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- 2021-10-27 发布
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第十五章 分 式
人教版
八年级数学上册
导入新课
问题引入
算一算,并分别说出每一小题所用的运算性质.
4 3( )x(2) = ;
同底数幂的乘法:
m n m na a a (m,n是正整数)
12x
幂的乘方: ( )m n mna a (m,n是正整数)
(3) = ; 3( )xy
积的乘方:
3 3x y
( )n n na b a b (n是正整数)
算一算,并分别说出每一小题所用的运算性质.
(4) = ;a
同底数幂的除法: m n m na a a
(a≠0,m,n是正整数且m>n )
4 3a a
(5) = ;
3
3
a
b
商的乘方:( )
n
n
n
a a
b b
(b≠0,n是正整数)
3( )a
b
(6) = ;1
0 1a
4 4x x
( )0a
想一想:
am中指数m可以是负整数吗?如果可以,那么
负整数指数幂am表示什么?
讲授新课
负整数指数幂一
问题:计算:a3 ÷a5=? (a ≠0)
解法1
3 3
3 5
5 2 3 2
1 .a aa a
a a a a
解法2 再假设正整数指数幂的运算性质
am÷an=amn(a≠0,m,n是正整数,m>n)中的
m>n这个条件去掉,那么a3÷a5=a3-5=a-2.
于是得到: 2
2
1 .a
a
5
5 7
7 2
5-7 -2
2 12 2
2 2
=2 =2
- 2
2
12
2
4
4 7
7 3
4 7 3
1= aa a
a a
a a
3
3
1a
a
2
2 2
( 2) 2
1m
m m
m
m m
aa a
a a
a a
2
2
1a
a
→}
}
}
→
→
深入研究
知识要点
负整数指数幂的意义
一般地,我们规定:当n是正整数时,
1 ( 0)n
na a
a
这就是说,a-n (a≠0)是an的倒数.
引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推
广到全体整数.也就说前面提到的运算性质也推
广到整数指数幂.
想一想:对于am,当m=7,0,-7时,你能分别说出
它们的意义吗?
(1) ,
.
(2) ,
.
32
2)3(
23
1
9
1
23
23
32
1
8
1
23
1
9
1
2)3(
1
9
1
牛刀小试
填空:
例1
A.a>b=c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
典例精析
B
方法总结:关键是理解负整数指数幂的意义,
依次计算出结果.当底数是分数时,只要把
分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数.
计算:
(1)(x3y-2)2; (2)x2y-2·(x-2y)3;
例2
解析:先进行幂的乘方,再进行幂的乘除,
最后将整数指数幂化成正整数指数幂.
解:(1)原式=x6y-4
(2)原式=x2y-2·x-6y3=x-4y
提示:计算结果一般需化为正整数幂的形式.
计算:
(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3;
(4)(3×10-5)3÷(3×10-6)2.
例2
(4)原式=(27×10-15)÷(9×10-12)=3×10-3
解:(3)原式=9x4y-4÷x-6y3=
9x4y-4·x6y-3=9x10y-7
计算:
23
2 5
2
1 2 3 2 2 2 2 3
(1) ; (2) ;
(3) ( ) ; (4) ( ) .
ba a
a
a b a b a b
解:
2 5 2 5 7
7
1(1) ;a a a a
a
43 6
2
2 4 62 ( ) ;b b a
a a b
( )
做一做
解:
6
1 2 3 3 6
3(3) ( ) ;ba b a b
a
2 2 2 2 3
2 2 6 6
8
8 8
8
( 4 ) ( )
.
a b a b
a b a b
ba b
a
1 2 3 2 2 2 2 3(3) ( ) ; (4) ( ) .a b a b a b
(1) 根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,
am ÷an=am-n 又am ·a-n=am-n,因此am ÷an=am ·a-n.
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
(2) 特别地, 1a a b a b
b
所以 1( ) ( ) ,n n n na a b a b
b
即商的乘方可以转化为积的乘方.
