华东师大版八年级上册专题练习题含答案勾股定理的应用 17页

1. 三角形的三边为 a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a=26 b=10 c=24 知识点：勾股定理的逆定理 知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形，最大的边就是斜边。 满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记 住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17 等。 答案:A 详细解答: A．a:b:c=8∶16∶17，可设 a＝8k，b＝16k，c＝17k， a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝289k2， 所以，a2＋b2≠c2，这个三角形不是直角三角形． B． a2-b2=c2 即 a2 =c2+b2，这个三角形是直角三角形． C．a2=(b+c)(b-c) 即 a2 =b2-c2，所以 a2 +c2= b2，这个三角形是直角三角形． D． a=26，b=10，c=24，那么 c2+b2=102+242=676，a2 =262=676，所以 a2=c2+b2，这个三角 形是直角三角形． 1．有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的 数据弄混了，请你帮他找出来，是（ ）． （A）13、12、12 （B）12、12、8 （C）13、10、12 （D）5、8、4 答案:C 详细解答:如图，假设等腰三角形 ABC 中，AB=AC=13，中线 AD=12， 由于 CB=10，那么 CD=5，△ACD 的三边是一组勾股数，所以 AD 是高。 其他三组数据的△ACD 的三边都不是一组勾股数，AD 不可能是高。 2、△ABC 中，AB=AC=10，BC 边上的高 AD=6，则 BC 的长为（ ） A、8 B、10 C、12 D、16 知识点：勾股定理在数学上的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角 边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方 法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直 角三角形。 答案:D 详细解答: 在 Rt△ACD 中，AD=6，AC=10，那么 CD2=AC2-AD2=64，CD=8. △ABC 中，AB=AC，那么 BC 边上的高 AD 平分 BC，所以 BC=2CD=16 2、已知平面直角坐标系中有 A（1，1）和 B（4，4）两点，则连结两点的线段 AB 的长是（ ） A、3 B、 18 C、4 D、5 答案: B（3 2 也可） 详细解答:画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形， 由 A（1，1）和 B（4，4）两点的坐标可以知道 AC=3, BC=3 ,所以 AB2=AC2+BC2=9+9=18 因此 AB= 18 3、王英同学从 C 地沿北偏东 600 方向走 10 米到 B 地，再从 B 地向正南方向走 20 米到 D 地， 此时王英同学离 C 地的距离为（ ） A、10 米 B、12 米 C、15 米 D、 300 米 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线 段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条 线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。 答案:D（10 3 也可） 详细解答:根据题意画出如图所示的示意图， 由题意可知 CB=10 米,BD=20 米,∠BCE=300, 在 Rt△BCE 中，CB=10 米, ∠BCE=300, 那么 BE=5 米， 因为 BC2=BE2+CE2，所以 CE2=75。 在 Rt△DCE 中，DE=BD-BE=15 米，CD2=DE2+CE2=75+225=300， 所以 CD= 300 米. 3.如图，一个圆桶儿，底面直径为 24cm，高为 32cm，则桶内能容下的最长的木棒为( ) A. 20cm B. 50cm C. 40cm D. 45cm 答案:C 详细解答:画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段 AB 的长， 由 题 意 知 在 Rt △ ABC 中 ， AC=24 cm ， BC=32 cm ， 那 么 AB2=AC2+BC2=242+322=1600， 所以 AB=40 cm 4．已知直角三角形一个锐角 60°，斜边长为 1，那么此直角三角形的周长是（ ）． A． 5 2 B．3 C． 3 2 2  D． 3 3 2  知识点:特殊三角形——含 30°角的直角三角形。 知识点的描述: 含 30°角的直角三角形是一个非常重要的图形，要记住这个三角形的角与 角之间的关系，也要记住这个三角形中的边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特别要 记住三边之比 1： 3 ：2，应用它来解决问题方便快捷。 答案:D 详细解答:如图，直角三角形 ABC 中，一个锐角∠B=60°，斜边长 AB 为 1， 那么 BC= 2 1 ,根据勾股定理求出 AC= 2 1 3 , 所以周长 1+ 2 1 + 2 1 3 = 3 3 2  4．如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB 于 D，AC 边的垂直平分线交 AB 于 E，那么 AE∶ED 等于( ) A．1∶1 B．1∶2 24cm 32cm C． 3 ∶2 D．2∶ 3 答案:D 详细解答:∵AC 边的垂直平分线交 AB 于 E，∴AE=CE, ∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°, ∵ CD⊥AB 于 D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶ 3 5.已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC 的形状( )。 