巩固练05一次函数-2020年【衔接教材·暑假作业】八年级数学（人教版）（解析版） (9) 11页

巩固练03 平行四边形、矩形 根据相关知识完成下表：‎ 图形 定义 性质 判定 两组对边分别 平行 ‎ 的四边形是平行四边形。‎ 边： 对边平行且相等 ‎ ‎ ； ‎ 角：对角相等，邻角互补 ‎ ‎ ；‎ 对角线：对角线相互平分 ‎ ‎ ；‎ 对称性： 中心对成图形 ；‎ 面积： 底X高 ；‎ 边：① 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ；‎ ‎② 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ；‎ ‎③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；‎ 对角线： 对角线相互平分的四边形是平行四边形 ；‎ 有一个角是 90°‎ 的平行四边形是矩形。‎ 具有平行四边形的一切性质。‎ 特殊点： ‎ 角： 四个角都是90° ‎ ‎ ；‎ 对角线： 对角线相等 ‎ ‎；‎ 对称性： 是轴对称图形 ；‎ 直接判定：四个角（三个角）是 90° 的四边形是矩形 平行四边形判定：‎ ‎①有一个角是 90° 的平行四边形是矩形；‎ ‎②对角线 相等 的平行四边形是矩形。‎ 平行线间的距离：平行线间的距离处处 相等 。‎ 中位线的定义及其性质：连接三角形任意两边 中点 的线段叫这个三角形的中位线。三角形的中位线 平行且等于 第三边的 一半 。‎ 直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 。‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 一、选择题 ‎1．在下列性质中，平行四边形不一定具有的性质是（　　）‎ A．邻角互补 B．对角相等 ‎ C．内角和为360° D．对角互补 ‎【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可．‎ ‎【解答】解：平行四边形邻角互补，对角相等，内角和为360°，不具备的性质是对角互补，‎ 故选：D．‎ ‎2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若DE＝4，则BC的值为（　　）‎ A．9 B．8 C．6 D．4‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理解答即可．‎ ‎【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴BC＝2DE＝2×4＝8，‎ 故选：B．‎ ‎3．满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（　　）‎ A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 ‎ C．一组对边平行且相等 D．一组对边平行，另一组对边相等 ‎【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，‎ ‎∴选项A不符合题意；‎ B、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，‎ ‎∴选项B不符合题意；‎ C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，‎ ‎∴选项C不符合题意；‎ D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，‎ ‎∴选项D符合题意；故选：D．‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　）‎ A．8 B．16 C．8 D．16‎ ‎【分析】由矩形的性质得出OA＝BO，证△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ‎∴∠BAD＝90°，，，AC＝BD＝2OB＝8，‎ ‎∴OA＝BO，‎ ‎∵∠AOB＝60°，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴AB＝OB＝4，‎ ‎∴AD＝，‎ ‎∴矩形ABCD的面积＝；‎ 故选：D．‎ 4. 如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），‎ ‎（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（　　）‎ A．（3，2+m） B．（3+m，2） ‎ C．（2，3+m） D．（2+m，3）‎ ‎【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，且BA＝OC即可得到结论．‎ ‎【解答】解：如图，在▱OABC中，O（0，0），C（m，0），‎ ‎∴OC＝BA＝m，‎ 又∵BA∥CO，‎ ‎∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，‎ ‎∴B（2+m，3），‎ 故选：D．‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）‎ A．3 B． C． D．4‎ ‎【分析】根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．‎ ‎【解答】解：∵四边形COED是矩形，‎ ‎∴CE＝OD，‎ ‎∵点D的坐标是（1，3），‎ ‎∴，‎ ‎∴， 故选：C．‎ ‎7．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AB∥CD，BE＝DF，则下列结论 ‎①AE＝CF，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠BCF＝∠DAE ‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据全等三角形的判定得出△ABE与△CDF全等，进而利用全等三角形的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：∵AE∥CF，AB∥CD，‎ ‎∴∠AEF＝∠CFE，∠ABE＝∠CDF，‎ ‎∴∠AEB＝∠CFD，‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 在△ABE与△CDF中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（ASA），‎ ‎∴AE＝CF，‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴BE+EF＝DF+EF，‎ 即BF＝DE，‎ 在△ADE与△CBF中 ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS），‎ ‎∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，∠BCF＝∠DAE ‎∴AD∥BC，‎ 故选：D． ‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎8．如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎＝6，则四边形ABCD的面积是（　　）‎ A．4 B．2 C．8 D．6‎ ‎【分析】根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．‎ ‎【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．‎ 如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，‎ ‎∴AE＝1，AF＝2，‎ ‎∴BC•AE＝AB•AF，‎ ‎∴BC＝2AB．‎ 又∵AB+BC＝6，‎ ‎∴AB＝2，BC＝4‎ ‎∴四边形ABCD的面枳＝2×2＝4，故选：A． ‎ ‎9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若 ‎∠EAF＝58°，则∠BAD＝　122°　．‎ ‎【分析】直接利用四边形内角和定理结合平行四边形的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，‎ ‎∴∠AEC＝∠AFC＝90°，‎ 又∵∠EAF＝58°，‎ ‎∴∠C＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD＝∠C＝122°．‎ 故答案为：122°．‎ ‎10．如图，木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形，判断的依据是　对角线互相平分的四边形是平行四边形　．‎ ‎【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎【解答】解：木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形，判断的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，‎ 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．‎ ‎11．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，对角线AC，BD交于点O，∠ADB＝90°，OD＝OB＝5，AC＝26，则四边形ABCD的面积为　120　．