八上时 等边三角形三 3页

‎§14．3．2.1 等边三角形（三）‎ 教学过程 一、 复习等腰三角形的判定与性质 二、 新授：‎ ‎1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等 ‎2．等边三角形的判定：‎ 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；‎ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ‎ 注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.‎ ‎3．由学生解答课本148页的例子；‎ ‎4．补充：已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ‎ ‎∠ABC=120o, 求证: AB=2BC 分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.‎ B ‎ ‎ 证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E ‎∵DB⊥BC(已知)‎ ‎∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)‎ 在△ADE和△CDB中 ‎∴△ADE≌△CDB(AAS)‎ ‎∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)‎ ‎∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)‎ ‎∴∠ABD=30o 在Rt△ABE中,∠ABD=30o ‎∴AE=AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,‎ 那么它所对的直角边等于斜边的一半)‎ ‎∴BC=AB 即AB=2BC 点评 本题还可过C作CE∥AB ‎5、训练：如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.‎ 分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN，∠MCN=60o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC 证明：∵等边△ABC和等边△DCE，‎ ‎∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）‎ ‎∠BCA=∠DCE=60o（等边三角形的每个角都是60）‎ ‎∴∠BCE=∠DCA ‎∴△BCE≌△ACD（SAS）‎ ‎∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等）‎ BE=AD（全等三角形的对应边相等）‎ 又∵BN=BE，AM=AD（中点定义）‎ ‎∴BN=AM ‎∴△NBC≌△MAC（SAS）‎ ‎∴CM=CN（全等三角形的对应边相等）‎ ‎∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等）‎ ‎∴∠MCN=∠ACB=60o ‎∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形）‎ 解题小结 ‎1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析 ‎2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.‎ 三、小结本节知识 四、作业：课本151页第13，14题