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内 容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。 答案:A 详细解答: ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c , ∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 ∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0 ∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数， 利用勾股定理的逆定理判断△ABC 是直角三角形。 5、△ABC 的三边 a,b,c 满足 acbcabcba  222 则△ABC 是（ ） A、 等边三角形 B 腰底不等的等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形 答案:A 详细解答: ∵ acbcabcba  222 ∴ acbcabcba 222222 222  ∴ 0222 222222  cacacbcbbaba ∴ 0)()()( 222  cacbba ∴ cba  ∴△ABC 是等边三角形 6. 一个三角形的三边的比为 5:12:13，它的周长为 60cm，则它的面积是（ ） Ａ.100 B.110 C.120 D. 150 知识点:对比值处理的一般方法。 知识点的描述:当已知几个比相等的时候，我们经常采用设比值为 k 的方法，这样往往便于 应用条件，也便于计算。 答案:C 详细解答: ∵ △ABC 三条边的比为 a:b:c＝5:12:13，则可设 a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∵它的周长为 60cm，∴5k +12k +13k =60，k=2， ∴△ABC 的三边分别为 a＝10 cm，b＝24 cm，c＝26 cm， ∴a2＋b2＝102＋242＝676，c2＝262＝676， ∴a2＋b2＝c2，△ABC 是直角三角形． ∴它的面积是 2 1 ×10×24=120 （cm2） 6.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，周长为 60，斜边与一条直角边之比为 13∶5，则这个三角形三 边长分别是（ ） A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10 答案:D 详细解答: 斜边与一条直角边之比为 13∶5，不妨设 a＝5k，c＝13k，那么 b＝12k，又周长 为 60，∴5k +12k +13k =60，解得 k=2， ∴△ABC 的三边分别为 a＝10 ，b＝24 ，c＝26 。 7．在△ABC 中，∠A＝30°，AC＝ 32 ，BC＝2，则 S△ABC 等于 ( ) A． 32 B． 3 C． 3 或 32 D． 32 或 34 知识点:多解问题 知识点的描述:中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性，从而培养学生研究问 题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解 决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。 答案:C 详细解答:本题没给出图形，作△ABC 的 AB 边的高 CD，分两种情况讨论： （1） 若高 CD 在△ABC 的内部，如图 在 Rt△ADC 中，∠A＝30°，AC＝ 32 ，那么 CD= 3 ，利用勾股定理得 AD=3 在 Rt△BDC 中，BC＝2， CD= 3 ，那么利用勾股定理得 BD=1 ∴S△ABC= 2 1 AB×CD= 2 1 （3+1）× 3 = 32 （2） 若高 CD 在△ABC 的外部，如图 在 Rt△ADC 中，∠A＝30°，AC＝ 32 ，那么 CD= 3 ，利用勾股定理得 AD=3 在 Rt△BDC 中，BC＝2， CD= 3 ，那么利用勾股定理得 BD=1 则 S△ABC= 2 1 AB×CD= 2 1 （3-1）× 3 = 3 ∴S△ABC= 3 或 32 7．若等腰三角形的腰长为 4，腰上的高为 2，则此三角形的顶角为 ( ) A．30° B．150° B．30°或 150° D．60°或 120° 答案:B 详细解答:本题没给出图形，作图如下，作△ABC 的 AC 边的高 BD，分两种情况讨论： （1） 若高 BD 在△ABC 的内部，如图 在 Rt△ABD 中，AB＝4，BD＝2， ∴ AB BD = 2 1 ，∴∠A＝30° （2） 若高 CD 在△ABC 的外部，如图 在 Rt△ABD 中，AB＝4，BD＝2，∴ AB BD = 2 1 ， ∴∠DAB＝30°∴∠BAC＝150° ∴三角形的顶角为 30°或 150° 8．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ） A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内 容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。 答案:A 详细解答: Rt△ABC 中，∠C=90°，那么 a2+b2=c2，又 c=10cm，所以 a2+b2=100 由已知 a+b=14cm，得（a+b）2=196，即 a2+b2+2ab=196，所以 2ab=196-100=96，ab=48 则 Rt△ABC 的面积是 2 1 ab= 2 1 ×48=24（cm2） 8．直角三角形中一直角边的长为 11，另两边为自然数，则直角三角形的周长为（ ） A．121 B．132 C．100 D．不能确定 答案:B 详细解答:假设另一直角边为 a，斜边为 c，根据勾股定理得：c2=a2+112 ，即（c+a）（c-a） =11×11=121×1 因为 c+a＞c-a ，所以 c+a=121，c-a=1 解方程组得 c=61，a=60，则直角三角形的周长为 132。 9．如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 480 千米的 B 处，以 30 千米/时的速度 向北偏西 60°的 BF 方向移动，距台风中心 300千米范围内是受台风影响的区域． A 市是 否会受到台风的影响？如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？