总结归纳
u整数指数幂的运算性质归结为
(1)am·an=am+n ( m、n是整数) ;
(2)(am)n=amn ( m、n是整数) ;
(3)(ab)n=anbn ( n是整数).
例3
解析:分别根据有理数的乘方、0指数幂、负
整数指数幂及绝对值的性质计算出各数,再根
据实数的运算法则进行计算.
科学记数法二
科学记数法:绝对值大于10的数记成a×10n的形式,
其中1≤a<10,n是正整数.
忆一忆:
例如,864000可以写成 .
怎样把0.0000864用科学记数法表示?
8.64×105
想一想:
探一探:
因为 110.1 ;
10
10 0.01 ;
0.001
所以, 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10-5.
类似地,我们可以利用10的负整数次幂,用科学
记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示
成a×10- n的形式,其中n是正整数,1≤∣ a∣ <10.
1
100
-210
1
1000
-310
算一算:
10-2= ___________; 10-4= ___________;
10-8= ___________.
议一议:
指数与运算结果的0的个数有什么关系?
一般地,10的-n次幂,在1前面有_________个0.
想一想:10-21的小数点后的位数是几位?1前面有几
个零?
0.01 0.0001
0.00000001
通过上面的探索,你发现了什么?:
n
u用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法:
即利用10的负整数次幂,把一个绝对值小于1的数
表示成a×10-n的形式,其中n是正整数,1 ≤ ︴a ︴
<10. n等于原数第一个非零数字前所有零的个数
(特别注意:包括小数点前面这个零).
知识要点
例4 用小数表示下列各数:
(1)2×10-7;(2)3.14×10-5;
(3)7.08×10-3;(4)2.17×10-1.
解析:小数点向左移动相应的位数即可.
解:(1)2×10-7=0.0000002;
(2)3.14×10-5=0.0000314;
(3)7.08×10-3=0.00708;
(4)2.17×10-1=0.217.
1.用科学记数法表示:
(1)0.000 03; (2)-0.000 006 4;
(3)0.000 0314;
2.用科学记数法填空:
(1)1 s是1 μs的1 000 000倍,则1 μs=______s;
(2)1 mg=______kg;(3)1 μm =______m;
(4)1 nm=______ μm ;(5)1 cm2=______ m2 ;
(6)1 ml =______m3.
练一练
例5 纳米是非常小的长度单位,1nm=10-9m.把1nm3
的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上,
1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体(物体之间隙
忽略不计)?
3 9
3 3 9 3 9 27 18
1mm 10 m,1nm 10 m.
(10 ) (10 ) 10 10 10
典例精析
答:1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.
解:
1018是一个非常大的数,
它是1亿(即108)的
100亿(即1010)倍.
当堂练习
1.填空:(-3)2·(-3)-2=( );103×10-2=( );
a-2÷a3=( );a3÷a-4=( ).
2.计算:(1)0.1÷0.13
(2)(-5)2 008÷(-5)2 010
(3)100×10-1÷10-2
(4)x-2·x-3÷x2
1 10
a7
1 3 2
2
10.1 0.1 100
0.1
2 008 2 010 2
2
1 1( 5) ( 5) 25( 5)
2
1 1 11 100 1010 1010
5
1
a
2 3 2 2 3 2 7
1 1 1 1 1=
x x x x x
4.下列是用科学记数法表示的数,写出原来的数.
(1)2×10-8 (2)7.001×10-6
3.计算:
(1)(2×10-6)× (3.2×103)
(2)(2×10-6)2 ÷ (10-4)3.
答案:(1)0.000 000 02 (2)0.000 007 001
= 6.4×10-3;
= 4
5.比较大小:
(1)3.01×10-4_______9.5×10-3
(2)3.01×10-4________3.10×10-4
<
<
6.用科学记数法把0.000 009 405表示成
9.405×10n,那么n= .
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