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- 2021-10-27 发布
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4.3实数(1)
本节先将有理数与有限小数和无限循环小数
统一起来,再采用与有理数对照的方法引入无理
数,接着类比用数轴上的点表示有理数,指出实
数与数轴上的点的一一对应关系.
我们知道有理数包括整数和分数,请把下列
分数写成小数的形式,你有什么发现?
5
2
3
5
27
4
11
9
9
11
5
2 = 2.5
3
5 = – 0.6
27
4 = 6.75
11
9 = 1.2·
9
11 = 0.81· ·
这些分数都可以
写成有限小数或者无
限循环小数的形式.
发 现
如果把整数看成小数点后是0的小数,
例如将3看成3.0
有限小数
无限循环小数
有理数
那么
小数除了上述类型外,还会有什么类型的
小数?
想
通过之前的学习,我们知道,很多数的平
方根和立方根都是无限不循环小数.
无限不循环小数又叫做无理数.
例如 , , , 等都是无理数.2 5 3 2 3 3
π = 3.14159265…也是无理数.
像有理数一样,无理数也有正负之分.
正无理数: , ,π … 2 3 3
负无理数: , ,– π … 2 3 3
无理数
正无理数
负无理数
有理数和无理数统称为实数.
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无
限循环小数
无限不循环小数
非0有理数和无理数都有正负之分,实数也
有正负之分,所以实数还可以按大小分类如下:
实数
正实数
负实数
0
下列实数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
5,3.14,0, , , , ,– π,
0.1010010001……(相邻两个1之间0的个数逐
次加1).
3 4
3 .0 57 4
每个有理数都可以用数轴上的点来表示,那
么,无理数呢?
如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数
轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O',
点O'对应的数是多少?
O 1 2 3 4O'
从图中可以看出,OO'的长是这个圆的周长
π,所以点O'对应的数是π.
这样,无理数π可以用数轴上的点表示出来.
以单位长度为边长画一个正方形,以原点为
圆心,正方形的对角线为半径画弧.
0 1 2 3-1-2-3
2 2
弧与正半轴的交点就表示 ,
弧与负半轴的交点就表示 .
2
2
事实上,每一个无理数都可以用数轴上
的一个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数后,实
数与数轴上的点是一一对应的.
实数 数轴上的点一一对应
请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数
对应起来.
4-2 0
-1.52 5 π 3
1. 判断下列说法是否正确:
(1)有限小数都是有理数; ( )
(2)无限小数都是无理数; ( )
(3)所有有理数都可以用数轴上的点表示,反
过来,数轴上的所有点都表示有理数; ( )
(4)所有实数都可以用数轴上的点表示,反过
来,数轴上的所有点都表示实数; ( )
(5)对于数轴上的任意两个点,右边的点表示
的实数总比左边的点表示的实数大. ( )
√
×
×
√
√
2.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
10的平方根及立方根中,哪些是有理数?哪些
是无理数?
解:平方根中有理数:0,1,2,3;
无理
数: , , , , ,
, ;
立方根中有理数:0,1,2
无理
数: , , , , , ,
, .
2 3 5 6 7
8 10
3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7
3 9 3 10
0-1-2-3
2 1
3.在数轴上画出表示 的点. 2 1
解:以单位长度为边长画一个正方形如图,
以-1为圆心,正方形的对角线为半径画弧,与
负半轴的交点就表示点 . 2 1
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无
限循环小数
无限不循环小数
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