（ ） Ａ. 8 小时 B. 10 小时 C. 12 小时 D. A 市不会受到台风影响 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线 段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。 答案:C 详细解答:过 A 作 AC⊥BF 于 C，则 AC= 1 2 AB=240<300， ∴A 市会受到台风影响． 过 A 作 AD=300km，交 BF 于点 D． ∴DC= 2222 240300  ACAD =180（km）， ∴该市受台风影响的时间为： 30 2180 =12 小时． 9．如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处， 他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情 所走的最短路程是多少？ Ａ.15 km B.16 km C.17 km D.18 km 答案:C 详细解答: 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A′，连接 A′B 交 MN 于点 P，则 A′B 就是最 短路线. 在 Rt△A′DB 中，A′D= AA′+AD=8+7=15（km），DB=8（km）， 由勾股定理求得 A′B= 2222' 815  DBDA =17（km） 10．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80 米， BC=60 米，若线段 CD 是一条小渠，且 D 点在边 AB 上，已知水渠的造价为 10 元/米，问 D 点在距 A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？（ ） Ａ.D 点在距 A 点 60 米的地方，最低造价为 480 元 B. D 点在距 A 点 50 米的地方，最低造价为 300 元 C. D 点在距 A 点 64 米的地方，最低造价为 480 元 D. D 点在距 A 点 64 米的地方，最低造价为 400 元 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线 A BD P N A′ M A B 小河 东 北 牧童 小屋 段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。 答案:C 详细解答: ∠ACB=90°，AC=80 米，BC=60 米， 那么根据勾股定理得 AB=100 米 当 CD 为斜边上的高时，CD 最短，从而水渠造价最价， 作 AB 边的高 CD ∵CD·AB=AC·BC ∴CD= AB BCAC  = 100 6080 =48（米） ∴AD= 2 2 2 280 48AC CD   =64（米） ∴D 点在距 A 点 64 米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为 480 元． 10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已 知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A. 450a 元 B. 225a 元 C.150a 元 D.300a 元 答案:C 详细解答:作 BC 边上的高 AD，∵∠ABC=150° ∴∠ABD=30°，在 Rt△ABD 中，AB=20m， ∴AD=10 m， ∴ 三 角 形 空 地 的 面 积 为 1 2 BC·AD= 1 2 ×30m×10m =150m2 ∵ 这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮 至少需要150a 元 11．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°， AD ＝ CD ＝ 25 ，则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A．47 B．49 C．53 D．60 150° 20m 30m 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求面积问题时，常通过添加辅助线，把一般图形的问题通过分割 等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。 答案: B 详细解答：连结 AC，在 Rt△ABC 中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90° ∴AC= 1068 2222  BCAB 在△ADC 中，AD＝CD＝ 25 ∴AD2+DC2=（ 25 ）2+（ 25 ）2=100 又∵AC2=102=100 ∴AD2+DC2=AC2 所以∠ADC=90° ∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD= 2 1 AB·BC+ 2 1 AD·DC= 2 1 ×8×6+ 2 1 · 25 · 25 =24+25=49 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形 的方法，把四边形面积转化为三角形面积之和。 11．在△ABC 中，AB=AC=10，BD 是 AC 边上的高，DC=2，则 BD 等于（ ） A、4 B、6 C、8 D、 102 答案:B 详细解答: ∵ AC=10，DC=2 ， ∴AD=8 在 Rt△ABD 中，AB=10，AD=8， ∴BD=6 12．如图所示，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，若 AD=2BD，AC=5，BC=4，则 BD 的长为（ ）． A． 5 B． 3 C．1 D． 1 2 知识点:方程的思想 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。 答案:B 详细解答: ∵ AD=2BD， ∴可设 BD=k，AD=2k Rt△ADC 中，∠ADC=90°，那么 AC2-AD2=DC2； Rt△BDC 中，∠BDC=90°，那么 BC2-BD2=DC2， ∴AC2-AD2= BC2-BD2， 得方程 52-（2k）2= 42-k2 解得 k= 3 ，所以 BD 的长为 3 。 12．