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- 2021-10-27 发布
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16.3 二根次式的加减
第十六章 二次根式
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
八年级数学下(RJ)
教学课件
第2课时 二次根式的混合运算
学习目标
1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.(重点)
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
(难点)
导入新课
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法
则分别是什么?
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么?
m(a+b+c)=ma+mb+mc;
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
复习引入
(ma+mb+mc)÷m=a+b+c
分配律
单×多 转化
前面两个问题的思路是:
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同
学任选一组),然后对比归纳,你们发现了什么?
单×单
讲授新课
二次根式的混合运算及应用一
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式
运算一样,体现在:运算律、运算顺序、乘法法
则仍然适用.
例1 计算:
1 8+ 3 6 2 4 2 3 6 2 2 ()( ) ;( )( ) ;
解:1 8+ 3 6
8 6+ 3 6
()( )
4 3+3 2 .
2 4 2 3 6 2 2
4 2 2 2 3 6 2 2
( )( )
32 3.
2
二次根式的混合运算,先要弄清运算种类,再
确定运算顺序:先乘除,再加减,有括号的要先算括
号内的,最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
归纳
3 ( 2 3)( 2 5). ()
2
3 ( 2 3)( 2 5)
2 5 2+3 2 15
()
( )
解:
13 2 2 .
此处类比“多项式×多
项式”即
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
(1) 3 2 3 27+ 6 3 ( ) ;
0 6(2) 2016 3 + 3 12 .
2
( ) -
6 3 3 3 3 6 解:(1)原式
3 3 .
(2)原式 1+2 3 3 3
3 2 .
【变式题】计算:
有绝对值符号的,同括号一样,先去绝对值,注
意去掉绝对值后,得到的数应该为正数.
归纳
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路, 其
中有一段路基的横断面设计为上底宽 ,下底
宽 ,高 的梯形,这段路基长 500 m,那
么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积
=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢?
6 2m
4 2m
6m
4 2m
6m
6 2m
典例精析
解:路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的
长度,所以这段路基的土石方为:
1 4 2 6 2 6 500 2 2 3 2 6 500
2
5 2 6 500
35000 3 m .
答:这段路基的土石方为 35000 3m .
计算:
3 1 6 2 2 2 + 2 1 28- -( ) ; ( ) .
3= 6 2 28 -
3= 6 2 28 -
.
3= 2 3 2
3= 32
-
3 1 6 28( ) - 2 2 + 2 1 2
( ) -
= 2 2 2 + 2 2 2 - -
= 2 2 2 + 2 2 - -
.= 2 -
:解
练一练
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2.
利用乘法公式进行二次根式的运算二
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适
用吗?
整式的乘法
公式就是多
项式×多项
式
前面我们已
经知道二次
根式运算类
比整式运算,
所以适用哟
例3 计算:
21 ( 5 3)( 5 3) ; (2) ( 3 2) . ()
2 25 3 ( )( )
解: 1 ( 5 3)( 5 3) ()
5 3
2 .
2(2) ( 3 2)
2 23 2 3 2+2 ( )
3 4 3+4
7 4 3 .
典例精析
(3) 3 2 48 18 4 3 ;
3 2
(4) .a a b a b
a ab a b
解:
30.
3 2 4 3 3 2 4 3 (3) 3 2 48 18 4 3
2 2
3 2 4 3
.b a a b
a a b a b a b
a ba a b
3 2
(4) a a b a b
a ab a b
进行二次根式的混合运算时,一般先将二次根
式转化为最简二次根式,再根据题目的特点确定合适
的运算方法,同时要灵活运用乘法公式、因式分解等
来简化运算.
归纳
【变式题】计算:
2018 20181 2 2 3 2 2 3 ; ()( ) ( )
2017 2019 32 2 - 3 2 3 2 .
2
( )( )( )
解:(1)原式 20182 2 3 2 2+3 =[( )( )]
20181=( )
1.=
(2)原式
2017 2 3[ 2 - 3 2 3 ] 2 3 2
2
( )( ) ( )
20171 7+4 3 3 ( )
7+4 3 3
7+3 3 .
计算:
2
(1) 2 2-1 ( 2 ) 2- 3 5 7 2 3 . ;
( 2 ) 2- 3 5 7 2 3
2(1) 2 2-1 : 解
练一练
2- 3 2 3 5 7
5 7
2 22 2 1 2 2 2 1
9 4 2.
5 7.
先用乘法交换律,
再用乘法公式化简.
求代数式的值三
例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.3 1, 3 1,x y
解: x2+2xy+y2=(x+y)2
把 代入上式得3 1, 3 1,x y
原式=
2
3+1 + 3 1 ( )( )
22 3 12. ( )
3 2, 3 2x y
解:∵ ,
∴
∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
3 2, 3 2x y
3 2 3 2 2 3,x y
3 2 3 2 3 2 1,xy
2
1 2 3 2 1 10.