‎ ‎【分析】由勾股定理可求AO＝13，可得AO＝CO＝13，可证四边形ABCD是平行四边形，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵∠ADB＝90°，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC＝26，‎ ‎∴CO＝AO＝13，且DO＝BO，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD的面积＝，‎ 故答案为120．‎ ‎12．如图，在△ABC中，BC＝14，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若DF＝12，∠AFC＝90°，则AC＝　10　．‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到EF的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴，‎ ‎∴EF＝DF﹣DE＝5，‎ 在Rt△AFC中，AE＝EC，‎ ‎∴AC＝2EF＝10，‎ 故答案为：10．‎ ‎13．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝　35　°．‎ ‎【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝55°‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎，由直角三角形的性质求出∠ODE＝20°，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，‎ ‎∴OC＝OD，‎ ‎∴∠ODC＝∠OCD，‎ ‎∵∠AOD＝110°，‎ ‎∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，‎ ‎∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；‎ 故答案为：35．‎ ‎14．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件　∠ABC＝90°　，使平行四边形ABCD是矩形．‎ ‎【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空．‎ ‎【解答】解：添加条件：∠ABC＝90°．‎ 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，‎ ‎∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．‎ 故答案是：∠ABC＝90°．‎ ‎15．如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是　　．‎ ‎【解答】解：作A'F⊥BC于F，如图所示：‎ 则∠A'FB＝90°，‎ 根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝，‎ ‎∴，‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∴∠D＝∠B＝30°，‎ ‎∴，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，‎ ‎∴CD⊥A'D'，‎ ‎∴A'F∥CD，‎ ‎∴四边形A'ECF是矩形，‎ ‎∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 故答案为：‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎16．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是　①②④⑤⑥　．‎ ‎【分析】连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE＝OF，得出平行四边形BEDF，求出BN＝DM，即可求出各个选项．‎ ‎【解答】解：‎ 连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DO＝BO，OA＝OC，‎ ‎∵AE＝CF，‎ ‎∴OE＝OF，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形，‎ ‎∴BE＝DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确；‎ ‎∵根据已知不能推出AB＝DE，∴③错误；‎ ‎∵BN⊥AC，DM⊥AC，‎ ‎∴∠BNO＝∠DMO＝90°，‎ 在△BNO和△DMO中 ‎∴△BNO≌△DMO（AAS），‎ ‎∴BN＝DM，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴S△ADE＝S△ABE，∴⑤正确；‎ ‎∵AE＝CF，‎ ‎∴AE+EF＝CF+EF，‎ ‎∴AF＝CE，∴⑥正确；‎ 故答案为：①②④⑤⑥‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别是BC、AC边上的中点，过点A作AD∥BC，交EF 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 的延长线于点D ‎（1）求证：四边形ABED是平行四边形；‎ ‎（2）若AB＝4，∠BAC＝120°，求四边形ABED的周长．‎ ‎【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）连接AE，根据直角三角形的性质得到∠ABE＝30°，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵点E、F分别是BC、AC边上的中点 ‎∴DE∥AB，‎ 又AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形；‎ ‎（2）解：连接AE，‎ ‎∵AB＝AC，点E是BC边上的中点，‎ ‎∴∠AEB＝90°，，‎ ‎∴∠ABE＝30°，‎ ‎∴在Rt△ABE中，，∴，‎ 由（1）知，四边形ABED是平行四边形，‎ ‎∴．‎ ‎18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）若AB＝2，求△OEC的面积．‎ ‎【分析】（1）只要证明三个角是直角即可解决问题；（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可；‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ABC+∠BAD＝180°，‎ ‎∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎（2）作OF⊥BC于F．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，‎ ‎∴AO＝BO＝CO＝DO，‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∴BF＝FC，∴，‎ ‎∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠EDC＝45°，‎ 在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，‎ ‎∴．‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎19．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结CD和EF．‎ ‎（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；‎ ‎（2）求四边形BDEF的周长．‎ ‎【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；‎ ‎（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC＝EF，进而求出四边形BDEF的周长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB，AC中点，‎ ‎∴DE∥BC，，‎ ‎∵，‎ ‎∴DE＝CF，‎ ‎∴四边形CDEF是平行四边形，‎ ‎（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，‎ ‎∴DC＝EF，‎ ‎∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，‎ ‎∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 20. 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．‎ ‎（1）求证：EO＝FO；‎ ‎（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）根据平行线性质和角平分线性质，以及由平行线所夹的内错角相等易证．‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ 又∵MN∥BC，‎ ‎∴∠1＝∠3，‎ ‎∴∠3＝∠2，‎ ‎∴EO＝CO，‎ 同理，FO＝CO，‎ ‎∴EO＝FO．‎ 11‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．‎ 理由：‎ ‎∵EO＝FO，点O是AC的中点．‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵CF平分∠BCA的外角，‎ ‎∴∠4＝∠5，‎ 又∵∠1＝∠2，‎ ‎∴∠2+∠4＝＝90°．‎ 即∠ECF＝90°，‎ ‎∴四边形AECF是矩形．‎ 1‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