等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ） A.56 B.48 C.40 D.32 答案:B 详细解答:如图，假设 BD=DC=x，那么 AB=AC=16-x， 在 Rt△ADC 中， AD2+DC2=AC2 ∵ AD＝8，CD＝x，AC=16-x ∴82+x2=（16-x） 2 解得 x=6 三角形的面积为 2 1 AD·BC= 2 1 ×8×12=48 13．一圆柱高 8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食,要爬行的最短路程( 取 3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定. 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线 段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾 股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。 答案:B 详细解答:将圆柱沿过点 A 的母线展开，画出如图所示的圆柱的侧面展开图， 蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食,要爬行的最短路径就是图中的线段 AB， 由题意知在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝ 1 2 ×2 ×2=6，∠C＝90° ∴AB= 1068 2222  BCAC （cm） A B C A B D 13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们 用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米．早晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米/ 时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10：00 时甲、 乙二人还能保持联系吗？（ ） Ａ.能 B.不能 答案:A 分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往 北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理， 即可求得甲、乙两人的距离． 详细解答:如图，甲从上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时， 走了 12 千米，即 OA=12（千米）． 乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时， 走了 5 千米，即 OB=5（千米）． 在 Rt△OAB 中，AB2=122 十 52＝169，∴AB=13（千米）， 因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系． 14、如图，∠AOB=450，点 P 在∠AOB 的内部， OP=2，P1 与 P 关于 OA 对称，P2 与 P 关于 OB 对称，则 P1P2 的长（ ）。 A、 32 B、3 C、 22 D、2 知识点：勾股定理在数学上的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直 角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线 段的长度。求一条线段长度的一般方法是：把这条线段 放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。 答案:C（ 8 也可） 详细解答: ∵P1 与 P 关于 OA 对称， ∴OP1=OP=2 ，∠AOP=∠AOP1 O A B ∵P2 与 P 关于 OB 对称，∴OP2=OP=2 ，∠BOP=∠BOP2 ∵∠AOB=450， 即∠AOP+∠BOP=450， ∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP ）=2×450=900， ∴在 Rt△P1OP2 中， P1P2 2= OP1 2+ OP2 2=8 ∴P1P2= 228  14、如图，AC 是圆的直径，∠B 为直角，AB=6，BC=8，则阴影面积为（ ）。 （A）100π-24 （B）25π-24 （C）100π-48 （D）25π-48 答案:B 详细解答: ∠B 为直角，AB=6，BC=8，那么 AC=10 则阴影面积为π×52- 1 2 ×6×8=25π-24 15．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为 5 和 2 10 ，则斜边长为（ ） A．10 B．4 10 C． 13 D．2 13 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内 容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。 答案:D（ 52 也可以） 详细解答:如图所示，不妨设中线 AD=2 10 ，中线 BE=5 假设 AC=b，BC=a 在 Rt△ADC 中，AC2+DC2=AD2，即 b2+（ 1 2 a）2=（2 10 ）2， 化简为 4b2+a2=160， 在 Rt△BEC 中，BC2+EC2=BE2，即 a2+（ 1 2 b）2=52， 化简为 4a2+b2=100， 两式相加得 4b2+a2+4a2+b2=160+100，即 5（a2+ b2）=260， 所以 a2+b2=52，根据勾股定理得 AB= 52 =2 13 15、CD 是直角△ABC 斜边 AB 上的高，若 AB=1，AC：BC=4：1，则 CD 的长为（ ）。 A、 17 4 B、 17 3 C、 17 2 D、 17 1 答案:A 详细解答:假设 CB=k，那么 AC=4k，直角△ABC 中求 得 AB= 17 k， 又已知 AB=1，所以 k= 17 1 ，BC= 17 1 ，AC= 17 4 AB·CD=AC·BC 得 CD= 17 4 16、如图，△ABC 中，∠C=900，AC=3，BC=4，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 BC 于 D，则 BD 的长为（ ） A、 8 25 B、3 C、 4 15 D、 5 16 知识点:方程的思想和折叠问题 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。 