为y＝−x+5，
当四边形ABCD是平行四边形时，则AD // BC，
故直线AD表达式中的k为−1，
设直线AD的表达式为y＝−x+m，
将点A的坐标代入上式并解得：m＝2，
故直线AD的表达式为y＝−x+2，
当y＝0时，x＝2，故点D(2, 0)；
同理可得：直线AB的表达式为y=12x+12、直线CD的表达式为y=12x−1，即两直线表达式中的k值相同，
∴ AB // CD，
而AD // BC，
故当D的坐标为(2, 0)时，四边形ABCD是平行四边形，
即点D的坐标为(2, 0)；
设点P、Q的坐标分别为(x, 0)、(0, y)，而点A、B的坐标分别为(1, 1)、(3, 2)，
①当AB是边时，
点A向右平移2个单位向上平移1个单位得到点B，同样点P(Q)向右平移2个单位向上平移1个单位得到点Q(P)，
故x±2＝0且0±1＝y，解得x=−2y=1 或x=2y=−1 ；
故点P以及对应的点Q的坐标分别为(−2, 0)、(0, 1)或(2, 0)、(0, −1)；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：12(1+3)=12(x+0)且12(1+2)=12(0+y)，解得x=4y=3 ，
故点P以及对应的点Q的坐标分别为(4, 0)、(0, 3)；
综上，点P以及对应的点Q的坐标分别为(−2, 0)、(0, 1)或(2, 0)、(0, −1)或(4, 0)、(0, 3)．
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）作点A关于y轴的对称点A′(−1, 1)，连接A′B交y轴于点P，则点P为所求点，进而求解；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，则AD // BC，进而求出直线AD的表达式为y＝−x+2，即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图象平移和中点公式即可求解．
【解答】
存在，理由：
作点A关于y轴的对称点A′(−1, 1)，连接A′B交y轴于点P，则点P为所求点，
则PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
设直线A′B的表达式为y＝kx+b，则1=−k+b2=3k+b ，解得k=14b=54 ，
故直线A′B的表达式为y=14x+54，
当x＝0时，y=54，
故点P的坐标为(0, 54)；
由点B、C的坐标同理可得，直线BC的表达式为y＝−x+5，
当四边形ABCD是平行四边形时，则AD // BC，
故直线AD表达式中的k为−1，
设直线AD的表达式为y＝−x+m，
将点A的坐标代入上式并解得：m＝2，
故直线AD的表达式为y＝−x+2，
当y＝0时，x＝2，故点D(2, 0)；
同理可得：直线AB的表达式为y=12x+12、直线CD的表达式为y=12x−1，即两直线表达式中的k值相同，
∴ AB // CD，
而AD // BC，
故当D的坐标为(2, 0)时，四边形ABCD是平行四边形，
即点D的坐标为(2, 0)；
设点P、Q的坐标分别为(x, 0)、(0, y)，而点A、B的坐标分别为(1, 1)、(3, 2)，
①当AB是边时，
点A向右平移2个单位向上平移1个单位得到点B，同样点P(Q)向右平移2个单位向上平移1个单位得到点Q(P)，
故x±2＝0且0±1＝y，解得x=−2y=1 或x=2y=−1 ；
故点P以及对应的点Q的坐标分别为(−2, 0)、(0, 1)或(2, 0)、(0, −1)；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：12(1+3)=12(x+0)且12(1+2)=12(0+y)，解得x=4y=3 ，
故点P以及对应的点Q的坐标分别为(4, 0)、(0, 3)；
综上，点P以及对应的点Q的坐标分别为(−2, 0)
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、(0, 1)或(2, 0)、(0, −1)或(4, 0)、(0, 3)．
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