数学冀教版八年级上册教案14-1平方根（2） 4页

- 1 - 14.1 平方根（2） 教学目标 【知识与能力】 1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根. 2.理解算术平方根与平方根的联系与区别. 【过程与方法】 1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力. 2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系. 【情感态度价值观】 1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识. 2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识. 教学重难点 【教学重点】 算术平方根的概念和性质. 【教学难点】 对算术平方根意义的理解. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件 1】 学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为 25 dm2 的正方 形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少? 师:怎样算出画布的边长为 5 dm 的呢?(思考 1 分钟) 【课件 2】 填表: 正方形面积 1 9 16 36 4 25正方形边长 教师在学生完成的基础上与学生共同总结:已知正方形的面积求边长,本质上就是 已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下 面我们来共同探讨这个问题. [设计意图] 从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平 方根,为下面的学习做好铺垫. 导入二: 同学们,2003 年 10 月 15 日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五 号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟” 五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什 么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度 v1(米/秒)而小于第二宇宙速度 v2(米/ - 2 - 秒).v1,v2 的大小满足 1 2 =gR,v2=2gR,怎样求 v1,v2 呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本 节要学习的内容. [设计意图] “神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征 程上又迈出具有重大历史意义的一步,是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本 章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际 上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要 研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路. 导入三: 【课件 3】 1.(1)625 的平方根是多少?这两个平方根的和是多少? (2)-7 和 7 是哪个数的平方根? (3)正数 m 的平方根怎样表示? (4)求下列各数的平方根. ①64; ②0; ③(-0.4)2; ④ - 1 2 3 2 ; ⑤16; ⑥(-4)3. 2.已知正方形的面积等于 a,那么它的边长等于多少? 解:设正方形的边长为 x,则 x2=a,根据平方根的定义,得 x=± .因为正方形的边长是正 数,所以正方形的边长是 . [设计意图] 复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法,为学习算术平方 根做准备. 二、新知构建： 活动一:感知——算术平方根的定义 思路一 [过渡语] 上面的问题,可以归纳为“已知一个正数的平方,求这个正数”的问题.实际 上是乘方运算中,已知一个数的指数和它的幂求这个数. 一个正数的两个平方根互为相反数,我们把一个正数 a 的正的平方根 叫做 a 的算术平 方根. 一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.a 的算术平方根记为 ,读作“根号 a”,a 叫做被开方数.规定:0 的算术平方根是 0.也就是, 在等式 x2=a(x≥0)中,规定 x= . 思考:这里的数 a 应该是怎样的数呢? 试一试:你能根据等式 112=121 说出 121 的算术平方根吗?并用等式表示出来. 解:121 的算术平方根是 11,用等式表示为 121 =11. [知识拓展] 平方根与算术平方根的区别和联系. 区别:(1)概念不同:如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a 的平方根;非负数 a 的非负平方根叫做 a 的算术平方根. (2)表示方法不同:正数 a 的平方根表示为± ;正数 a 的算术平方根表示为 . (3)个数及取值不同:一个正数的算术平方根只有一个,是正数;一个正数的平方根有两 个,一正一负且互为相反数. 联系:(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是一个数的平方 根中的一个. (2)存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有. (3)0 的平方根、算术平方根都是 0. - 3 - (4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算. 思路二 说明:正数 a 有两个平方根(表示为± ),我们把其中正的平方根,叫做 a 的算术平方根, 表示为 . 0 的平方根也叫做 0 的算术平方根,因此 0 的算术平方根是 0,即 0 =0. 几何图形可以直观地表示算术平方根的意义,面积为 a(a>0)、边长为 的正方形,边长 就表示 a 的算术平方根. “ ”是算术平方根的符号, 就表示 a 的算术平方根. 思考: 的被开方数是什么样的数?它的结果又是怎样的数? 的意义有两点: (1)被开方数 a 表示非负数,即 a≥0; (2) 也表示非负数,即 ≥0. 也就是说,非负数的算术平方根是非负数,负数不存在算术平方根,即 a<0 时, 无意义. 如: 9 =3,8 是 64 的算术平方根, - 6 无意义. 强调:这里需要说明的是,算术平方根的符号“ ”不仅是一个运算符号,如 a≥0 时, 表示非负数 a 进行开平方运算,也是一个性质符号,即表示非负数 a 的非负平方根. 例如, 9 表示对 9 进行开平方运算,也表示 9 的正的平方根. [设计意图] 让学生在小组间进行必要的合作与交流,以加深学生对平方根及算术平方 根意义的理解. 活动二:强化——算术平方根的计算 [过渡语] 理解了算术平方根的意义以及表示方法,我们就可以求出一个非负数的算术 平方根. 【课件 4】 (教材第 63 页做一做)求下列各数的算术平方根. (1)144; (2)0.01; (3) 4 49 ; (4)132; (5)(-16)2. 1.引导学生正确应用算术平方根的表示方法计算. 2.学生口述过程. 解:(1)12. (2)0.1. (3) 2 7 . (4)13. (5)16. 观察“做一做”中(4)和(5)的结果,你有什么发现? 小组讨论得出: 2 = = ( > 0 ), 0 ( = 0 ), - ( < 0 ). 语言表述:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. 说明:首先让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式,应该用怎样的符号来表 示,在此基础上再求出结果.在开始阶段,宜让学生适当模仿,熟练后直接写出结果. 【课件 5】 计算下列各式. (1) 1 . 69 ; (2)- 225 ; (3)± 9 49 ; (4)- (- 17 ) 2 . 说明:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和算术平方根的概念进行求解,注 意解题格式. - 4 - 解 :(1) 1 . 69 = 1 . 3 2 =1.3. (2)- 225 =- 15 2 =-15. (3)± 9 49 =± 3 7 2 =± 3 7 . (4)- (- 17 ) 2 =- 17 2 =-17. 【课件 6】 某小区有一块长方形草坪,为了加强保护,小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘 将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的 4 倍,草坪的面积是 900 m2,求所需篱笆的总长度. 〔解析〕 (1)如果设所需篱笆的宽为 x m,它的长是多少?怎样列方程?(2)怎样求出 x 的值? 解:设这块长方形草坪的宽为 x m,则长为 4x m. 因为长方形草坪的面积是 900 m2,所以 4x·x=900,即 x2=225. 所以 x=± 225 =± 15 2 =±15. x=-15 不合题意,舍去. 所以 x=15,2×(15+4×15)=150(m). 答:所需篱笆的总长度是 150 m. [设计意图] 体会平方根和算术平方根的实际意义,理解实际情境中值的取舍;规范步 骤,让学生养成良好的书写习惯. 三、课堂小结： 算术平方根的定 义 一个正数 a 的正的平方根 a 叫做 a 的算术平方根. 算术平方根的表 示方法 a (a≥0)(即非负数有算术平方根) a 2 的意义 表示一个数的平方的算术平方根,它等于这个数的绝对值.即: a 2 = a = a ( a > 0 ), 0 ( a = 0 ), - a ( a < 0 ). 注意的问题 (1)只有非负数有算术平方根;(2)算术平方根具有双重非负性,一个是被开方数是非 负数,二是结果是非负数;(3) a (a≥0)的最小值是 0.