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- 2021-10-26 发布
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第十二章 12.3 角的平分线的性质
学校： 姓名： 班级： 考号：
评卷人
得分
一、选择题
1. 如图所示,已知∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P,使点P到OA,OB的距离都等于a,作法如下:
①在∠AOB内作OB的垂线段NH,使NH=a,H为垂足;②过N作NM∥OB;③作∠AOB的平分线OP,与NM交于点P;④点P即为所求.其中③的依据是( )
A. 平行线之间的距离处处相等
B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
2. 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,则下列结论中错误的是( )
A. PC=PD B. OD=OC C. ∠DPO=∠CPO D. PC=OC
3. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D,若AC=5 cm,则AE+DE等于( )
A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm
4. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20,则BC的长是 ( )
A. 20 B. 20 C. 30 D. 10
5
5. 如图,△ABC的外角∠BCD,∠CBE的平分线相交于点F,连接AF,则下列结论正确的是( )
A. AF平分BC B. AF平分∠BAC C. AF⊥BC D. 以上结论都正确
6. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,若AB=12 cm,则△DBE的周长为( )
A. 12 cm B. 11 cm C. 14 cm D. 10 cm
7. 如图,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则:①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③D在∠BAC的平分线上,以上结论中,正确的是( )
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
8. 已知△ABC的周长是60cm,三条角平分线交于P点,且P点到BC的距离是10cm,则△ABC的面积为 ( )
A. 600 cm2 B. 300 cm2 C. 300 cm2 D. 无法确定
9. 如图所示,点P到AE,AD,BC的距离相等,则下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P是∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点.其中,正确的是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E点,DF⊥AC于F点,有下列结论:①BD=DC;②DE=DF;③AD上任意一点到AB,AC的距离相等;④AD上任意一点到B点与C
5
点的距离不等.其中正确的是( )
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
评卷人
得分
二、填空题
11. 如图所示,直线a,b,c表示交叉的公路,现要建一货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的站址有 处.
12. 如图,点O是△ABC内一点,且到三边的距离相等,∠A=60°,则∠BOC的度数为 .
13. 如图所示,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= .
14. 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥DC,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为 .
15. 如图,在△ABC中,AB=BC,AC=16 cm,∠ABC=80°,BD平分∠ABC,DE∥BC,则AD= ,∠EDB= .
评卷人
得分
三、解答题
5
16. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E.若AC=6,BC=8,CD=3,求DE的长.
评卷人
得分
四、证明题
17. 已知,如图,AB=CD,△PAB和△PCD的面积相等,求证:OP平分∠AOC.
18. 如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD交BE于点O.
(1)若OC=OB,求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若点O在∠BAC的平分线上,求证:OC=OB.
19. 如图所示,PA=PB,∠PAM+∠PBN=180°,求证:OP平分∠AOB.
20. 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:BE=CF.
参考答案
1. 【答案】B【解析】由要找角内部的点到角两边的距离相等可知本题考查对角的平分线的判定的掌握.
2. 【答案】D【解析】∵OP平分∠AOB,∴∠AOP=∠POB.由PC⊥OA,PD ⊥OB可得∠ODP=∠OCP,且OP=OP,∴Rt△POD≌Rt△POC,所以∠DPO=∠CPO,OD=OC，PD=PC.若PC=OC, ∠POB=∠POC=45°，则OB⊥OA,由图可知D项错误，故选D.
3. 【答案】C【解析】根据角的平分线的性质可知DE=CE,所以AE+DE=AE+CE=AC=5 cm.
4. 【答案】D【解析】BD是∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠CBD=30°,所以AD=BD=20,又∠CBD=30°,
所以BC=10.
5
5. 【答案】B【解析】过F点分别作AE,BC,AD所在直线的垂线,垂足分别为M,G,N,由角平分线的性质可得MF=GF=NF,再由角平分线的判定定理即可得出AF平分∠BAC.由已知条件推不出结论AF平分BC, AF⊥BC.
6. 【答案】A【解析】∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD =∠EAD ,又DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED, 又AD=AD,∴△ACD≌△AED(HL),∴AE=AC,又AC=BC,∴△DBE的周长=DE+EB+BD=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=12 cm.
7. 【答案】D【解析】由题意可知∴△ABE≌△ACF(SAS),∴∠C=∠D,∴△BDF≌△CDE(AAS);△ACD≌△ABD(SSS),所以∠CAD=∠BAD,所以点D在∠BAC的平分线上,所以①②③都正确.
8. 【答案】B【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等,则△ABC的面积=×60×10=300 cm2.
9. 【答案】A【解析】过点P分别向AE,AD,BC作垂线段,由角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可证明①②③④都正确.
10. 【答案】C【解析】∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD是BC的垂直平分线, ∴BD=DC, 且AD上任意一点到AB,AC的距离相等, ∴①③正确, ④错误; 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF, ∴②正确. 故选C.
11. 【答案】4
12. 【答案】120°
13. 【答案】150°
14. 【答案】4
15. 【答案】8 cm;40°
16. 【答案】∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∵CD=3,∴DE=3.
17. 【答案】证明:如图,过点P分别作PE⊥OB,PF⊥OD,垂足分别为点E,点F.
∵S△PAB=S△PCD,
∴AB·PE=CD·PF,
又∵AB=CD,∴PE=PF,又∵PE⊥OB,PF⊥OD,
∴OP平分∠AOC.
18. 【答案】∵点O在∠BAC的平分线上,
∴OE=OD. 又∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠OEC=∠ODB=90°.在△OEC和△ODB中,
∴△OEC≌△ODB(ASA),∴OC=OD.
19. 【答案】证明:如图,过点P分别作PE⊥OM,PF⊥ON,
垂足分别为E,F,则∠PEA=∠PFB=90°.
又∵∠PAM+∠PBN=180°,∠PBF+∠PBN=180°,
∴∠PAM=∠PBF,即∠PAE=∠PBF.
在△PAE与△PBF中,
∴△PAE≌△PBF(AAS).∴PE=PF.
又∵PE⊥OM,PF⊥ON,∴OP平分∠AOB.
20. 【答案】如图,连接BD,CD,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.又∵DG⊥BC且平分BC,
∴∠BGD=∠CGD=90°,BG=CG,
在△BGD和△CGD中
5
,
∴△BGD≌△CGD(SAS),∴BD=CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.
5
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