折叠问题中用得最多，还要特别注意利用相等的线段。 答案:A 详细解答:连结 AD， △ABC 中，∠C=900，AC=3，BC=4，那么 AB=5 ∵AB 的垂直平分线交 AB 于 E，∴AD=BD 假设 BD 为 x，那么 AD=x，DC=4-x， △ADC 中，∠C=900，AC=3，DC=4-x，AD=x，∴32+（4-x）2=x2，解得 x= 8 25 16．已知，如图长方形 ABCD 中， 3AB cm ， 9AD cm ，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则△ABE 的面积为（ ） A. 26cm B. 28cm C. 210cm D. 212cm 答案:A A B E F D C 详细解答:假设 AE=x，那么 EB=ED=9-x 在 Rt△ABE 中，32+x 2=（9-x）2，解得 x=4 △ABE 的面积为 1 2 ×3×4=6（cm2） 17．如图，已知等腰△ABC 的底边 BC=20cm，D 是腰 AB 上一点，且 CD=16cm，BD=12cm，求△ ABC 的周长.（ ） Ａ. 3 14 cm B. 3 153 cm C.53 cm D.42 cm 知识点:方程的思想 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。 答案:B 详细解答:由 BD2+DC2=122+162=202=BC2 得 CD⊥AB 又 AC=AB=BD+AD=12+AD， 在 Rt△ADC 中，AC2=AD2+DC2， 即(12+AD)2=AD2+162，解得 AD= 3 14 ， 故 △ABC 的周长为 2AB+BC= 3 153 cm 17.如图，南北向 MN 为我国领域，即 MN 以西为我国领海，以东为公海.上午 9 时 50 分，我 反走私 A 艇发现正东方向有一走私艇 C 以 13 海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知 正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B.已知 A、C 两艇的距离是 13 海里，A、B 两艇的距离是 5 海里；反走私艇测得离 C 艇的距离是 12 海里.若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时间进 入我国领海？（ ） Ａ. 10 时 41 分 B. 10 时 30 分 C. 10 时 51 分 D. 11 时 答案:A 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类 型的三角形？（2）走私艇 C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇 C 最早会在什么时 间进入？这样问题就可迎刃而解. 详细解答:设 MN 交 AC 于 E，则∠BEC=900. 又 AB2+BC2=52+122=169=132=AC2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=900. D B C A 又∵MN⊥CE，∴走私艇 C 进入我领海的最近距离是 CE， 则 CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得 26CE=288， ∴CE= 13 144 . 13 144 ÷13= 169 144 ≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9 时 50 分+51 分=10 时 41 分. 答：走私艇最早在 10 时 41 分进入我国领海. 18．如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA，PB，PC，以 BP 为边作∠PBQ＝60°，且 BQ=BP，连结 CQ．若 PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结 PQ，试判断△PQC 的形状（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 知识点:综合利用勾股定理以及逆定理、数学思想、常用方法 知识点的描述:一个综合题往往要用到很多数学知识和方法，设比 值为 k、方程的思想、勾股定理以及逆定理，还有代数中的一 些变形技巧都可能用到，要综合利用。 答案:A 详细解答:在△ABP 与△CBQ 中， ∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60° ∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ ∴AP＝CQ 由 PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设 PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a 连结 PQ，在△PBQ 中，由于 PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60° ∴△PBQ 为等边三角形 ∴PQ＝4a 于是在△PQC 中， 2 2 2 2 2 216 9 25PQ QC a a a PC     ∴△PQC 是直角三角形 18.如图，长方形 ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.点 P 是边 AD 上的一个点,PA=PC， Q 是 AB 边上的一个点, 4 15AQ  , △PCQ 是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 A M E N C B Q C P A B C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案:A 详细解答:设 AP=x，则 PD=8－x，PC=x，  2 2 28 4x x   ，解得 x=5 在 Rt△APQ 中， QP2=AP2+AQ2=52+ 215 4      = 625 16 , 在 Rt△CBQ 中，CQ2=BQ2+BC2= 2154 4     +82=1025 16 , ∵QP2+PC2= 625 16 +52=1025 16 = CQ2 ∴ PCQP  所以△PCQ 是直角三角形