【变式题】 已知 ,求x3y+xy3.
用整体代入法求代数式值的方法:求关于x,y的
对称式(即交换任意两个字母的位置后,代数式不变)的
值,一般先求x+y,xy,x-y, 等的值,然后将所求代数式
适当变形成只含x+y,xy,x-y, 等式子,再代入求值.
归纳
x
y x
y
在前面我们学习了二次根式的除法法则时,学会
了怎样去掉分母的二次根式的方法,比如:
5
7
5 7
7 7
35
7
拓展探究
思考 如果分母不是单个的二次根式,而是含二
次根式的式子,如: 等,该怎样去掉
分母中的二次根式呢?
2 1, 3 2
根据整式的乘法公式在二次根
式中也适用,你能想到什么好
方法吗?
例4 计算:
1 41 ; 2 .
3 2 5 1
() ( )
解:
1 3 211 3 2.
3 2 3 2 3 2
()
4 5 1 4 5 142 5 1.
45 1 5 1 5 1
( )
分母形如 的式子,分子、分母同乘以
的式子,构成平方差公式,可以使分母不含
根号.
归纳 m a n b
m a n b
【变式题】 已知 ,求 .
1 1,
5 2 5 2
a b
2 2 2a b
解:∵
1 5 2 5 2,
5 2 5 2 5 2
a
1 5 2 5 2,
5 2 5 2 5 2
b
22 2 2 2 2a b a b ab
2
5 2 5 2 2 5 2 5 2 2
20 2 2 2 5.
解决二次根式的化简求值问题时,先化简已知
条件,再用乘法公式变形、代入求值即可.
归纳
已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.10
解: 3 10 4
3, 10 3 .a b
2 2a b
练一练
6 10 10.
2 23 ( 10 3)
3 10 3 3 10 3
10 6 10
当堂练习
1.下列计算中正确的是( )
1A. 3( 3 ) 3
3
B.( 12- 27) 3 1
1C. 32 2 2
2
D. 3( 2 3) 6 2 3
B
2.计算: 22+ 3 24 . ( ) 5
3.设 则a b(填“>”“ < ”或
“= ”).
,
1 10 3
10 3
a b
, =
4.计算:
;1 1(1) 32 2 2 ( 2 )
2 3 2- 3
;
(1) 32 2 2 解:
4 2 2 2
5 2 2
5.
1 1( 2 )
2 3 2- 3
2- 3 2 3
2 3 2- 3 2 3 2- 3
4
2 3 2- 3
22
4 4.
2 - 3
( 3 ) 3 3 3- 3 ; ( 4 ) 3 10 2- 5 ;
22=3 3
=9 3=6
解:原式
.
2
01(5) 3 1 3+1 + π-2 + 8
3
( )( ) ( ) .
2 9+1+2 2 解:原式
6+2 2 .
5.在一个边长为 cm的正方形内部,挖去
一个边长为 cm的正方形,求剩余部分的
面积.
(6 15 5 5)
(6 15 5 5)
解:由题意得 2 2(6 15 5 5) (6 15 5 5)
即剩余部分的面积是 2600 3cm .
(6 15 5 5) (6 15 5 5) (6 15 5 5) (6 15 5 5)
212 15 10 5 600 3(cm ).
6.(1) 已知 ,求 的值;3 1x 2 2 3x x
解:x2-2x-3=(x-3)(x+1) 3 1 3 3 1 1
3 2 3 2 1.
(2)已知 ,求 的值.5 1 5 1,
2 2
x y
2 2x xy y
解:
5 1 5 1 5,
2 2
x y
5 1 5 1 1,
2 2
xy
222 2 5 1 4.x xy y x y xy
6.阅读下列材料,然后回答问题:
在进行类似于二次根式 的运算时,通常有
如下两种方法将其进一步化简:
2
3 1
方法一:
2
2 3 1 2 3 12 3 1;
3 1 3 1 3 1 3 1
方法二:
3 1 3 12 3 1 3 1.
3 1 3 1 3 1
能力提升:
5 3 5 32 5 3 5 3.
5 3 5 3 5 3
(1)请用两种不同的方法化简:
(2)化简:
2 ;
5 3
2 2
2 5 3 2 5 32 5 3;
5 3 5 3 5 3 5 3
解:(1)
1 1 1 1 .
4 2 6 4 8 6 2018 2016
1 4 2 6 4 8 6 2018 2016
2
1 1 1 1(2)
4 2 6 4 8 6 2018 2016
1 2018 2 .
2
课堂小结
二次根式
混合运算
乘法公式
化 简
求 值
分 母 有 理 化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
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