数学华东师大版八年级上册教案12-5 因式分解 第2课时 4页

1 12.5 因式分解 第 2 课时 教学目标 【知识与能力】 1.了解运用公式法的含义. 2.理解逆用两数和乘以这两数的差公式的意义，弄清公式的形式和特点. 3.初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式. 【过程与方法】 运用对比的方法弄清“两数和乘以这两数的差的公式”与“逆用两数和乘以这两数的差的公 式”的区别与联系. 【情感态度价值观】 通过学习进一步理解数学知识间的密切联系，培养认真仔细学习的严谨态度. 教学重难点 【教学重点】 初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式. 【教学难点】 正确逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式. 课前准备 无 教学过程 （一）复习 1．填空： (1)(a+b)(a-b)=＿＿＿＿＿＿＿. (2)(a+b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿. (3)(a-b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 2．说出 1—20 的平方的结果. （二）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式. 于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做公式 法. （三）逆用两数和乘以这两数的差的公式（平方差公式） 1．平方差公式 （1）公式：a2-b2=(a+b)(a-b) （2）请同学们先想一想应该怎样叙述这个公式？（可提示两数和乘以这两数的差的公式是 2 怎样叙述的？）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，这个公式 就是平方差公式. ①注意与整式乘法中的语言叙述的区别，并以此来帮助同学们弄清两种公式的区别. ②多项式     整式乘法 因式分解 （整式）（整式）……（整式） 2 2a b     整式乘法 因式分解 ( )( )a b a b  在整式乘法中平方差是计算的结果，而因式分解中的平方差则是待分解的多项式. 在整式乘法中两数和乘以这两数的差是计算的条件，而因式分解中的两数和乘以这两数的差 则是分解的结果. （3）形式和特点： 运用条件：两个数平方差的形式（即公式的左边）； 运用结果：这两个数的和与这两个数的差的积（即公式的右边，是两个二项式的乘积）. （4）例子： 把 x2-16 和 9m2-4n2 分解因式. 很显然，这两题都不能用提公因式法来分解因式.而 16=42，9m2=(3m)2,4n2=(2n)2,所以有 x2-16=x2-42=(x+4)(x-4)，9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)。 注意在讲解过程中一项一项对照公式，以加深对公式的理解. 提问：3m2-2n2 可以用平方差公式分解因式吗？（指出在没有特别说明的情况下分解因式都 是在有理数范围内分解，如果在实数范围内可分解为： ( 3 2 )( 3 2 )m n m n  ，a2+b2 呢？ 2.变式巩固练习 变式一：把下列各式分解因式： （1）1-25b2 (2)x2y2-z2 (3) 22 01.09 4 nm  （4）-9+16a2 请学生试做，再请学生自己说为什么可以这样分解. 分析：由于（1）中 1=12,25b2=(5b)2.（2）中 x2y2=（xy）2.（3）中 22 )3 2(9 4 mm  ， 0.01n2=(0.1n)2.（4）可以写成 16a2-9，而 16a2=(4a)2,9=32.都符合平方差公式，因此都可以 用平方差公式来分解因式. 解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b) （2） x2y2-z2 =（xy）2- z2 =(xy+z)(xy-z) （3） 22 01.09 4 nm  = )1.03 2)(1.03 2()1.0()3 2( 22 nmnmnm  （4） -9+16a2=16a2-9=(4a)2-32=(4a+3)(4a-3) 变式二：把下列各式分解因式： （1）(x+p)2-(x+q)2 （2）16(a-b)2-9(a+b)2 （3）9x2-(x-2y)2 3 请同学们先讨论，然后再做，再请学生自己说为什么可以这样分解. 分析：在（1）中(x+p)、(x+q)分别相当于公式中的 a、b.（2）中 16(a-b)2 =［4(a-b)］2, 9(a+b)2=［3(a+b)］2.（3）中 9x2=(3x) 2.它们都符合平方差公 式，因此都可以用平方差公式来分解因式. 解：（1）(x+p)2-(x+q)2=［(x+p)+(x+q)］［(x+p)-(x+q)］ =(x+p+x+q)(x+p-x-q) 括号中有同类项应合并. =(2x+p+q)(p-q) （2）16(a-b)2-9(a+b)2=［4(a-b)］2-［3(a+b)］2 =［(4a-4b)+(3a+3b)］［(4a-4b)-(3a+3b)］ =(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b) =(7a-b)(a-7b) （3）9x2-(x-2y)2=(3x) 2-(x-2y)2=［3x+(x-2y)］［3x-(x-2y)］ =(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y) 注意：式子中还有公因式. =2(2x-y)·2(x+y)=4(2x-y)(x+y) 提问：最后为什么不是 2(2x-y)(x+y)？ 巩固练习： 把下列各式分解因式： （1）4a2-b2 （2）(3m+2n)2-(m-n)2 （3）(4x-3y)2-16y2 （4）-4(x+2y)2+9(2x-y)2 （四）小结 提问：1、什么是运用公式法进行因式分解？ 2、运用平方差公式分解因式的条件和结果是什么？应注意什么？ （五）作业 课堂作业 把下列各式分解因式: （1）1－m2 （2）－a2＋b2 （3）x2－ 9 1 y2 （4）－9＋16x2 （5）4x2－9y2 （6）0.36x2－ 9 4 y2 （7）x2y2－z2 （8）x2－(x－y)2 （9）9(x－y)2－y2 （10）(x＋2y)2－(2x－y)2 （11）16(a＋b)2－9(a－b)2 （12）(a2＋b2)2－a2b2 家庭作业 1、把下列各式分解因式: （1） 2 20.49 144p q （2） 2 24 121y x  （3） 2 2 2 2a p b q （4） 2 2 225 4 a x y 2、把下列各式分解因式: （1） 2 2( )m n n  （2） 2 2169( ) 196( )a b a b   （3） 2 2( ) ( )a b c a b c     （4） 2 2 2 2 2( )x y x y  4 板书设计： 用公式分解因式 复习 平方差公式： 变式： 公式： 特点： 例题 公式法分解因式 （练习）