人教版八年级数学上册第十二章全等三角形三角形全等的判定“边角边”教学课件 24页

第十二章 全等三角形 人教版 八年级数学上册 “边角边” 1.回顾三角形全等的判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为 “边边边”或“SSS”）. 在△ABC和△ DEF中 ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD 2.符号语言表达： A B CD E F 当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况: 三角 × 三边 √ 两边一角 ？ 两角一边 除了SSS外,还有其他情况吗？ 讲授新课 三角形全等的判定（“边角边”定理）一 问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么 这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ A B C A B C “两边及夹角” “两边和其中一边的对角” 它们能判定两个 三角形全等吗？ 尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝ AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A （即使两边和它们的 夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到 △ABC上，它们全等吗？ A B C 探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等 A B C A′ D E B′ C′ 作法： （1）画∠DA'E=∠A； （2）在射线A'D上截取 A'B'=AB,在射线A'E上 截取A'C'=AC； （3）连接B'C '. 思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？ ②这两个三角形全 等是满足哪三个条 件？ 在△ABC 和△ DEF中， u 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个 三角形全等 （简写成“边角边”或“SAS ”）． 知识要点 “边角边”判定方法 u几何语言： AB = DE， ∠A =∠D， AC =AF ， A B C D E F 必须是两 边“夹角” 例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？ 分析:△ ABD ≌△ CBD. 边: 角: 边: AB=CB(已知)， ∠ABD= ∠CBD(已知)， ？ A B C D (SAS) BD=BD(公共边). 典例精析 证明：在△ABD 和△ CBD中， AB=CB(已知)， ∠ABD= ∠CBD(已知)，∴ △ ABD≌△CBD ( SAS). BD=BD(公共边)， 变式1: 已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2. 求证:(1) AD=CD； (2) DB 平分∠ ADC. A DB C 1 2 4 3 在△ABD与△CBD中，证明: ∴△ABD≌△CBD（SAS）， AB=CB (已知）， ∠1=∠2 （已知）， BD=BD （公共边）， ∴AD=CD，∠3=∠4， ∴DB 平分∠ ADC. A B C D 变式2: 已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，求证:∠A=∠C. 1 2 在△ABD与△CBD中， 证明: ∴△ABD≌△CBD（SAS）， AD=CD (已知）， ∠1=∠2 （已证）， BD=BD （公共边）， ∴∠A=∠C. ∵DB 平分∠ ADC， ∴∠1=∠2. 例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D， 使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那 么量出DE的长就是A、B的距离，为什么? C· A E D B证明：在△ABC 和△DEC 中， ∴△ABC ≌△DEC（SAS）， ∴AB =DE ， （全等三角形的对应边相等）. AC = DC（已知）， ∠ACB =∠DCE （对顶角相等）， CB=EC（已知） ， 证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是 全等三角形的对应边或对应角来解决. 归纳 已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D. 证明:∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)， 即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中, AB＝DB(已知)， ∠ABC＝∠DBE(已证)， CB＝EB(已知)， ∴△ABC≌△DBE(SAS). ∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等). 1 A 2 CB D E 　想一想： 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起， 摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到 △ABD.这个实验说明了什么？ B A C D △ABC和△ABD满 足AB=AB ,AC=AD, ∠B=∠B,但△ABC 与△ABD不全等. 探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等 几何画板：探究边边角.gsp 画一画： 画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE =5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是 否全等？ A B M C D A B C A B D 有两边和其中一边的对角分别相等的两个 三角形不一定全等. 结论 例3 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　) 典例精析 A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF 解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不 是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C. C 方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对 角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的 位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 当堂练习 1.在下列图中找出全等三角形进行连线. Ⅰ 30 º 8 c m 9 cm Ⅵ 30º 8 cm 8 c m ⅣⅣ 8 c m5 cm Ⅱ 30 º 8 cm 5 cm Ⅴ 30º 8 c m 5 c m Ⅷ 8 cm 5 cm 3 0 º 8 cm 9 c m Ⅶ Ⅲ 30º 8 c m 8 c m Ⅲ 2. 如图，AB = DB，BC = BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要 增加的条件是 ( ) A.∠ A＝ ∠ D B.∠ E＝ ∠ C C.∠ A =∠ C D.∠ ABD＝ ∠ EBC D 3.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF. 求证：△AFD≌△CEB. F A B D C E 证明： ∵AD//BC， ∴ ∠A=∠C， ∵AE=CF， 在△AFD和△CEB中， AD=CB ∠A=∠C AF=CE ∴△AFD≌△CEB（SAS）. ∴AE+EF=CF+EF， 即 AF=CE. (已知）， (已证）， (已证）， 4.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 求证：BD=CD. 证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SAS）. (已知）， (已证）， (已证）， ∴ BD=CD. 已知：如图，AB=AC, BD=CD， 求证： ∠ BAD= ∠ CAD. 变式1 证明： ∴ ∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. AB=AC BD=CD AD=AD (已知）， (公共边）， (已知）， 已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点， 求证： BE=CE. 变式2 证明： ∴ ∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， AB=AC BD=CD AD=AD (已知）， (公共边）， (已知）， ∴ BE=CE. 在△ABE和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAD AE=AE (已知）， (公共边）， (已证）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴△ABE≌△ACE（SAS）. 5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的 中点，求证：DM=DN. 在△ABD与△CBD中 证明: CA=CB (已知） AD=BD （已知） CD=CD （公共边） ∴△ACD≌△BCD（SSS） 能力提升 连接CD，如图所示； ∴∠A=∠B 又∵M，N分别是CA，CB的中点， ∴AM=BN 在△AMD与△BND中 AM=BN (已证） ∠A=∠B （已证） AD=BD （已知） ∴△AMD≌△BND（SAS） ∴DM=DN.